王曉燕，付俊偉，趙秀芳，王春艷，李 延

（齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

淺析大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的極限思想

王曉燕，付俊偉，趙秀芳，王春艷，李 延

（齊齊哈爾大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006）

數(shù)學(xué)的發(fā)生，發(fā)展及其自身無不體現(xiàn)著唯物辯證的精神。極限作為大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種研究問題的方法和手段，它所蘊(yùn)含的各種對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系使得我們不僅看重它的工具品格，也越來越看重它的文化品格。高校教師在教授大學(xué)數(shù)學(xué)課程時(shí)，要適當(dāng)?shù)靥崾緮?shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，對(duì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)的世界觀和方法論的教育，這有利于提高學(xué)生的品格和素養(yǎng)，即我們不但要著眼于數(shù)學(xué)的工具品格，而且也要看重?cái)?shù)學(xué)的文化品格。

大學(xué)；數(shù)學(xué)課堂；極限思想

極限思想起源于我國。公元前三世紀(jì)，就有劉徽利用割圓術(shù)來精確計(jì)算圓的面積，這是極限思想在幾何學(xué)上的應(yīng)用。還有很多實(shí)際問題，如瞬時(shí)速度、切線斜率、曲邊梯形的面積、曲頂柱體的體積、變力做功、流體的流量等，都是極限思想的完美體現(xiàn)。在解決實(shí)際問題中逐漸形成的這種極限方法，已成為研究大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一種基本思想方法，比如，在經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)中，我們可以利用極限的思想對(duì)產(chǎn)品的長期價(jià)格做出預(yù)測。

例：設(shè)一產(chǎn)品的價(jià)格滿足P(t)=20-20e-0.5t(單位：元)，請(qǐng)你對(duì)該產(chǎn)品的長期價(jià)格做出預(yù)測

所以該產(chǎn)品的長期價(jià)格為20元

這種無限逼近的極限思想本身是蘊(yùn)含著豐富的辯證思想的，它是過程與結(jié)果，近似與精確、有限與無限、微分與積分、一般與特殊、量變與質(zhì)變的對(duì)立統(tǒng)一[1]。下面我們分別贅述一下這些辯證關(guān)系，這對(duì)于我們深入研究大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)是大有裨益的。

一、極限思想是過程與結(jié)果的對(duì)立統(tǒng)一

二、極限思想是近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一[2]

高等數(shù)學(xué)在給出定積分、重積分線面積分的定義時(shí)，都是三步，即分割，近似作和，取極限。第二步“近似作和”與第三步“取極限”就體現(xiàn)了近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一。

經(jīng)濟(jì)學(xué)中的彈性概念也體現(xiàn)了這一辯證統(tǒng)一關(guān)系。一般說來，只要兩個(gè)經(jīng)濟(jì)變量之間存在著函數(shù)關(guān)系，我們就可用彈性來表示因變量對(duì)自變量變化的反應(yīng)的敏感程度，即它是兩個(gè)變量各自變化比例的一個(gè)比值，它是無量綱的，不同于經(jīng)濟(jì)學(xué)中另外一個(gè)重要概念“邊際”，“邊際”說白了就是經(jīng)濟(jì)學(xué)中因變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)，它是有量綱的。舉個(gè)例子：

下圖是需求函數(shù)Qd=2400-400p的幾何圖形

從a點(diǎn)到b點(diǎn)即降價(jià)時(shí)的價(jià)格弧彈性為

從a點(diǎn)到b點(diǎn)即漲價(jià)時(shí)的價(jià)格弧彈性為

顯然，漲價(jià)和降價(jià)產(chǎn)生的需求的價(jià)格彈性系數(shù)值是不相等的。我們說，弧彈性反映的是a°b弧段當(dāng)商品的價(jià)格變動(dòng)1%時(shí)，需求量變動(dòng)究竟有多大的百分比，這是a°b段

各點(diǎn)平均的情況，是各點(diǎn)彈性的近似情形。如果精確到要求出具體某點(diǎn)的彈性，即點(diǎn)彈性，我們?nèi)O限就可以了。我們先給出價(jià)格點(diǎn)彈性的公式

可見，彈性概念體現(xiàn)著近似與精確的對(duì)立統(tǒng)一。

三、極限思想是有限與無限的對(duì)立統(tǒng)一

如“借馬分馬”故事。有一位富翁，他臨死前留給三個(gè)兒子17匹馬，要求大兒子得總馬數(shù)的，二兒子得，小兒子得，并且不許殺死馬。富翁死后，三個(gè)兒子都不知道如何來分，這時(shí)，鄰居牽來一匹馬，共有18匹馬了，于是老大分得9匹，老二分得6匹，老三分得2匹，還剩下1匹馬，鄰居又牽著自己的那匹馬走了，這就是著名的“借馬分馬”故事。如果沒有鄰居的那匹馬，該如何分割遺產(chǎn)呢？實(shí)際上，該問題的核心，是將分遺產(chǎn)的過程無限地進(jìn)行下去，即老大每次分得的馬匹數(shù)是數(shù)列則其所有項(xiàng)的和為

