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        在解三角形問題中不可小視的簡單性質(zhì)定理和解法細(xì)節(jié)

        2016-12-02 21:43:00黨泉元
        理科考試研究·高中 2016年11期
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)

        黨泉元

        有關(guān)解三角形的問題,是近幾年高考的熱點(diǎn),應(yīng)說是一道基礎(chǔ)題,但好多同學(xué)得分不高.就其原因是忽視了簡單而重要的性質(zhì)的應(yīng)用,比如平面幾何中與三角形有關(guān)的性質(zhì)定理不可小視,應(yīng)該予以重視.本文就是對這一問題進(jìn)行了簡單分析和說明.

        如圖1,在△ABC中,A,B,C分別是邊a,b,c的對角,AD是角A的角平分線,有下面的簡單而又重要的定理及性質(zhì):

        性質(zhì)1A+(B+C)=π; (A+B)+C=π;(A+C)+B=π.

        評注可把三個(gè)角看成兩個(gè)角,看起來很簡單,但這一變形作用很大,不可小視.

        由性質(zhì)1及由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式可得到下面的重要性質(zhì):

        性質(zhì)2若兩角互補(bǔ),則正弦值相等,余弦值互為相反數(shù),正切值互為相反數(shù).即

        sinA=sin(B+C);sinC=sin(A+B);sinB=sin(A+C);cosA=-cos(B+C);cosC=-cos(A+B);cosB=-cos(A+C).

        評注在高考當(dāng)中我們可以把它當(dāng)成常見而重要的公式直接用,不僅可避免走很多彎路,還可以節(jié)省時(shí)間.

        性質(zhì)3角平分線性質(zhì)定理:ABAC=BDDC.

        性質(zhì)4三角形面積公式:

        S=12bcsinA=12absinC=12acsinB.

        例1(2014全國文科Ⅱ卷17題)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補(bǔ),AB=1,BC=3,CD=DA=2.

        (Ⅰ) 求C和BD;

        (Ⅱ) 求四邊形ABCD的面積.

        解(Ⅰ)如圖2,(畫圖可以使問題更直觀形象,讓學(xué)生養(yǎng)成隨時(shí)動手畫圖的習(xí)慣,認(rèn)識圖形的重要性)

        由余弦定理可得

        BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA,①

        BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cosC.②

        又因?yàn)閏osC=-cosA(性質(zhì)2),

        由①②得cosC=12,故C=60°.

        評注解決這一問題的關(guān)鍵是找到互補(bǔ)兩角A和C的橋梁BD把A和C聯(lián)系起來,在這里必須畫出圖形連接BD,同時(shí)利用好兩角互補(bǔ)余弦值互為相反數(shù)這一既簡單又常用的性質(zhì),不可小視這兩個(gè)條件,好多同學(xué)忽視了這兩個(gè)條件從而無從下手,因此沒得分.

        (Ⅱ)由cosC=12可得cosA=-12,

        再由平方關(guān)系可得sinA和sinC.

        所以S=12AB·DA·sinA+12BC·CD·sinC=23(性質(zhì)4).

        評注解決這一問,只要對平方關(guān)系sin2α+cos2α=1和三角形面積公式熟悉即可.

        例2(2015年全國文科Ⅱ卷17題)△ABC中,D是BC上的點(diǎn),AD平分∠BAC,BD=2DC.

        (Ⅰ)求sin∠Bsin∠C;

        (Ⅱ) 若∠BAC=60°,求∠B.

        解如圖3所示,因?yàn)锳D平分∠BAC,所以可設(shè)∠BAD=∠BAC=α.

        評注這樣設(shè),結(jié)合圖形可以在直觀上簡化問題.

        (Ⅰ)解法一由正弦定理得

        BDsinα=ADsinB①,CDsinα=ADsinC②.

        由②式比①式得

        sinBsinC=CDBD=12.

        評注此處可以用多種方法化簡,應(yīng)仔細(xì)觀察并思考可知兩式相比更妙,平時(shí)要多訓(xùn)練習(xí),同時(shí)要注意AD和α是找到sinB和sinC聯(lián)系的橋梁,牽線搭橋的作用,好多同學(xué)無從下手是因?yàn)闆]找到聯(lián)系.

        解法二

        如圖3,設(shè)∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c (這樣設(shè),結(jié)合圖形同樣可以在直觀上簡化問題使表示更簡潔).

        由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)得bc=CDBD=12.

        又由正弦定理可知

        sinBsinC=bc=12.

        評注此法解決的前提是知道三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)以及正弦定理,對能力要求較強(qiáng).

        (Ⅱ)解法一

        sinB=sin(60°+C)(性質(zhì)2),

        又sinBsinC=12,化簡可得cosC=0.

        評注此處用到∠B和(∠A +∠C)互補(bǔ)這一隱含條件,還必須用到(性質(zhì)2)的結(jié)論,這是解題的關(guān)鍵,否則無法往下進(jìn)行.

        又∠C是三角形的內(nèi)角,所以∠C=90°,

        故∠B=30°.

        解法二

        sinC=sin(60°+B) (性質(zhì)2),

        化簡可得

        sinC=32cosB+12sinB.

        又sinBsinC=12,

        所以 2sinB=32cosB+12sinB.

        化簡得tanB=33,所以∠B=30°.

        評注此法思路同“法一”,區(qū)別是直接得出∠B,所以∠C=90°.

        此處還可選擇多種方法,但仔細(xì)思考觀察可發(fā)現(xiàn)三邊恰好構(gòu)成直角三角形,從而使問題簡化,故∠B=30°.

        上述解法對知識的綜合能力以及知識的積累要求較強(qiáng),要靈活應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論使問題更簡單.

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