孫大雙 呂志平 王宇譜 李柏地 王 寧

1 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，鄭州市科學(xué)大道62號，450001 2 解放軍78092部隊,成都市，610000

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一種顧及鐘差周期誤差和隨機特性的衛(wèi)星鐘差預(yù)報方法

孫大雙1呂志平1王宇譜1李柏地2王 寧1

1 信息工程大學(xué)地理空間信息學(xué)院，鄭州市科學(xué)大道62號，450001 2 解放軍78092部隊,成都市，610000

提出一種顧及鐘差周期誤差和隨機特性的衛(wèi)星鐘差預(yù)報方法。首先通過比較二次多項式加1、2、3、4個主要周期誤差的模型，取其優(yōu)者求得鐘差預(yù)報的擬合值;然后針對擬合殘差值的隨機特性采用灰色模型進行建模，求得擬合值殘差預(yù)報值；最后，將其與之前求得的預(yù)報值相結(jié)合得到最終的鐘差預(yù)報值。采用IGS的15 min精密鐘差數(shù)據(jù)進行實驗，結(jié)果表明，在短期預(yù)報中，加2個主要周期誤差的模型預(yù)報性能最好，并且新模型的預(yù)報精度優(yōu)于常用算法。

二次多項式模型；灰色模型；周期誤差；衛(wèi)星鐘差；隨機特性

目前，IGS提供的精密鐘差產(chǎn)品精度約0.1 ns，但實時性較差；而廣播星歷和快速鐘差預(yù)報產(chǎn)品的精度不高，無法滿足高精度定位的要求[1-2]。研究表明，原子鐘的頻率總波動是多種不同噪聲的線性組合[3-5]，因此建立精確的原子鐘運行模型非常困難。很多學(xué)者構(gòu)造了不同的模型以及各種組合模型進行鐘差預(yù)報研究[1,6-10]。其中，二次多項式模型(QP模型)和灰色模型(GM模型)是最常用的預(yù)報模型，但這兩種方法都僅僅研究了鐘差趨勢項函數(shù)模型。雖然考慮周期誤差的二次多項式模型預(yù)報效果較好，但沒有考慮隨機項對鐘差預(yù)報的影響。

本文基于二次多項式模型和灰色模型，提出一種顧及鐘差周期誤差和隨機特性的衛(wèi)星鐘差預(yù)報方法。首先比較4種二次多項式加不同主要周期誤差的模型，取其優(yōu)者求得鐘差預(yù)報的擬合值；然后針對擬合殘差值的隨機特性采用灰色模型進行建模，求得擬合值殘差預(yù)報值；最后將其與二次多項式加主要周期誤差模型求得的鐘差預(yù)報值相結(jié)合，得到最終的鐘差預(yù)報值。利用IGS官方網(wǎng)站的15 min精密鐘差數(shù)據(jù)進行短期鐘差預(yù)報，比較不同算法的預(yù)報精度并得出相應(yīng)結(jié)論。

1 原 理

鐘差預(yù)報的二次多項式模型誤差方程為[11]：

(1)

式中，Li為歷元時刻ti的衛(wèi)星鐘差，a0、a1、a2分別為參考時刻t0的衛(wèi)星鐘差、鐘速和衛(wèi)星鐘的頻漂，Δi為模型殘差。根據(jù)最小二乘原理，當鐘差數(shù)據(jù)多于3個時，可解算得到未知參數(shù)的最或然值。

在鐘差擬合預(yù)報中，除考慮鐘差的趨勢項，還應(yīng)考慮其周期變化特性。附加周期誤差的二次多項式模型為：

(2)

式中，p為周期誤差個數(shù)，Ak、fk、φk分別為對應(yīng)周期誤差的振幅、頻率和相位。

由文獻[12]可知，星載原子鐘受周期誤差影響的順序由大到小為12 h、6 h、4 h、3 h，也有學(xué)者認為取前兩個周期誤差即可[12-13]，即p=4或2。通過二次多項式加周期誤差的模型[13]所得到的擬合殘差值會受到各種噪聲組合的隨機項以及模型本身不足等因素的影響，而各種噪聲的組合情況變化無常，很難得到其細致的變化規(guī)律。以2012-10-01精密鐘差數(shù)據(jù)中PRN32衛(wèi)星的數(shù)據(jù)進行二次多項式加兩個主要周期誤差建模為例，求得2012-10-02的鐘差預(yù)報殘差值(圖1)。

圖1 PRN32衛(wèi)星鐘差預(yù)報殘差Fig.1 The error of clock bias prediction of satellite PRN32

