馬宗剛, 鄒新月, 馬超群

(1.廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，廣東 廣州 510320；2.湖南大學(xué)工商管理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

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雙隨機(jī)復(fù)合泊松損失下巨災(zāi)債券定價(jià)與數(shù)值模擬

馬宗剛1, 鄒新月1, 馬超群2

(1.廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)金融學(xué)院，廣東 廣州 510320；2.湖南大學(xué)工商管理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410082)

上世紀(jì)90年代出現(xiàn)的巨災(zāi)債券是以規(guī)避巨災(zāi)財(cái)產(chǎn)損失為目的的新型非傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移金融創(chuàng)新工具之一，在我國(guó)有良好的發(fā)展前景。本文針對(duì)巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件呈現(xiàn)出周期性與不規(guī)則的上升特征，構(gòu)建了BDT過(guò)程用以刻畫巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的抵達(dá)過(guò)程，并基于風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度技術(shù)，在隨機(jī)利率環(huán)境與雙隨機(jī)復(fù)合泊松損失條件下, 導(dǎo)出了巨災(zāi)債券定價(jià)公式。進(jìn)而結(jié)合倫敦同業(yè)銀行拆借利率數(shù)據(jù)與美國(guó)保險(xiǎn)服務(wù)所提供的PCS損失指數(shù)估計(jì)并校正了模型參數(shù)。最后,通過(guò)數(shù)值模擬檢驗(yàn)了利率風(fēng)險(xiǎn)與巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)如何影響巨災(zāi)債券的價(jià)格，同時(shí)驗(yàn)證了定價(jià)模型的可行性。

巨災(zāi)債券;雙隨機(jī)泊松過(guò)程;BDT強(qiáng)度; 廣義極值分布

1 引言

近二十年來(lái)全球各地發(fā)生了一系列巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件,比如美國(guó)的安德魯颶風(fēng)、北嶺地震, 卡特里娜颶風(fēng)以及2012年的桑迪颶風(fēng), 2004年印度尼西亞蘇門答臘島地震并引發(fā)的海嘯, 2005年南亞大地震, 2008年中國(guó)汶川大地震, 2011年智利大地震與東日本大地震等等, 這些巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件給人類造成了巨大的人員傷亡與財(cái)產(chǎn)損失。而且政府間氣候變化專門委員會(huì)第四份評(píng)估報(bào)告(2007)預(yù)測(cè)21世紀(jì)全球出現(xiàn)極端災(zāi)害的頻率可能會(huì)持續(xù)增加。面對(duì)日益嚴(yán)峻的世界氣候變化，傳統(tǒng)的保險(xiǎn)與再保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)分散工具，由于其自身承保能力的有限性和風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移模式的局限性已越來(lái)越不能滿足巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)分散的需求[1]。

為了擴(kuò)大巨災(zāi)再保險(xiǎn)市場(chǎng)的承保容量, 近年來(lái)出現(xiàn)了一些新型的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移工具,即把承保巨災(zāi)保險(xiǎn)的部分風(fēng)險(xiǎn)通過(guò)金融創(chuàng)新工具轉(zhuǎn)移到強(qiáng)大的資本市場(chǎng)。巨災(zāi)債券就是目前巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)衍生產(chǎn)品中發(fā)展最成功、最重要的金融創(chuàng)新工具之一。漢諾威再保險(xiǎn)公司于1994年成功發(fā)行第一只價(jià)值八千五百萬(wàn)美元的巨災(zāi)債券。東京迪士尼樂(lè)園針對(duì)樂(lè)園所在地區(qū)可能發(fā)生地震的風(fēng)險(xiǎn), 在1999年發(fā)行了只涉及地震風(fēng)險(xiǎn)的巨災(zāi)債券, 這是第一只由非金融公司成功發(fā)行的巨災(zāi)債券[2]。近年來(lái), 巨災(zāi)債券市場(chǎng)已經(jīng)得到了迅猛發(fā)展, 種類繁多的巨災(zāi)債券已經(jīng)得到成功發(fā)行。由于它是一種零貝塔資產(chǎn)，具備降低投資組合風(fēng)險(xiǎn)的優(yōu)點(diǎn), 因此巨災(zāi)債券也越來(lái)越備受機(jī)構(gòu)投資者的青睞[3]。據(jù)Artemis資本有限公司統(tǒng)計(jì)，截至2015年9月11日，債券市場(chǎng)上總共有249.79億美元未償付巨災(zāi)債券。

