江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)車坊實(shí)驗(yàn)小學(xué)　徐斌

教育“無(wú)痕”精彩“有跡”（三）——以“平均數(shù)”一課的教學(xué)為例

江蘇蘇州工業(yè)園區(qū)車坊實(shí)驗(yàn)小學(xué)徐斌

徐斌江蘇省特級(jí)教師，中學(xué)高級(jí)教師，江蘇“人民教育家工程”培養(yǎng)對(duì)象，教育部“國(guó)培計(jì)劃”首批特聘專家，人大復(fù)印報(bào)刊資料《小學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》編委。

1992年獲江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)課比賽第一名，2000年獲全國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)觀摩課評(píng)比一等獎(jiǎng)。曾應(yīng)邀為全國(guó)第五屆小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)年會(huì)上觀摩課，在《小學(xué)教學(xué)研究》等20余家刊物發(fā)表論文400余篇，應(yīng)邀到全國(guó)20多個(gè)省、市、區(qū)講學(xué)400余次。教育事跡在《人民教育》“名師人生”欄目專題報(bào)道，《中國(guó)教育報(bào)》曾七次連載“徐斌教育教學(xué)藝術(shù)系列報(bào)道”。出版有專著《追尋無(wú)痕教育》《為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)》《推敲新課程課堂》《另類課堂》及“中國(guó)名師”系列教學(xué)光盤。其教育主張是無(wú)痕教育，課堂教學(xué)風(fēng)格穩(wěn)健厚實(shí)。

編者注：《小學(xué)教學(xué)研究》（教學(xué)版）2012年第8期和2015年第9期分別刊登過(guò)著名特級(jí)教師徐斌的兩篇同題文章，副標(biāo)題分別是“以數(shù)與代數(shù)的教學(xué)為例”“以解決問(wèn)題的策略教學(xué)為例”。

無(wú)痕教育，從字面上理解是把教育的目的與意圖隱蔽起來(lái)，通過(guò)間接和暗示的方式，對(duì)學(xué)生進(jìn)行教育的一種形態(tài)。其實(shí)無(wú)痕教育不僅是一種教育方式，更是一種教育思想，是一種教育心理學(xué)的規(guī)律和原則，是一種教育的美學(xué)和哲學(xué)境界，是一種對(duì)教育本原的追尋。

為什么在小學(xué)數(shù)學(xué)教育中可以實(shí)施無(wú)痕教育呢？主要基于以下三點(diǎn)：

一是數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)。數(shù)學(xué)是研究客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門科學(xué)。小學(xué)數(shù)學(xué)屬于初等數(shù)學(xué)的范疇，它揭示的是現(xiàn)實(shí)世界中最簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系和幾何形體等知識(shí)，小學(xué)數(shù)學(xué)課程在內(nèi)容呈現(xiàn)上具有由淺入深、由易到難、循序漸進(jìn)和螺旋上升的特性。可見(jiàn)，小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科特征為在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)施無(wú)痕教育提供了充分的可能。

二是兒童認(rèn)知的規(guī)律。數(shù)學(xué)是思維的體操，兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程。兒童思維的發(fā)展經(jīng)歷著從低級(jí)到高級(jí)、從不完善到完善的發(fā)展過(guò)程。小學(xué)兒童思維的基本特點(diǎn)是從以具體形象思維為主要形式逐步過(guò)渡到以抽象邏輯思維為主要形式。數(shù)學(xué)思維是一種內(nèi)隱性活動(dòng)，而且各種思維方式之間的彼此相連、融會(huì)貫通和發(fā)展變化本身就處于一種無(wú)痕的狀態(tài)。

三是課堂學(xué)習(xí)的本質(zhì)。學(xué)習(xí)的本質(zhì)是發(fā)展，課堂學(xué)習(xí)是為了促進(jìn)兒童的發(fā)展。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程應(yīng)該是遵循兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維規(guī)律和小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科課程的基本特性，通過(guò)教師的智慧，把作為科學(xué)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為作為學(xué)科的數(shù)學(xué)，把“學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)化為“教育形態(tài)的數(shù)學(xué)”，引導(dǎo)學(xué)生在無(wú)痕中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和發(fā)展能力，感悟思想和提升素養(yǎng)，同時(shí)使他們獲得豐富的情智體驗(yàn)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何實(shí)施“無(wú)痕教育”呢？筆者試以“平均數(shù)”一課的教學(xué)為例，談四點(diǎn)教學(xué)策略。

