單蕾+戴軍

極限原本是數(shù)學(xué)中的一個(gè)名詞，顧名思義，就是把一個(gè)數(shù)值無限放大或縮小，也可能是無限接近于某一個(gè)值.極限法在進(jìn)行某些物理過程的分析時(shí)，其基本步驟是，解題者可以將某個(gè)量進(jìn)行無限增大與縮小，通過這個(gè)極限得到一個(gè)結(jié)論，然后通過該結(jié)論反推原題.介于它的高效性，恰當(dāng)應(yīng)用極限法能夠避免復(fù)雜計(jì)算，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，思路靈活，判斷準(zhǔn)確，提高解題效率.

一、極限思想在物理概念理解中的應(yīng)用

高中物理概念是非常多的，在理解這些概念的時(shí)候往往不容易把握，但是如果滲透極限的思想，將會(huì)事半功倍.

例1對(duì)電子軌道能量的理解

，如圖1所示是玻爾理論的能級(jí)圖，學(xué)生對(duì)于這樣的問題往往產(chǎn)生一個(gè)疑問，既然是能級(jí)，能量值為什么是負(fù)值？而且電子作為實(shí)物粒子本身就在運(yùn)動(dòng)，它是具有動(dòng)能的.

解析對(duì)于玻爾能級(jí)，電子位于無窮遠(yuǎn)處時(shí)，系統(tǒng)的總能量為零.當(dāng)電子從無窮遠(yuǎn)處向靠近核的能級(jí)躍遷時(shí)，核對(duì)電子的引力（電場(chǎng)力）做正功，電勢(shì)能Ep=-kQer減小.但電子的動(dòng)能EK=mv22=kQe2r（庫侖力充當(dāng)向心力，mv2r=kQer2）增大.波爾理論認(rèn)為：電子向靠近核的軌道躍遷時(shí)，總能量減小，減小的能量以光子的形式輻射出去；電子吸收能量后向遠(yuǎn)離核的軌道躍遷，總能量增大.應(yīng)用極限的思想就很容易說清楚——取無窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能參考面，那么庫倫力做正功，電勢(shì)能減小，自然是負(fù)的，而且這個(gè)負(fù)值比電子動(dòng)能要大，學(xué)生就很容易理解了.

拓展一將該問題進(jìn)行拓展，就可以很好地解釋天體運(yùn)動(dòng)中天體引力勢(shì)能為負(fù)值的問題——取無窮遠(yuǎn)（極限）為參考面，萬有引力做正功，引力勢(shì)能減小，所以天體的引力勢(shì)能為負(fù).

拓展二對(duì)分子勢(shì)能的理解

例2如圖2所示，甲分子固定在坐標(biāo)原點(diǎn)O，乙分子沿x軸運(yùn)動(dòng)，兩分子間的分子勢(shì)能Ep與兩分子間距離的變化關(guān)系如圖中曲線所示.圖中分子勢(shì)能的最小值為-E0.若兩分子所具有的總能量為0，則下列說法中正確的是

解析首先對(duì)于圖象，x2位置是分子勢(shì)能最小處，但是其值也是取無窮遠(yuǎn)為0這個(gè)極限之后才確定的.因此就很好地說明了為什么分子勢(shì)能有一部分為負(fù)值，而且最后是無限趨近于0的.分子處于r0位置時(shí)所受分子合力為零，加速度為零，此時(shí)分子勢(shì)能最小，分子的動(dòng)能最大，總能量保持不變，由題圖可知x2位置即是r0位置，此時(shí)加速度為零，A錯(cuò).x=x2位置，勢(shì)能為-E0，則動(dòng)能為E0，B項(xiàng)正確.在Q點(diǎn)，Ep=0但分子力不為零，分子并非處于平衡狀態(tài)，C項(xiàng)錯(cuò).在乙分子沿x軸向甲分子靠近的過程中，分子勢(shì)能先減小后增大，分子動(dòng)能先增大后減小，即分子速度先增大后減小，到Q點(diǎn)分子速度剛好減為零，此時(shí)由于分子斥力作用，乙分子再遠(yuǎn)離甲分子沿原路返回，即乙分子運(yùn)動(dòng)的范圍為x≥x1，D項(xiàng)正確.

二、極限思想在運(yùn)動(dòng)問題中的應(yīng)用

極限思想在解決復(fù)雜問題過程中可以大大減少計(jì)算量，甚至免于計(jì)算.而且將某些物理量無限放大和縮小之后會(huì)增加解題的趣味性.例如，常見的追及相遇問題就變得容易理解，后面車減速追擊前面勻速或者加速車，當(dāng)后面車的速度已經(jīng)小到和前面車速度一樣這個(gè)極限時(shí)，依舊沒有追上，那么后車就沒有機(jī)會(huì)追上前車了——于是我們得出了追及問題的臨界狀態(tài)就是二車速度相等的狀態(tài).

例3從底角為θ的斜面頂端，以初速度v0水平拋出一小球，不計(jì)空氣阻力，若斜面足夠長(zhǎng)，如圖3所示，則小球拋出后，離開斜面的最大距離H為多少？

解析一當(dāng)物體的速度方向與斜面平行時(shí)，物體離斜面最遠(yuǎn).以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，則由：vy = v0tanθ = gt ，解得運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

解得小球離開斜面的最大距離為：

H =v202gtanθ·sinθ

解析二采用極限的思想，首先引導(dǎo)學(xué)生弄清楚何時(shí)有離開斜面的最大距離——小球的運(yùn)動(dòng)只有垂直斜面的分量決定離開還是靠近斜面，而斜面平行的分量則與此無關(guān).因此這道題若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐標(biāo)軸，求解則更加簡(jiǎn)便：

只需將初速度v0的垂直斜面分量v0sinθ分解出來，這個(gè)方向上小球做勻減速直線運(yùn)動(dòng)；

然后將該方向的加速度分a=gcosθ

分解出來代入公式的2aH=（v0sinθ）2

解得最大距離H=v202gtanθ·sinθ與解析一一致.

三、極限問題在平衡問題中的應(yīng)用

極限在平衡問題中往往代表的是一個(gè)臨界狀態(tài)，而臨界狀態(tài)恰恰是解決問題的關(guān)鍵.

例4如圖4所示，半徑為R的勻質(zhì)半球體，其重心在球心O點(diǎn)正下方C點(diǎn)處，OC =38R， 半球重為G，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重為G8的物體，它與半球平在間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，求無滑動(dòng)時(shí)物體離球心O點(diǎn)最大距離是多少？

解析設(shè)物體距球心為x時(shí)恰好無滑動(dòng)，以和地面接觸點(diǎn)為軸，根據(jù)平衡條件有：

G·3R8sinθ =G8·xcosθ

得到：x = 3Rtanθ

可見，x隨θ增大而增大.臨界情況對(duì)應(yīng)物體所受摩擦力為最大靜摩擦力，則：

tanθm =fmN= μ = 0.2，

所以 x = 3μR = 0.6R .

綜上所述，極限思想在解題中應(yīng)用的目的在于將普通特殊化，然后由特殊的結(jié)論反推普遍情況，在解決一個(gè)量隨另一個(gè)量變化等問題中有著顯著的優(yōu)勢(shì).極限思維的應(yīng)用也能夠使學(xué)生對(duì)知識(shí)理解更加便捷，節(jié)省許多計(jì)算以及記憶時(shí)間，從而大大提高解題效率.極限法的范疇很廣，高中物理的極限法除了可以應(yīng)用在學(xué)習(xí)過程中還可以在教學(xué)過程中使用，從而提高教與學(xué)的效率.