巨災(zāi)債券能否成功發(fā)行，公平定價(jià)極為關(guān)鍵。然而巨災(zāi)債券不僅在結(jié)構(gòu)特征上具備金融衍生產(chǎn)品的屬性，也在邏輯特征上具有保險(xiǎn)產(chǎn)品的屬性，這種雙重屬性特征使得它的估值問(wèn)題面臨較大困難。而又由于巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)造成的累積損失過(guò)程存在著跳躍風(fēng)險(xiǎn)并且標(biāo)的風(fēng)險(xiǎn)具有不可交易性，因此巨災(zāi)債券的支付也就不能由傳統(tǒng)的債券或者股票的組合進(jìn)行對(duì)沖，一個(gè)不完全市場(chǎng)的假設(shè)就不可避免，這就意味著存在多個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度，從而導(dǎo)致巨災(zāi)債券價(jià)格理論上不唯一。同時(shí)又由于巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生的頻率以及造成的損失規(guī)模難以預(yù)測(cè)，這給巨災(zāi)債券定價(jià)帶來(lái)了極大困難，因此巨災(zāi)債券發(fā)展至今尚未形成成熟的定價(jià)理論體系。Geman與Yor[4]指出巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)衍生品定價(jià)方法論主要包含三個(gè)要素: 第一要素是巨災(zāi)累積損失的隨機(jī)模型選擇；第二要素是確定利用金融定價(jià)方法還是精算定價(jià)方法；第三要素為定價(jià)模型中的隨機(jī)源和等價(jià)鞅測(cè)度的確定。因此關(guān)于巨災(zāi)債券的定價(jià)方法研究大致可以分為三類：第一類是以Cox 與 Pedersen[5], 李永等[6]為代表均衡定價(jià)模型；第二類是以Lee 與 Yu[7]、Vaugirard[8]以及Lai等[9]為代表的無(wú)套利定價(jià)方法；第三類是以Wang[10]與Galeotti等[11]為代表的基于精算方法實(shí)證定價(jià)研究。

然而為了便于模型推導(dǎo)，目前大多數(shù)文獻(xiàn)對(duì)模型作了簡(jiǎn)化處理，但是這種簡(jiǎn)化處理通常會(huì)引起以下問(wèn)題：第一、不考慮隨機(jī)利率因素的影響，直接假定利率為常數(shù)利率，如H?rdle與Cabrera[12]等；第二、假定巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的抵達(dá)強(qiáng)度為確定性函數(shù)，如Lee 與 Yu[7]、Vaugirard[8]等，這并不符合巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件存在周期性變化、波動(dòng)較大且逐漸呈遞增的趨勢(shì)等特征。因此本文針對(duì)以上存在的問(wèn)題提出一種簡(jiǎn)單的未定權(quán)益定價(jià)模型用來(lái)估計(jì)巨災(zāi)債券價(jià)格, 并且利用美國(guó)保險(xiǎn)服務(wù)所提供的巨災(zāi)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)損失指數(shù)與12個(gè)月LIBOR每日美元報(bào)價(jià)數(shù)據(jù)估計(jì)并校正了模型參數(shù), 進(jìn)一步通過(guò)數(shù)值模擬結(jié)果表明求得的債券價(jià)格與客觀現(xiàn)實(shí)情況是保持一致的，從而驗(yàn)證了模型的可行性。

2 模型設(shè)定與構(gòu)建

2.1 估值理論

在缺乏套利機(jī)會(huì)的金融市場(chǎng), 未定權(quán)益{CT:T>t}在t時(shí)刻的價(jià)值為:

Vt=EtQ(D(t,T)CT|Ft)

(1)

2.2 利率動(dòng)態(tài)過(guò)程

本文選用的利率模型遵循CIR模型(所謂CIR模型為Cox-Ingersoll-Ross模型的縮寫)[13]，即期限為T面值為1的零息票債券的價(jià)格過(guò)程{V(t,T)}滿足如下隨機(jī)微分方程:

(2)

其中:

則利率風(fēng)險(xiǎn)的市場(chǎng)價(jià)格Λt可以表示為:

(3)

其中λr是一個(gè)確定利率風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格的參數(shù), 在本文中假設(shè)為常數(shù)。

則在客觀概率測(cè)度P下，短期利率過(guò)程{rt}遵循平方根過(guò)程，滿足如下隨機(jī)微分方程:

(4)

其中κ>0是均值回復(fù)率，θ>0是利率長(zhǎng)期均值(常數(shù))，σ是波動(dòng)率，Wt表示一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。

對(duì)于金融衍生品定價(jià), 通常要用到風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)測(cè)度, 為此要構(gòu)造一個(gè)等價(jià)鞅測(cè)度。首先定義一個(gè)新的過(guò)程Wt*, 其表達(dá)式為:

(5)

其中g(shù)s在變換中是一個(gè)核, 風(fēng)險(xiǎn)市場(chǎng)價(jià)格Λs被定義為Girsanov核gs的負(fù)數(shù)。

Randon-Nikodym導(dǎo)數(shù)為:

(6)

定義測(cè)度Q滿足:

(7)

由Girsanov定理可知Q是P的等價(jià)鞅測(cè)度, 且Wt*仍為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)。則由Girsanov定理可以得到:

(8)

其中α為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。

重新整理(8)可以得到:

(9)

因此在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下, 利率過(guò)程轉(zhuǎn)化為:

(10)