1.不知不覺(jué)中開始

有效的課堂學(xué)習(xí)是如何開始的？讓學(xué)生在悄無(wú)聲息中自然而然地開始學(xué)習(xí)是無(wú)痕教育的基本追求。要做到不知不覺(jué)中開始學(xué)習(xí)，需要老師根據(jù)兒童的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)和生活經(jīng)驗(yàn)，設(shè)計(jì)生動(dòng)豐富的課堂引入環(huán)節(jié)，讓學(xué)生油然而生學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)習(xí)的開始像呼吸一樣自然無(wú)痕。

《平均數(shù)》一課的引入部分，我采用了兒童喜聞樂(lè)見(jiàn)的套圈游戲情境，通過(guò)四次套圈比賽，讓學(xué)生擔(dān)任比賽評(píng)委，逐漸產(chǎn)生了學(xué)習(xí)平均數(shù)的內(nèi)在需要。

圖1

圖2

圖3

圖4

第一場(chǎng)比賽（圖1），人數(shù)相同，每人套中個(gè)數(shù)也相同，觀察條形圖就一目了然，可以判定男生整體水平高；第二場(chǎng)比賽（圖2），人數(shù)相同，每人套中個(gè)數(shù)不同，分別求和可以判定男生隊(duì)獲勝；第三場(chǎng)比賽（圖3），人數(shù)不同，每人套中個(gè)數(shù)相同，觀察條形圖也能判定男生隊(duì)整體水平高；第四場(chǎng)比賽（圖4），人數(shù)不同，每人套中個(gè)數(shù)也不同，無(wú)法分別求和比較，也不能直接觀察統(tǒng)計(jì)圖獲得結(jié)果。這樣，就迫切需要學(xué)習(xí)一個(gè)新的統(tǒng)計(jì)量——平均數(shù)來(lái)判定結(jié)果。

縱觀以上課堂引入部分的設(shè)計(jì)，緊緊圍繞與新知相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題展開：為什么需要學(xué)習(xí)平均數(shù)？平均數(shù)與哪些舊知相關(guān)？生活中的平均數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？如何從舊知中自然生長(zhǎng)出新知？如何通過(guò)問(wèn)題情境產(chǎn)生認(rèn)知沖突？這樣的課堂起始階段設(shè)計(jì)，看上去是師生之間不經(jīng)意的談話聊天，看上去是生活中常見(jiàn)的游戲比賽，看上去是邀請(qǐng)學(xué)生擔(dān)任套圈比賽的評(píng)委，看上去是學(xué)生之間討論并評(píng)判比賽結(jié)果，實(shí)際上，學(xué)生不知不覺(jué)中產(chǎn)生了對(duì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的需要，并在數(shù)據(jù)分析中產(chǎn)生了認(rèn)知矛盾和沖突，使得新知在舊知中自然無(wú)痕地生長(zhǎng)出來(lái)。

2.潛移默化中理解

“為理解而教”一直是課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。兒童是如何理解知識(shí)的？?jī)和乃季S過(guò)程有著怎樣的規(guī)律？研究表明，小學(xué)階段兒童的認(rèn)知水平屬于“具體運(yùn)算思維”階段，其最大特點(diǎn)是思維離不開具體事物的支持，這也導(dǎo)致兒童的感知覺(jué)、觀察力和記憶均處于初步發(fā)展水平，其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)和興趣很不穩(wěn)定。烏申斯基說(shuō)過(guò)：“兒童是依靠形狀、顏色、聲音和感覺(jué)來(lái)進(jìn)行思維的?！币虼耍寖和@得對(duì)知識(shí)的理解，需要充分借助形象直觀的教學(xué)手段，充分利用新舊知識(shí)的相互作用，讓兒童在不露痕跡中獲得新知意義，在潛移默化中理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。

平均數(shù)作為刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的一種統(tǒng)計(jì)量，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中常常有三種理解水平：一是概念理解，二是算術(shù)理解，三是統(tǒng)計(jì)理解。概念理解十分抽象，不符合兒童的認(rèn)知特征；算術(shù)理解則主要體現(xiàn)為先求和再平均分的程序性計(jì)算，比較單一；而統(tǒng)計(jì)理解則是建立在數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)上，尋找能夠表達(dá)一組數(shù)據(jù)的代表，從而刻畫這組數(shù)據(jù)的整體水平。