由圖1可知，預(yù)報殘差值的大小受到預(yù)報模型或原子鐘本身及各種因素的影響而無法獲得其細致的變化規(guī)律，大致呈現(xiàn)出遞增或遞減的趨勢，符合灰色系統(tǒng)建模的基本條件[6,14-16]。通過對原始數(shù)據(jù)進行累加或累減生成一組規(guī)律性較強的新序列，對新序列可以建立灰色模型。

基于此，本文提出一種顧及鐘差周期誤差和隨機特性的衛(wèi)星鐘差預(yù)報方法，其模型表達式為:

(3)

式中，GM(1,1)表示灰色模型，其微分方程表達式為dx/dt+ax=u。a、u分別為發(fā)展系數(shù)和灰色作用量，x為數(shù)據(jù)序列，t為時間。

由于GM(1,1)模型要求計算序列是非負的[17]，在對二次多項式加主要周期誤差模型得到的擬合殘差值進行灰色建模時，必須檢查殘差值序列的正負號是否一致。若不是，則給每一個殘差值都加上一個常數(shù)c，從而使該序列的符號一致。由此得到的序列預(yù)報值再減去常數(shù)c，即可得到殘差值的預(yù)報值[18]。如圖1所示，預(yù)報殘差值序列有正有負，應(yīng)當對其進行處理。對于常數(shù)c的具體取值，目前已有文獻沒有明確說明。本文通過對比加上不同大小的常數(shù)c的鐘差預(yù)報實驗發(fā)現(xiàn)，在預(yù)報過程中，常數(shù)c越大，精度越高；達到一定程度后，精度不再提高。其原因是，當所加常數(shù)c達到某一數(shù)值后，正數(shù)序列的特性趨于穩(wěn)定，其數(shù)值不再對模型預(yù)報結(jié)果產(chǎn)生較明顯的影響。

該組合預(yù)報方法的基本思路為：使用初始鐘差數(shù)據(jù)L(0)={l(0)(i),i=1,2,…,n}進行二次多項式加主要周期誤差建模；將L減去二次多項式加主要周期誤差求得的擬合鐘差值L1，得到擬合鐘差值的誤差V1；對所得的擬合誤差V1采用基于最小二乘的GM(1,1)模型進行建模，并得到擬合誤差的預(yù)報值V2；最后，將V2加上由二次多項式加主要周期誤差模型的鐘差預(yù)報值P1，得到最終的鐘差預(yù)報值P。為了驗證主要周期誤差個數(shù)對衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報效果的影響，本文采用4種組合方式：1)考慮12 h一個周期誤差；2)考慮12 h和6 h兩個周期誤差；3)考慮12 h、6 h和3 h三個周期誤差；4)考慮12 h、6 h、4 h和3 h四個周期誤差，分別進行鐘差預(yù)報，取其優(yōu)者的擬合誤差值進行灰色建模，如圖2所示。

圖2 組合鐘差預(yù)報模型解算流程Fig.2 Calculating process of combination model for clock bias prediction

定義鐘差預(yù)報的均方根誤差為：

(4)

式中，εi為i時刻鐘差預(yù)報誤差，Pi為i時刻鐘差預(yù)報值，Li為i時刻IGS精密鐘差值。

2 算例分析

本文采用GPS系統(tǒng)15 min采樣間隔的最終精密鐘差產(chǎn)品進行預(yù)報實驗，從IGS官方網(wǎng)站下載2012-09-29～2013-09-28的精密鐘差數(shù)據(jù)。目前的星載原子鐘有BLOCK ⅡA型、BLOCK ⅡR型、BLOCK ⅡR-M型、BLOCK ⅡF型4種(表1)。

超快速(IGU)產(chǎn)品雖然既含實測數(shù)據(jù)又有預(yù)報數(shù)據(jù)，但其數(shù)據(jù)質(zhì)量卻相對較差，存在起點偏差、數(shù)據(jù)粗差及鐘跳相對嚴重等問題。因此，在鐘差預(yù)報實驗中，本文選取該時間段內(nèi)未出現(xiàn)鐘差跳變和間斷的完整鐘差數(shù)據(jù)進行相關(guān)研究，且以其為參考真值，計算每次預(yù)報結(jié)果的均方根誤差。為了避免某一天的預(yù)報精度較好或較差而對模型的預(yù)報性能造成影響，選取每顆星鐘差預(yù)報多次的均方根誤差的均值(mean)、最小值(min)以及極差值(range)作為統(tǒng)計量，并統(tǒng)計這3個量的平均值，以此來分析各種衛(wèi)星鐘差預(yù)報模型在連續(xù)鐘差預(yù)報中的效果。