其中, κ*=κ+λr

2.3 累積索賠動(dòng)態(tài)過(guò)程

巨災(zāi)保險(xiǎn)累積損失分布是一個(gè)復(fù)合分布, 主要包含兩個(gè)部分：巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的頻率以及由巨災(zāi)造成的財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)損失(Tse[14])。本文遵循Aase[15]的建模方法，假定巨災(zāi)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)累積損失過(guò)程服從復(fù)合泊松過(guò)程。關(guān)于巨災(zāi)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)累積損失過(guò)程有一些假定條件：

(1)在巨災(zāi)債券合約指定區(qū)域存在一個(gè)泊松點(diǎn)過(guò)程{Nt}t∈[0,T]用以刻畫巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件流，假定泊松點(diǎn)過(guò)程的強(qiáng)度為有界可料過(guò)程mt,并且使用時(shí)間0≤t1≤…≤tj≤…≤T表示潛在發(fā)生的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件；

(2)當(dāng)累積索賠Lt超越門限水平D時(shí), τ=inf{t:Lt≥D}表示觸發(fā)事件發(fā)生的時(shí)間；

(3)由巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件流{tj}j=1,…造成的財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)損失{Xj}j=1,…為獨(dú)立同分布(i.i.d.)的隨機(jī)變量, 其分布函數(shù)為F(x)=P{Xj

因此定義一個(gè)左連續(xù)可測(cè)過(guò)程為:

(11)

其中Nt與Xj被假定為相互獨(dú)立的。

2.4 巨災(zāi)債券定價(jià)模型

由于巨災(zāi)造成的財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)損失過(guò)程中存在跳躍風(fēng)險(xiǎn), 很顯然市場(chǎng)為非完全的市場(chǎng), 即沒有唯一的等價(jià)鞅測(cè)度。因此不能使用組合復(fù)制方法對(duì)巨災(zāi)債券進(jìn)行定價(jià)。而對(duì)于非完全市場(chǎng)存在很多方法選取等價(jià)鞅測(cè)度用來(lái)估值未定權(quán)益資本，比較流行的方法是Merton[16]測(cè)度以及Gerber與Shiu[17]提出的Esscher變換方法。程鋮等[18]基于Esscher變換給出了巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價(jià)一般解析表達(dá)式，而本文選取Merton測(cè)度, 假設(shè)跳躍風(fēng)險(xiǎn)是可分散的, 也就是說(shuō), 小范圍發(fā)生的巨災(zāi)對(duì)整個(gè)經(jīng)濟(jì)環(huán)境只有部分影響, 巨災(zāi)對(duì)資本市場(chǎng)的沖擊為非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)，則投資者的期望收益等價(jià)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率, 即零風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。這種假設(shè)是非常重要的, 如果跳躍風(fēng)險(xiǎn)是系統(tǒng)的, 則無(wú)法使用風(fēng)險(xiǎn)中性估值理論進(jìn)行定價(jià)(Lee 與 Yu[7]，Vaugirard[8]等)。關(guān)于這條假設(shè)也是有其現(xiàn)實(shí)依據(jù)，Yago與 Reiter[19]、Cummins 與 Weiss[20]等通過(guò)實(shí)證研究表明巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)屬于零貝塔事件，巨災(zāi)衍生品和金融市場(chǎng)其他類資產(chǎn)相關(guān)性非常低，可視為非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。本文進(jìn)一步假定, 在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，僅依賴金融事件的變量獨(dú)立于僅依賴巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的變量，并且累積索賠過(guò)程從客觀概率轉(zhuǎn)變?yōu)轱L(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度的過(guò)程中依然保持最初的特征結(jié)構(gòu)。

本文考慮面值為1, 期限為T的零息票巨災(zāi)債券，其支付結(jié)構(gòu)被定義為:

(12)

其中D為債券合約中指定的門限值；LT為到期T時(shí)累積索賠；p為債券合約中在到期T時(shí)當(dāng)累積索賠超越門限值D時(shí)約定的支付比例。這就是說(shuō)當(dāng)債券到期時(shí)，若巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)造成的累積損失超越預(yù)先指定的門限水平時(shí)，巨災(zāi)債券發(fā)行公司有權(quán)保留部分甚至全部銷售債券所得的收益；反之，到期時(shí)支付債券面值給投資者。

若沒有發(fā)生觸發(fā)合約事件，則投資者收到的面值中包含本金、以倫敦同業(yè)銀行拆借利率(LIBOR)為基準(zhǔn)的浮動(dòng)利率以及價(jià)差。也可以認(rèn)為全部利息(Total Coupon Rate)是以LIBOR為基準(zhǔn)的浮動(dòng)利率與超過(guò)浮動(dòng)利率的價(jià)差(Spread)之和，即Total coupon rete%=LIBOR%+Spread%。

則面值為1的零息票巨災(zāi)債券在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度Q下, 門限值為D, 巨災(zāi)事件流為Nt, 損失分布為F(x), 期限為T, 在時(shí)刻t的價(jià)格為:

(13)

(14)

其中，F(xiàn)*n(D)=Pr(X1+X2+…+Xn≤D)表示F與本身的n重卷積, EQ表示風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的期望:

ZCIR(t,T)=A(t,T)e-B(t,T)rt

(15)

(16)

(17)

(18)