為幫助學(xué)生理解平均數(shù)的意義，教者采用直觀的條形統(tǒng)計(jì)圖，讓學(xué)生結(jié)合圖形進(jìn)行觀察和思考，通過(guò)移多補(bǔ)少的方法，得出每人都同樣多，再通過(guò)移動(dòng)后得到的平均數(shù)畫線活動(dòng)，直觀感知平均數(shù)的范圍。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步提問(wèn)：除了在統(tǒng)計(jì)圖上用移動(dòng)小方格的方法求出平均數(shù)，還可以怎樣算出平均數(shù)呢？學(xué)生討論并嘗試后得出：6+9+ 7+6=28（個(gè)），28÷4=7（個(gè)）。然后比較：用移多補(bǔ)少與求和平分的方法都能求平均數(shù)，你覺(jué)得這兩種方法各有什么特點(diǎn)？

這樣的新知教學(xué)過(guò)程，學(xué)生不僅了解了平均數(shù)的產(chǎn)生源頭，還直觀理解了平均數(shù)的范圍和含義，進(jìn)而掌握了求平均數(shù)的基本方法，獲得了對(duì)平均數(shù)的深刻理解。同時(shí)也啟示我們，良好的數(shù)學(xué)理解過(guò)程需要依托兒童的思維特征，發(fā)揮動(dòng)作思維和形象思維的作用，在潛移默化中逐步發(fā)展抽象思維能力，達(dá)成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)理解。

3.循序漸進(jìn)中掌握

從理解知識(shí)到掌握技能，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中不可或缺的環(huán)節(jié)，而掌握技能的過(guò)程，既不可能一蹴而就，也不能機(jī)械重復(fù)單調(diào)操練，而應(yīng)讓學(xué)生在層層遞進(jìn)中循序漸進(jìn)地掌握方法、形成技能。

在學(xué)生初步理解了平均數(shù)的含義之后，知道求平均數(shù)可以有兩種方法：移多補(bǔ)少法與求和平分法。移多補(bǔ)少法比較直觀，有利于學(xué)生在求平均數(shù)的過(guò)程中判斷平均數(shù)的范圍，了解平均數(shù)的由來(lái)；求和平分法比較抽象，有利于學(xué)生用算術(shù)思維簡(jiǎn)便快速地計(jì)算出平均數(shù)。但是對(duì)于初學(xué)平均數(shù)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，主要問(wèn)題是：何時(shí)運(yùn)用移多補(bǔ)少法？何時(shí)運(yùn)用求和平分法？鑒于此，教者做了如下細(xì)膩的層次性設(shè)計(jì)。

第一層次：觀察筆筒的實(shí)物圖（如圖5），快速求出平均數(shù)。（大多數(shù)學(xué)生采用移多補(bǔ)少法）

圖5

第二層次：筆筒圖漸變?yōu)樨Q著畫的條形圖（如圖6）。（大多數(shù)學(xué)生繼續(xù)采用移多補(bǔ)少法）

第三層次：豎著畫的條形圖漸變?yōu)闄M著畫的條形圖（如圖7）。（由移多補(bǔ)少到取長(zhǎng)補(bǔ)短）

圖6

圖7

第四層次：由條形圖漸變?yōu)闊o(wú)數(shù)據(jù)的絲帶圖（如圖8）。（學(xué)生用移多補(bǔ)少法嘗試多次，但總是不能準(zhǔn)確得出三條絲帶的平均長(zhǎng)度）

第五層次：絲帶圖從無(wú)數(shù)據(jù)到有數(shù)據(jù)（如圖9）。（學(xué)生自覺(jué)采用求和平分法計(jì)算）

圖8

圖9

以上五個(gè)層次的設(shè)計(jì)，從實(shí)物圖到條形圖再到絲帶圖，從生活到數(shù)學(xué)再回到生活；從豎著畫的條形圖到橫著畫的條形圖，從移多補(bǔ)少聯(lián)想到取長(zhǎng)補(bǔ)短；從無(wú)數(shù)據(jù)的絲帶圖到有數(shù)據(jù)的絲帶圖，從移多補(bǔ)少法的不便到求和平分法的簡(jiǎn)便。在循序漸進(jìn)的過(guò)程中，學(xué)生既了解了移多補(bǔ)少法的不足，也產(chǎn)生了對(duì)數(shù)據(jù)的內(nèi)在需要，從而體驗(yàn)了求和平分法的價(jià)值，在不露痕跡中完成了從移多補(bǔ)少法到求和平分法的過(guò)渡，進(jìn)而掌握兩種方法的內(nèi)在本質(zhì)。