表1 GPS系統(tǒng)搭載原子鐘的在軌衛(wèi)星(截止到2014-07-14)

下文字母意義如下：QPT1表示二次多項式加1個主要周期誤差(12 h)模型，QPT2表示二次多項式加2個主要周期誤差(12 h、6 h)模型，QPT3表示二次多項式加3個主要周期誤差(12 h、6 h、4 h)模型，QPT4表示二次多項式加4個主要周期誤差(12 h、6 h、4 h、3 h)模型，QPGM表示二次多項式模型與灰色模型結(jié)合的組合模型，QPT2GM表示二次多項式加2個主要周期誤差(12 h、6 h)模型與灰色模型相結(jié)合的組合模型。

設(shè)計兩個算例對各模型的鐘差預(yù)報效果進行分析。

算例1 選擇2013-06-16～07-29以4 d為窗口、每次向前滑動1 d的鐘差數(shù)據(jù)，采用QPT1模型、QPT2模型、QPT3模型和QPT4模型分別連續(xù)進行40次的6 h、12 h和24 h鐘差預(yù)報。為比較4種模型的預(yù)報性能，統(tǒng)計4種模型連續(xù)40次預(yù)報結(jié)果的均方根誤差最小值、平均值和極差值，其平均值見表2。

表2 算例1中各項統(tǒng)計量平均值

由各顆衛(wèi)星的預(yù)報結(jié)果可知，所有衛(wèi)星鐘差預(yù)報均方根誤差平均值都在ns級甚至亞ns級，說明4種模型均有良好的預(yù)報性能。同時，相比于其他衛(wèi)星，PRN04、PRN08、PRN10、PRN24、PRN28連續(xù)40次鐘差預(yù)報的均方根誤差平均值和極差值較大，說明采用這4種模型進行鐘差預(yù)報時，搭載Rb原子鐘的衛(wèi)星鐘差預(yù)報性能優(yōu)于搭載Cs原子鐘的衛(wèi)星，后期發(fā)射的衛(wèi)星鐘差預(yù)報性能優(yōu)于早期發(fā)射的衛(wèi)星。分別對比4種模型對不同衛(wèi)星預(yù)報不同長度鐘差的均方根誤差平均值和極差值可知，4種模型的預(yù)報精度隨著預(yù)報時間的增加逐漸降低。

由表2可知，后3種模型的預(yù)報性能優(yōu)于QPT1模型，與QPT1模型的min、mean和range平均值之差分別在10-11、10-12、10-11量級。 QPT2模型的range平均值大于其他幾種模型，其原因是QPT2模型的min平均值優(yōu)于另外3種模型，若數(shù)據(jù)質(zhì)量下降，QPT2模型的RMS值與另外3種模型相當時，則會出現(xiàn)QPT2模型的range平均值偏大的情況。再者，QPT2模型的mean平均值明顯優(yōu)于另外3種模型，因此，由min、mean、range 3統(tǒng)計量的平均值綜合分析可得，QPT2模型的鐘差預(yù)報性能是4種模型中最好的。

算例2 由算例1可知，QPT2模型的預(yù)報性能在4種模型中是最優(yōu)的。選取2012-09-29～11-11以4 d為窗口、每次向前滑動1 d的鐘差數(shù)據(jù)，采用QP、QPT2、QPT2GM、QPGM和GM模型分別連續(xù)進行40次6 h、12 h和24 h鐘差預(yù)報。在QPT2GM和QPGM模型中，采用QPT2和QP模型擬合殘差值中最后48個歷元進行灰色建模，將連續(xù)40次6 h預(yù)報結(jié)果的均方根誤差平均值和極差值繪制成圖(圖3、圖4)。由于篇幅所限，將所有衛(wèi)星預(yù)報時長為6 h、24 h的結(jié)果統(tǒng)計量平均值統(tǒng)計在表3中。

由圖3、圖4可知，5種模型進行6 h鐘差預(yù)報的結(jié)果精度均在ns級和亞ns級(大部分在亞ns級)，說明5種模型的預(yù)報結(jié)果都比較可靠。QPT2GM模型的預(yù)報精度及穩(wěn)定性優(yōu)于其余4種模型，說明對少量QPT2模型的擬合殘差值進行灰色建模可以提高預(yù)報殘差值的可靠性。