3 定價(jià)模型中的參數(shù)估計(jì)

3.1 數(shù)據(jù)說(shuō)明與處理

本文選取美國(guó)巨災(zāi)從1985年1月1日到2010年12月31日造成的財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)為研究樣本, 共770個(gè)巨災(zāi)損失觀測(cè)值與780次巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件。數(shù)據(jù)來(lái)源于美國(guó)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)服務(wù)所(ISO’S PCS)。考慮到通貨膨脹的影響, 所有的巨災(zāi)數(shù)據(jù)通過(guò)美國(guó)勞工部發(fā)布的消費(fèi)價(jià)格指數(shù)被調(diào)整為2010年物價(jià)水平。圖1給出了美國(guó)從1985年到2010年P(guān)CS損失指數(shù)與巨災(zāi)發(fā)生次數(shù)的季度與年度數(shù)據(jù)。從圖1可以看到, 巨災(zāi)發(fā)生次數(shù)的年度與季度數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出一定的周期性與季節(jié)性。

圖1 季度與年度的PCS損失指數(shù)與巨災(zāi)次數(shù)

首先考察財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)的對(duì)數(shù)柱狀圖，從圖2可以清楚看出PCS財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)的圖形有右偏的厚尾行為。接著表1列出了一些財(cái)產(chǎn)巨災(zāi)保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)描述性統(tǒng)計(jì)量。從表 1可以看出, PCS損失數(shù)據(jù)存在明顯的“厚尾”特征(峰度大于3, 方差非常大), 同時(shí)也具有右偏形態(tài)(偏度大于0),Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量為1, 拒絕正態(tài)分布的假設(shè)。為進(jìn)一步考察巨災(zāi)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)損失數(shù)據(jù)的行為特征，將采用QQ(Quantiles-Quantiles)圖與平均超限函數(shù)(Mean Excess Function, MEF)圖分析法。從圖3與圖4明顯看出QQ圖的尾部行為呈現(xiàn)上凸形狀，而mef圖也呈現(xiàn)向上趨勢(shì)，從而這些數(shù)據(jù)點(diǎn)具備厚尾特征。

圖2 PCS損失指數(shù)對(duì)數(shù)柱狀圖

圖3 PCS損失指數(shù)的Q-Q圖

圖4 平均超限函數(shù)圖

統(tǒng)計(jì)量百分位統(tǒng)計(jì)量樣本數(shù)770最小值0.07034均值5.05165%0.2524方差554.8210%0.3577標(biāo)準(zhǔn)差23.55525%(Q1)0.65832變異系數(shù)4.662850%(Median)1.3618標(biāo)準(zhǔn)誤差0.8488575%(Q3)2.7562偏度13.09490%6.9632超值峰度210.3295%12.925Jarque-Bera1(0.01)最大值458.88

注:()中是Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量的p值。

3.2 財(cái)產(chǎn)損失分布

由于PCS損失數(shù)據(jù)表現(xiàn)出“厚尾”特征,因此本文將采用極值理論模型中的廣義極值分布(Generalized Extreme Value Distribution, GEV)擬合這些PCS損失指數(shù)是可行的。廣義極值分布的累積分布函數(shù)為:

(19)

其中α,σ>0,μ分別為分布函數(shù)的形狀參數(shù), 尺度參數(shù), 位置參數(shù)。

首先采用塊最值法(Block Maxima Method, BMM )對(duì)1985年1月1日到2010年12月31日PCS損失數(shù)據(jù)進(jìn)行分塊，選擇6個(gè)月為一周期，把這些數(shù)據(jù)分成52塊，選取每個(gè)周期內(nèi)的數(shù)據(jù)最大值重新構(gòu)成一組觀測(cè)變量。為了說(shuō)明極值分布擬合性能優(yōu)越性，本文將選取其他兩種經(jīng)典的厚尾分布(如兩參數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布與威布爾分布)與之比較。通過(guò)應(yīng)用極大似然估計(jì)方法估計(jì)分布函數(shù)的參數(shù)，結(jié)果被顯示在表2。

表2 分布函數(shù)參數(shù)的估計(jì)值

注: 52個(gè)樣本數(shù)為BMH方法選取的觀測(cè)數(shù)據(jù)。

進(jìn)一步利用統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)方法對(duì)GEV分布與兩參數(shù)對(duì)數(shù)正態(tài)分布和威布爾分布的擬合數(shù)據(jù)效果進(jìn)行比較。表3列出了損失分布的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)結(jié)果。從表3可以看出GEV擬合效果最好。而根據(jù)糾正的赤池信息準(zhǔn)則(Corrected Akaike′s Information Criteria, AICc)與貝葉斯信息準(zhǔn)則(Bayesian Information Criteria, BIC)，計(jì)算結(jié)果如表4所示, 同樣顯示GEV分布有最小的AICc與BIC值，因此它表現(xiàn)的性能最好。所以GEV分布作為定價(jià)模型中的損失分布是非常適宜的。