類似地，可求出老二、老三分得的馬匹數(shù)為6匹和2匹?？梢?，我們用無限討論了有限。我們還可以用有限討論無限。

四、極限思想是微分與積分的對(duì)立統(tǒng)一

第二次世界大戰(zhàn)后，日本的家電業(yè)迅速崛起，考察一下日本家用電器界建立的電飯煲銷售模型。記時(shí)刻t已售出的電飯煲總數(shù)為x(t)，由于已在使用的電飯煲實(shí)際上起著宣傳品的作用，粗略地假設(shè)每一個(gè)售出的電飯煲在單位時(shí)間內(nèi)平均吸引k個(gè)顧客，那么在t+Vt時(shí)刻電飯煲銷售的數(shù)量為

兩邊除以Vt，并令Vt→0，有

即x(t)滿足一階線性微分方程

x(t)=cekt若已知t=0時(shí)，x(0)=x0，則滿足初始條件的解為x(t)=x0ekt

可見，我們用極限的方法得到了一個(gè)電飯煲銷售模型，而過程中體現(xiàn)了微分與積分的對(duì)立統(tǒng)一。

五、極限思想是一般與特殊的對(duì)立統(tǒng)一

以經(jīng)濟(jì)學(xué)中的復(fù)利為例。復(fù)利是將到期后的利息，納入本金繼續(xù)產(chǎn)生利息的結(jié)算方式，設(shè)本金A0，年利率為r，如果一年n期計(jì)息，t年后本利和為

若令n→∞，就得到連續(xù)復(fù)利公式

可見，我們用取極限的方法得到了連續(xù)復(fù)利這一特殊模型，但實(shí)際上這一模型反映了現(xiàn)實(shí)世界中許多事物增長和衰減的規(guī)律，例如植物的生長、人口的增加、機(jī)器折舊等，從而它又具有一般性的指導(dǎo)意義。

六、極限思想是量變與質(zhì)變的對(duì)立統(tǒng)一

例當(dāng)推出一種新的網(wǎng)絡(luò)游戲時(shí)，其銷售量與時(shí)間的關(guān)系為

其中t為月份，(1)請(qǐng)計(jì)算游戲推出后第3個(gè)月，6個(gè)月，9個(gè)月和第二年的銷售量。(2)請(qǐng)對(duì)該產(chǎn)品的長期銷售做出預(yù)測

解(1)

即當(dāng)t→+∞時(shí)，銷售量為0，說明，量變積累到一定程度后發(fā)生了質(zhì)變，即當(dāng)t→+∞時(shí)，購買此游戲的人會(huì)轉(zhuǎn)向購買其它游戲。

以上這些既對(duì)立又統(tǒng)一的辯證思想，是大學(xué)數(shù)學(xué)的靈魂。

著名數(shù)學(xué)家B.Demollins說：“沒有數(shù)學(xué)，我們無法看透哲學(xué)的深度；沒有哲學(xué)，人們也無法看透數(shù)學(xué)的深度；而若沒有兩者，人們就什么也看不透。”數(shù)學(xué)的發(fā)生，發(fā)展及其自身無不反映著唯物辯證的精神，所以我們?cè)诮淌诖髮W(xué)數(shù)學(xué)課程時(shí)，要適當(dāng)?shù)靥崾緮?shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的哲學(xué)思想，對(duì)學(xué)生進(jìn)行科學(xué)的世界觀和方法論的教育，這有利于提高學(xué)生的品格和素養(yǎng)。即我們不但要著眼于數(shù)學(xué)的工具品格，而且也要看重?cái)?shù)學(xué)的文化品格。

[1]張謀，魏曙光，易正俊.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的滲透[J].高等理科教育，2015(1)

[2]關(guān)文吉.淺談《高等數(shù)學(xué)》課的教學(xué)方法[J].首都師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2015(2)

[3]高鴻業(yè).西方經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京：中國人民大學(xué)出版社，2010

[4]于海波.工程實(shí)用數(shù)學(xué)[M].大連：東北師范大學(xué)出版社，2011

[責(zé)任編輯：潘洪志]

G640

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1009-6043（2016）12-0161-02

2016-10-27

王曉燕(1972-)，女，黑龍江克山人，齊齊哈爾大學(xué)副教授，碩士。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

齊齊哈爾大學(xué)教育科學(xué)研究項(xiàng)目(2015104)。