孫小中

圓錐曲線是高中學(xué)習(xí)內(nèi)容中的重點(diǎn)，學(xué)生若要解決該類型題目，需要具備良好的抽象思維以及邏輯思維.所謂圓錐曲線，一般可統(tǒng)一定義為：平面當(dāng)中至某一定點(diǎn)F與至某一定直線l之間距離之比為常數(shù)e的軌跡，且規(guī)定點(diǎn)F不屬于直線l.若01，則軌跡為雙曲線；若e=1，則軌跡為拋物線.由上述定義可知離心率對(duì)圓錐曲線而言，極為重要.故而，學(xué)生在解決有關(guān)圓錐曲線的問(wèn)題時(shí)，便可靈活使用離心率e作為解決問(wèn)題的方法.

一、離心率在雙曲線中的應(yīng)用

高考數(shù)學(xué)試卷當(dāng)中，部分填空題也涉及了有關(guān)圓錐曲線的知識(shí)，部分學(xué)生往往按照解答題的方式解答，導(dǎo)致學(xué)生需要消耗大量時(shí)間，解題效率不高.解決該類型題目，需要學(xué)生認(rèn)真分析題目給定條件，選取合適且簡(jiǎn)便的方法，解答問(wèn)題.雙曲線是圓錐曲線中的一種，在填空題當(dāng)中出現(xiàn)頻率較高，學(xué)生應(yīng)熟悉如何運(yùn)用離心率e解決相關(guān)問(wèn)題.

例1

（2015衡水四模）設(shè)存在橢圓，其中心為原點(diǎn)，該橢圓同雙曲線的焦點(diǎn)相同，設(shè)左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，在第一象限內(nèi)，兩條曲線的交點(diǎn)為點(diǎn)P，△PF1F2為等腰三角形，以線段PF1作為底邊.若|PF1|=10，橢圓離心率設(shè)為e1，雙曲線離心率設(shè)為e2，求e1·e2的取值范圍.

題目分析針對(duì)該題目，學(xué)生應(yīng)先設(shè)定橢圓以及雙曲線的半焦距為c，|PF1|=m，|PF2|=n（m>n）.

因?yàn)椤鱌F1F2是等腰三角形，且將線段PF1作為底邊，若|PF1|=10，則有m=10，n=2c.

根據(jù)橢圓定義可知m+n=2a1.

根據(jù)雙曲線定義可知m-n=2a2.

即：a1=5+c，a2=5-c，且c<5.

再利用三角形兩邊之和大于第三邊這一定理，可知2c+2c>10，

即c>52，即有52

根據(jù)離心率公式可得e1·e2=ca1·ca2=c225-c2=125c2-1.

因?yàn)?<25c2<4，則有125c2-1>13.

則e1·e2的取值范圍便是（13，+∞）.

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)極為重要的知識(shí)點(diǎn)，而離心率則是大部分圓錐曲線解題的關(guān)鍵.故而，學(xué)生應(yīng)熟悉如何在解題過(guò)程中靈活運(yùn)用離心率進(jìn)行問(wèn)題的解答，以便提高自身解題能力以及效率，從而提高自身成績(jī).

二、離心率在雙曲線中的應(yīng)用

例2（2014年遼寧）已知橢圓C：x29+y24=1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|+|BN|=.

題目分析根據(jù)三角形中位線定理把求|AN|+|BN|的大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PF1|+|PF2|的大小問(wèn)題，再利用橢圓的定義可求得|AN|+|BN|的值.

設(shè)線段MN的中點(diǎn)為P，左右焦點(diǎn)分別為F1、F2.又因?yàn)镕1為線段MA的中點(diǎn)，F(xiàn)2為線段MB的中點(diǎn)，所以|AN|=2|PF1|，|BN|=2|PF2|.則|AN|+|BN|=2（|PF1|+|PF2|）.由橢圓定義|PF1|+|PF2|=2a，所以|AN|+|BN|=4a.又因?yàn)閍2=9，所以a=3，所以|AN|+|BN|=12.

三、離心率在拋物線中的應(yīng)用

例3（2014年大綱）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且|QF|=54|PQ|.（1）求C的方程；（2）略.

題目分析可以利用待定系數(shù)法.先利用拋物線的定義結(jié)合已知條件求得含有p的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線方程，即可求得p的值.

設(shè)Q（x，4），直線y=4與準(zhǔn)線交于H.因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為x=-p2，則由拋物線定義知|QF|=|QH|=x+p2.又因?yàn)閨PQ|=x，|QF|=54|PQ|，所以x+p2=54x，解得x=2p，則Q（2p，4）.代入y2=2px，得16=2p·2p，解得p=2.

所以拋物線的方程為y2=4x.

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)極為重要的知識(shí)點(diǎn)，而離心率則是大部分圓錐曲線解題的關(guān)鍵.故而，學(xué)生應(yīng)熟悉如何在解題過(guò)程中靈活運(yùn)用離心率進(jìn)行問(wèn)題的解答，以便提高自身解題能力以及效率，從而提高自身成績(jī).