3.3 索賠抵達(dá)強(qiáng)度

在保險(xiǎn)精算領(lǐng)域，泊松過(guò)程已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于形容巨災(zāi)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)索賠的抵達(dá)過(guò)程, 同時(shí)也被應(yīng)用于巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)衍生品的定價(jià)研究[6-8]。然而隨著全球氣候不斷變暖，非預(yù)期的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件也非常有可能隨時(shí)間呈上升趨勢(shì)。從圖1可以清楚看出PCS提供的美國(guó)1985-2010年間巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)并不單純是時(shí)間的函數(shù)，因此采用確定性強(qiáng)度函數(shù)(Deterministic Intensity)的(非)齊次泊松過(guò)程建模巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件抵達(dá)過(guò)程顯然是不充分的。部分學(xué)者通過(guò)實(shí)證研究表明雙隨機(jī)泊松過(guò)程比純泊松過(guò)程更適宜刻畫巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)抵達(dá)過(guò)程[21-22]。因?yàn)樵陔p隨機(jī)泊松過(guò)程條件下，巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)抵達(dá)強(qiáng)度函數(shù)被假定為隨機(jī)的時(shí)間函數(shù)，它不僅允許假定巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件的發(fā)生為周期性行為，這在一定程度上也符合現(xiàn)實(shí)(夏天更容易發(fā)生颶風(fēng)、臺(tái)風(fēng)以及洪水等災(zāi)害，而冬天更容易發(fā)生暴風(fēng)雪、冰凍等災(zāi)害)，而且還假定巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件的發(fā)生是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，很顯然該過(guò)程更適宜刻畫巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)抵達(dá)過(guò)程。為了刻畫出巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件的周期性變化、波動(dòng)較大且逐漸呈遞增趨勢(shì)等特征，本文構(gòu)建的隨機(jī)強(qiáng)度函數(shù)mt服從Black-Derman-Toy(BDT)模型(Black等[23])。其表達(dá)式為如下隨機(jī)微分方程：

表3 分布函數(shù)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)

注: KS表示Kolmogorov-Smirnov檢驗(yàn), AD表示Anderson-Darling檢驗(yàn)，p值表示檢驗(yàn)樣本(test statistic)觀察值的最低顯著性差異水平，CV表示臨界值，()中的值表示在顯著水平α=0.05下的檢驗(yàn)臨界值。

表4 分布函數(shù)的性能評(píng)價(jià)

注：AICc表示糾正的赤池信息準(zhǔn)則，BIC表示貝葉斯信息準(zhǔn)則，它們的值越小說(shuō)明分布函數(shù)的性能越好。

表5 強(qiáng)度函數(shù)擬合優(yōu)度性能評(píng)價(jià)

注：最優(yōu)值以黑體字標(biāo)注。

dln(mt)=α(t)dt+νdWt

(20)

其中α(t)為時(shí)間t的非隨機(jī)函數(shù)，ν為非負(fù)常數(shù)，Wt為標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動(dòng)。

為了刻畫mt的周期性行為，設(shè)定α(t)為時(shí)間t的周期性函數(shù)，即：

α(t)=a+bsin2(t+c)

(21)

其中a>0,b,c均為常數(shù),且a>b。

首先對(duì)方程(20)兩端取對(duì)數(shù)，獲得瞬間短期強(qiáng)度的精確解：

(22)

從而可以導(dǎo)出：

(23)

為簡(jiǎn)化計(jì)算，假定ν=0。結(jié)合美國(guó)巨災(zāi)從1985年1月1日到2010年12月31日發(fā)生的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)次數(shù), 本文應(yīng)用非線性最小二乘法估計(jì)出強(qiáng)度函數(shù)的參數(shù)分別為m0=32.34，a=0.059,b=-1.335,c=-1.0814。本文同時(shí)估計(jì)了Lin et al.[26]一文中提出的均值回復(fù)強(qiáng)度函數(shù)為λt=33.0858e-0.008(t-1)以及常強(qiáng)度λ=30。為了體現(xiàn)本文構(gòu)造隨機(jī)強(qiáng)度函數(shù)的優(yōu)越性，將采用均方誤差RMSE、平均絕對(duì)誤差MAE、Theil's不等式系數(shù)U、效率系數(shù)E以及符合指數(shù)d等五種擬合優(yōu)度指標(biāo)判別這三種強(qiáng)度函數(shù)的性能。擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)結(jié)果被顯示在表5。很明顯，mt有更小的RMSE,MAE與U值, 但是E與d的值卻最大, 因此它的性能表現(xiàn)為最好。

圖5 零息票巨災(zāi)債券關(guān)于期限T與門限值D的價(jià)格曲面

圖6 息票巨災(zāi)債券在隨機(jī)利率與常利率之間價(jià)格差曲面

4 數(shù)值模擬

為了簡(jiǎn)化計(jì)算,本文估計(jì)零息票巨災(zāi)債券面值為1美元在0時(shí)刻的債券價(jià)格。 首先假定巨災(zāi)債券合約到期區(qū)間為T∈[0.5,2.5](單位,年), 門限水平為D∈[1000,2500] (單位,千萬(wàn)美元,D的取值是由半年到兩年的巨災(zāi)財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)損失平均值確定)。市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)參數(shù)λ設(shè)為-0.01。p被設(shè)為0.5, 即在合約期內(nèi),如果累積財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)索賠超越門限水平,則到期只支付債券面值的一半。