由表3可知，相比于其他4種模型，QPT2GM模型解得的各項統(tǒng)計量平均值都較小，表明QPT2GM模型的鐘差預(yù)報精度與穩(wěn)定性優(yōu)于其余4種模型。同時，對比兩種原子鐘的預(yù)報效果可知，采用文中幾種方法進行鐘差預(yù)報時，Rb鐘的預(yù)報效果優(yōu)于Cs鐘，其連續(xù)40次預(yù)報均方根誤差的min及mean的平均值比Cs鐘小80%以上，其連續(xù)40次預(yù)報均方根誤差range的平均值比Cs鐘小70%以上。QPT2GM模型對Cs鐘的改善尤為明顯，提高的效率是Rb鐘的2倍以上。

圖3 不同模型4 d數(shù)據(jù)預(yù)報6 h鐘差RMS平均值Fig.3 The mean value of RMS of four days clock’s prediction in 6 h with different models

圖4 不同模型4 d數(shù)據(jù)預(yù)報6 h鐘差RMS極差值Fig.4 The range value of RMS of four days clock’s prediction in 6 h with different models

各統(tǒng)計量平均值原子鐘預(yù)報6h/ns預(yù)報24h/nsQPQPT2QPT2GMQPGMGMQPQPT2QPT2GMQPGMGMminRb0.2280.1980.1360.1940.1860.3820.3400.2560.3190.312Cs1.3490.9740.8711.1351.2213.0502.1521.6471.8082.319meanRb1.2131.2130.5220.7840.6632.3972.3791.4971.6501.522Cs5.3125.0563.2374.2714.1238.7358.4547.0307.6146.668rangeRb4.2524.4081.5082.3031.9737.7537.8025.5485.7555.967Cs12.05811.5205.9979.0509.36823.95224.84418.34218.46016.848

3 結(jié) 語

1)本文所提算法的解算精度及穩(wěn)定性在衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報中均優(yōu)于常用算法，可以作為一種較好的鐘差預(yù)報模型，且采用該模型進行衛(wèi)星鐘差預(yù)報時，Rb鐘的預(yù)報效果優(yōu)于Cs鐘。

2)在一定精度范圍內(nèi)，進行衛(wèi)星鐘差短期預(yù)報時可以只考慮2個主要周期誤差。

3)鐘差預(yù)報模型的預(yù)報性能與星載原子鐘的類型及發(fā)射時間有關(guān)，后期發(fā)射的衛(wèi)星鐘差預(yù)報性能優(yōu)于早期衛(wèi)星，與目前已公開的結(jié)論一致。

4)本文對鐘差趨勢項進行建模時采用二次多項式模型，但是該模型并不適用于所有類型的衛(wèi)星，在以后工作中將對其作進一步研究。

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About the first author:SUN Dashuang, postgraduate, majors in theory and method of surveying data processing, E-mail:sundashuang1992@163.com.

A Method of Satellite Clock Bias Prediction Considering Periodic Errors and Stochastic Characteristics

SUNDashuang1LüZhiping1WANGYupu1LIBodi2WANGNing1

1 School of Surveying and Mapping, Information Engineering University, 62 Kexue Road, Zhengzhou 450001, China 2 78092 Troops，Chengdu 610000,China

In order to improve satellite clock bias prediction, a new prediction method is proposed considering periodic errors and stochastic characteristics. First, the given satellite clock bias is fitted by four quadratic polynomial models with one to four dominating periodic errors; the best model is then chosen to obtain the fitting residuals. Then, the prediction of the fitting residuals is modeled based on grey model, considering the stochastic characteristics of the fitting residuals. Finally, the clock bias based on the best of the four models and prediction of the fitting residuals are combined to obtain the ultimate prediction result. The precise data of satellite clock bias within 15 min from IGS are used to conduct experiments on different models. The results show that the model with two dominating periodic errors is better than the model with other dominating periodic errors and that the proposed model performs better than commonly used models in short-term prediction.

quadratic polynomial model; grey model; periodic error; satellite clock bias; stochastic characteristic

National Natural Science Foundation of China, No.41274015; National Key Research and Development Program of China, No.2016YFB0501701; Open Fund of State Key Laboratory of Geo-Information Engineering, No.SKLGIE2015-M-2-1.

2015-11-02

項目來源：國家自然科學(xué)基金(41274015);國家重點研發(fā)計劃(2016YFB0501701)；地理信息工程國家重點實驗室開放基金(SKLGIE2015-M-2-1)。

孫大雙，碩士生，主要從事測量數(shù)據(jù)處理方法與理論研究，E-mail：sundashuang1992@163.com。

10.14075/j.jgg.2016.12.010

1671-5942(2016)012-1078-05

P228

A