4.春風(fēng)化雨中提升

無(wú)痕教育理念指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)課堂，是學(xué)生享受教師悉心服務(wù)的過(guò)程，也是學(xué)生自主學(xué)習(xí)主動(dòng)發(fā)展的過(guò)程，是師生之間和諧互動(dòng)走向智慧的過(guò)程。建立了數(shù)學(xué)模型之后，為了讓學(xué)生對(duì)初建模型有充分的感性積累，應(yīng)該讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，獲得對(duì)數(shù)學(xué)模型的深刻理解，形成初步運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的相關(guān)技能，感悟數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

本課在學(xué)生理解了平均數(shù)的意義與方法之后，設(shè)計(jì)了三個(gè)應(yīng)用性很強(qiáng)的問(wèn)題情境：

首先是模擬擔(dān)任水果店經(jīng)理。呈現(xiàn)了水果店上周5天里賣出蘋果和橘子的數(shù)量統(tǒng)計(jì)圖（如圖10），讓學(xué)生觀察思考，主要解決三個(gè)方面的實(shí)際問(wèn)題：（1）水果店上周哪天生意最好？哪天生意不太好？請(qǐng)推測(cè)一下原因。（2）面對(duì)上周的經(jīng)營(yíng)現(xiàn)狀，作為經(jīng)理，你會(huì)采取什么經(jīng)營(yíng)手段？（3）倉(cāng)庫(kù)里缺貨了，需要多進(jìn)一些蘋果還是橘子？請(qǐng)用數(shù)據(jù)說(shuō)明道理。

圖10

其次是模擬擔(dān)任籃球隊(duì)隊(duì)長(zhǎng)（如圖11）。提問(wèn)：李強(qiáng)是籃球隊(duì)隊(duì)員，他身高155厘米，可能嗎？籃球隊(duì)可能有身高超過(guò)161厘米的隊(duì)員嗎？（顯示籃球隊(duì)5名隊(duì)員的具體身高統(tǒng)計(jì)表）思考：如果姚明加入學(xué)?；@球隊(duì)，平均身高會(huì)如何變化？160×5＝800（厘米），800＋226＝1026（厘米），1026÷ 6＝171（厘米）。這時(shí)得到的平均身高，具有什么樣的特點(diǎn)？為什么原來(lái)5名同學(xué)的身高都達(dá)不到新的平均身高呢？

圖11

最后是設(shè)計(jì)一次套圈決賽活動(dòng)。比賽規(guī)則是：男生人數(shù)不變且在第四次比賽的基礎(chǔ)上不再重新套圈，又新來(lái)了一個(gè)女生，據(jù)說(shuō)是高手。要使得女生套圈成績(jī)提高到和男生一樣，她必須套中多少個(gè)呢？如果女生套圈的準(zhǔn)確程度要超過(guò)男生，她至少要套中多少個(gè)？

良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能止步于教材，應(yīng)讓學(xué)生透過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)技能的學(xué)習(xí)獲得更為豐富的思想方法，就需要學(xué)以致用與融會(huì)貫通。以上三個(gè)解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)，都是在教材的基礎(chǔ)上向著思維的深處邁進(jìn)了一步：從簡(jiǎn)單的水果數(shù)量的平均數(shù)計(jì)算拓展為數(shù)據(jù)分析觀念的培養(yǎng)，從已知平均數(shù)推測(cè)數(shù)據(jù)分布到極端數(shù)據(jù)干擾帶來(lái)新的問(wèn)題思考，從直接計(jì)算平均數(shù)問(wèn)題到靈活推理計(jì)算與逆向思維發(fā)展以及形象思維介入。這樣的邁進(jìn)，使得學(xué)生在層層遞進(jìn)中走向了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，在潤(rùn)物無(wú)聲中發(fā)展了思維能力，在春風(fēng)化雨中提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)。?