選取2001年1月1日到2014年6月25日的12個(gè)月LIBOR每日美元報(bào)價(jià)數(shù)據(jù)，采用極大似然估計(jì)方法得到CIR利率模型中的參數(shù)值為(κ,θ,σ)=(0.235,0.00704,0.0402)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率數(shù)據(jù)來(lái)源于官方網(wǎng)站(http://research.stlouisfed.org/fred2/series/USD12MD156N/downloaddata)。本文r0取值超過(guò)2014年6月25日的12個(gè)月LIBOR報(bào)價(jià)數(shù)據(jù)0.5471%的價(jià)差3.5%作為初始利率，即為4.0471%。

現(xiàn)在利用蒙特卡洛模擬方法估計(jì)零息票巨災(zāi)債券的價(jià)格。圖5描繪了在CIR利率模型以及廣義極值分布分布、隨機(jī)泊松強(qiáng)度mt的條件下零息票巨災(zāi)債券關(guān)于到期期限T與門限水平D的價(jià)格曲面。從圖5可以看出隨著合約期限T的增加, 巨災(zāi)債券的價(jià)格隨之降低; 隨著門限水平D的升高將導(dǎo)致更高的債券價(jià)格。這與實(shí)際情況是一致的, 時(shí)間的增加將要求更高的利息, 門限水平的升高將降低風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償。從價(jià)格曲面圖也可以看出在開始的一段時(shí)間內(nèi)，隨著時(shí)間的增加, 債券價(jià)格比較平緩的降低, 這是因?yàn)殡S著時(shí)間的增加即使收到更多的利息, 但是巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的概率也隨之增高, 也就是說(shuō)部分利息被巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)抵消了; 然而，達(dá)到一定的時(shí)間，債券價(jià)格突然降低，這是因?yàn)橛|發(fā)債券合約的概率突然增大，要求風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償也會(huì)隨之增多。

為了考察隨機(jī)利率對(duì)巨災(zāi)債券價(jià)格的影響, 在定價(jià)模型中考慮一個(gè)常利率，其利率為一個(gè)連續(xù)復(fù)合年折現(xiàn)率r=ln(1+r0), 即為0.0397。圖6顯示了零息票巨災(zāi)債券在CIR利率模型條件下與常利率之間價(jià)格差。在期限T∈[0.5,2.5], 門限值D∈[1000,2500]內(nèi), 從圖6可以看出零息票巨災(zāi)債券在CIR利率模型條件下與常利率之間的價(jià)格差從0.0004779變化到0.0143,也就是說(shuō)隨著合約期限的增加，常利率持續(xù)相對(duì)高估零息票巨災(zāi)債券的價(jià)格，并且高估程度隨著合約期限的增加而變得更加嚴(yán)重。顯著的價(jià)格差表明利率的不確定性是影響債券價(jià)格的一個(gè)重要因素, 因此定價(jià)零息票巨災(zāi)債券時(shí)利率風(fēng)險(xiǎn)應(yīng)當(dāng)被充分考慮。

下一步通過(guò)列表考察巨災(zāi)損失分布的尺度參數(shù)σX與隨機(jī)強(qiáng)度的波動(dòng)率ν對(duì)零息票巨災(zāi)債券價(jià)格的影響，結(jié)果顯示在表6。從表可以清楚看出在相同的損失分布的尺度參數(shù)σX與隨機(jī)強(qiáng)度的波動(dòng)率ν假設(shè)下，零息票巨災(zāi)債券價(jià)格隨著門限水平D的增大而升高。在相同的門限水平D條件下，隨著隨機(jī)強(qiáng)度的波動(dòng)率ν或者損失分布的尺度參數(shù)σX增大，巨災(zāi)債券的價(jià)格隨之降低，這說(shuō)明隨機(jī)強(qiáng)度的波動(dòng)率ν與損失分布的尺度參數(shù)σX越大，觸發(fā)合約的概率就越高，要求額外的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償就越高。

表6 兩年期零息票巨災(zāi)債券在0時(shí)價(jià)格

5 結(jié)語(yǔ)

我國(guó)不僅面臨著所有潛在的巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)，而且管理巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)的手段卻極其單一，主要依賴于政府財(cái)政撥款與救濟(jì)，因此我國(guó)建立多層次巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)管理體系很有必要。巨災(zāi)債券就是一種非傳統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移工具，通過(guò)發(fā)行巨災(zāi)債券把巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移到強(qiáng)大的資本市場(chǎng)。墨西哥自然災(zāi)害資金(FONDEN)為應(yīng)對(duì)地震與颶風(fēng)的風(fēng)險(xiǎn)分別于2006、2009、2012年成功發(fā)行了三只巨災(zāi)債券，這給同是發(fā)展中國(guó)家的我國(guó)提供了良好的范例。巨災(zāi)債券可以通過(guò)政府、國(guó)內(nèi)保險(xiǎn)公司以及國(guó)外再保險(xiǎn)公司等多方合作實(shí)現(xiàn)發(fā)行，共同應(yīng)對(duì)巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)，把巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)通過(guò)金融創(chuàng)新工具轉(zhuǎn)移到資本市場(chǎng)，實(shí)現(xiàn)分散風(fēng)險(xiǎn)的目的。2013年11月12日中國(guó)共產(chǎn)黨第十八屆中央委員會(huì)第三次全體會(huì)議通過(guò)《中共中央關(guān)于全面深化改革若干重大問(wèn)題的決定》，完善保險(xiǎn)經(jīng)濟(jì)補(bǔ)償機(jī)制，建立巨災(zāi)保險(xiǎn)制度，鼓勵(lì)金融創(chuàng)新，豐富金融市場(chǎng)層次和產(chǎn)品。目前我國(guó)已經(jīng)初步具備發(fā)行巨災(zāi)債券的先決條件與國(guó)內(nèi)外市場(chǎng)環(huán)境。因此，積極開展巨災(zāi)債券定價(jià)模型的研究將在一定程度上為我國(guó)發(fā)行巨災(zāi)債券提供技術(shù)支持，這樣對(duì)提高我國(guó)保險(xiǎn)公司承保風(fēng)險(xiǎn)能力、彌補(bǔ)我國(guó)再保險(xiǎn)的不足以及減輕國(guó)家財(cái)政和社會(huì)保障部門的財(cái)政壓力都具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

本文在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)測(cè)度下導(dǎo)出一種未定權(quán)益模型估值巨災(zāi)債券, 不僅考慮了隨機(jī)利率因素的影響，而且構(gòu)建了BDT模型過(guò)程來(lái)刻畫巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)事件流的抵達(dá)率，用以更加貼近描繪巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)抵達(dá)的演化過(guò)程。繼而進(jìn)一步利用美國(guó)保險(xiǎn)服務(wù)所提供的PCS損失指數(shù)與12個(gè)月LIBOR每日?qǐng)?bào)價(jià)數(shù)據(jù)估計(jì)并校正了定價(jià)模型中的參數(shù)。通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明, 巨災(zāi)債券價(jià)格隨著時(shí)間的增加而降低, 隨著門限值的增加而升高, 這與現(xiàn)實(shí)情況是保持一致的。結(jié)果也同時(shí)表明利率的不確定性顯著影響巨災(zāi)債券的價(jià)格, 因此估值巨災(zāi)債券時(shí)，利率的不確定性應(yīng)當(dāng)被充分考慮。

然而, 需要指出的是,本文還存在一些不足之處, 影響巨災(zāi)債券價(jià)格的因素有很多, 比如債券合約中的道德風(fēng)險(xiǎn)、基差風(fēng)險(xiǎn)等, 本文并沒有充分考慮到這些因素, 這也是本文下一步研究的一個(gè)重要方向。

[1] D’Arcy S P，F(xiàn)rance V G. Catastrophe futures: A better hedge for insurers [J]. Journal of Risk and Insurance, 1992,59(4): 575-600.

[2] Cummins J. CAT bonds and other risk-linked securities: State of the market and recent developments [J]. Risk Management and Insurance Review, 2008, 11(1): 23-47.

[3] Doherty N A.Innovations in managing catastrophe risk [J]. Journal of Risk and Insurance, 1997, 64(4):713-718.

[4] Geman H, Yor M. Stochastic time changes in catastrophe option pricing [J]. Insurance: Mathematics and economics, 1997, 21(3): 185-193.

[5] Cox S H, Pedersen H W. Catastrophe risk bonds [J]. North American Actuarial Journal, 2000, 4(4): 56-82.

[6] 李永, 胡帥, 范蓓. 隨機(jī)利率下跨期多事件觸發(fā)巨災(zāi)債券定價(jià)研究 [J]. 中國(guó)管理科學(xué), 2013,21(5):8-14.

[7] Lee J P, Yu M T. Pricing default-risky CAT bonds with moral hazard and basis risk [J]. Journal of Risk and Insurance , 2002, 69(1): 25-44.

[8] Vaugirard, V. Pricing catastrophe bonds by an arbitrage approach [J]. The Quarterly Review of Economics and Finance, 2003, 43(1): 119-132.

[9] Lai V S, Parcollet M, Lamond B F. The valuation of catastrophe bonds with exposure to currency exchange risk [J]. International Review of Financial Analysis, 2014, 33(5):243-252.

[10] Wang S S. CAT bond pricing using probability transforms [J]. Geneva Papers: Etudes et Dossiers, special issue on Insurance and the State of the Art in Cat Bond Pricing, 2004, 278: 19-29.

[11] Galeotti M, Guertler M, Winkelvos C. Accuracy of premium calculation models for CAT bonds-an empirical analysis [J]. Journal of Risk and Insurance, 2013, 80(2):401-421.

[12] H?rdle W K, Cabrera B L. Calibrating CAT bonds for Mexican earthquakes [J]. Journal of Risk and Insurance,2010, 77(3): 625-650.

[13] Cox J C, IngersollJr J E, Ross S A. A theory of the term structure of interest rates [J]. Econometrica: Journal of the Econometric Society, 1985, 53(2):385-407.

[14] Tse Y. Nonlife actuarial models: Theory, methods and evaluation[M].Cambridge:Cambridge University Press, 2009.

[15] Aase K. An equilibrium model of catastrophe insurance futures and spreads [J]. The Geneva Papers on Risk and Insurance Theory, 1999, 24(1):69-96.

[16] Merton R C. Option pricing when underlying stock returns are discontinuous [J]. Journal of Financial Economics, 1976, 3(1-2):125-144.

[17] Gerber H U, Shiu E S. Option pricing by Esschertransforms [J]. Transactions of the Society of Actuaries, 1994, 46:68-88.

[18] 程鋮, 石曉軍, 張順明. 基于Esscher變換的巨災(zāi)指數(shù)期權(quán)定價(jià)與數(shù)值模擬 [J]. 中國(guó)管理科學(xué), 2014, 22(1): 20-28.

[19] Yago G, Reiter P. Financial innovations for catastrophic risk: CAT bonds and beyond[R]. Financial Innovation Lab Report, 2008，5： 1-48.

[20] Cummins J D, Weiss M A. Convergence of Insurance and Financial Markets: Hybrid and Securitized Risk-Transfer Solutions[J]. Journal of Risk and Insurance，2009，76(3)：493-545.

[21] Cox S H, Fairchild J R, Pedersen H W. Valuation of structured risk management products[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2004, 34(2): 259-272.

[22] Lin S, Chang C, Powers M R. The valuation of contingent capital with catastrophe risks[J]. Insurance: Mathematics and Economics, 2009, 45(1):65-73.

[23] Black F, Derman E, Toy W. A one-factor model of interest rates and its application to treasury bond options[J]. Financial Analysts Journal, 1990, 46(1):33-39.

Pricing Catastrophe Bonds under the Doubly Stochastic Compound Poisson Losses and Numerical Simulation

MA Zong-gang1, ZOU Xin-yue1, MA Chao-qun2

(1.School of Finance，Guangdong University of Finance& Economics, Guangzhou 510320, China； 2.School of Business Administration, Hunan University, Changsha 410082, China)

Due to an increasing risk of extreme losses caused by value concentration and climate change as well as due to a limited (and volatile) capacity of traditional reinsurance and retrocession markets. Against this background, Alternative risk transfer (ART) intends to provide additional (re)insurance coverage by transferring insurance risks to the capital market, which offers considerably higher capacities and can thus help satisfying the demand. catastrophe risk bonds are by far the most successful and importantART financial innovation，hence have large potential in China. Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC)(2013) projections of more frequent and more intense extreme weather events in the 21st century and the occurrence and severity of abnormal climate change presents an irregular cycle with an upward trend. To capture the two catastrophic characteristics, a doubly stochastic Poisson process with Black DermanToy(BDT) intensity is proposed to model the arrival process for catastrophic risk events. The empirical results reveal the BDT arrival rate process is superior to the mean-reverting arrival process due to its larger E and d, and smaller RMSE, MAE and U. Second，to depict extreme features of catastrophic risks, the Block Maxima Method(BMM) in extreme value theory(EVT) is adopted to characterize the tail characteristics of catastrophic risk loss distribution. And then the loss distribution is analyzed and assessed using the graphics technology, the goodness-of-fit test, and model evaluation, it is found that the Generalized Extreme Value(GEV) distribution is the best fit. Furthermore, a pricing formula is derived for catastrophe bonds in a stochastic interest rates environment with the losses following a compound doubly stochastic Poisson process using risk-neutralized measure method. Next, the parameters of the pricing model are estmated and calibrated using the catastrophe loss data provided by the Property Claim Services(PCS) Unit of the Insurance Service Office(ISO) from 1985 to 2010 and 12-Month London Interbank Offered Rate (LIBOR) based on U.S. Dollar. Finally, simulation results verify our model predictions and demonstrate how financial risks and catastrophic risks affect the prices of catastrophe bonds.

catastrophe bonds;doubly stochastic poisson process; Black-Derman-Toy intensity;generalized extreme value distribution

2014-11-12；

2015-07-09

教育部人文社會(huì)科學(xué)研究青年基金項(xiàng)目(15YJC790074); 廣東省自然科學(xué)基金-博士科研啟動(dòng)項(xiàng)目(2014A030310305); 國(guó)家自然科學(xué)基金創(chuàng)新研究群體(71521061); 國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71273066,71301047,71573056);國(guó)家自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(71431008)

簡(jiǎn)介：馬超群(1963-)，男(漢族)，湖南岳陽(yáng)人，湖南大學(xué)工商管理學(xué)院院長(zhǎng)，教授，博導(dǎo)，研究方向：金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理，E-mail:cqma1998@126.com.

1003-207(2016)10-0035-09

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2016.10.004

F830.9

A