黃欲涵

學(xué)習(xí)就是不斷與“錯誤”斗爭的過程，有時我們還得感謝“錯誤”，也是這些“錯誤”將我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)推送到一個更高的層次.

從全等圖形到相似圖形，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一次飛躍，在學(xué)習(xí)過程中常常會出現(xiàn)一些解答錯誤，究其原因就是對相似圖形中的一些定義、定理理解不清，對一些常用的基本思想方法掌握不牢.下面就和同學(xué)們一起來剖析那些學(xué)習(xí)中所出現(xiàn)的部分典型錯誤.

一、乘積式和比例式的互換

例1 若4y-3x=0，則[x+yy]= .

【錯解】∵4y-3x=0，∴[yx]=[43].

∴[x+yy]=[74].

【析錯】錯誤的原因是沒有掌握乘積式和比例式的互換，我們根據(jù)比例的基本性質(zhì)，乘積式轉(zhuǎn)化為比例式記住一句話“左比右等于右比左”， 例4y=3x，那么“左面的y比右面的x，等于右面的3比左面的4”.

∵4y-3x=0，∴[yx]=[34].

∴[x+yy]=[73].

二、相似三角形中對應(yīng)頂點（邊）的確定

例2 如圖1所示，△ABC中，DE∥BC，若[ADBD]=[12]，則[DEBC]= .

【錯解】[DEBC]=[12].

【析錯】當(dāng)△ABC與△ADE相似時，這兩個三角形的對應(yīng)邊成比例.但題中已知條件不是這兩個三角形的對應(yīng)邊，還需轉(zhuǎn)化到[ADAB]=[13]，得出[DEBC]=[13].

例3 如圖2，在四邊形ABCD中，AD∥BC，圖中有幾對相似的三角形，請說明理由.

【錯解】有兩對相似的三角形，△AOD∽△COB，△AOB∽△DOC.

【析錯】有不少的同學(xué)為什么會發(fā)現(xiàn)有兩對三角形相似呢？這些同學(xué)錯誤的原因是由△AOD∽△COB得到[AOCO]=[DOBO]，再得到[AODO]=[COBO]，加上∠AOB=∠COD，所以△AOB∽△DOC.但看清一下這個比例式[AODO]=[COBO]是不是這兩個三角形相似的比例式呢？不是.而是[AODO]=[BOCO]，所以△AOB與△DOC不相似.所以只有一對，即△AOD∽△COB.

三、相似三角形的面積比等于相似比的平方

例4 如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，則△ABC與△DCA的面積比為（ ）

A.2∶3 B.2∶5 C.4∶9 D.[2∶][3]

【錯解】選A.

【析錯】由AD∥BC我們可以得到∠BCA=∠CAD，題中∠B=∠ACD=90°，可以由兩角對應(yīng)相等得到△ABC∽△DCA，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方得到△ABC與△DCA的面積比為4∶9，同學(xué)們錯選的原因就是沒有弄清三角形相似的性質(zhì)，把面積比等于相似比的平方，記成了面積比等于相似比.

四、位似圖形畫在位似中心的兩側(cè)

例5 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（-4，2），B（-6，-4），以原點O為位似中心，位似比為[12]，把△ABO縮小，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是（ ）

A.（-2，1） B.（-8，4）

C.（-8，4）或（8，-4） D.（-2，1）或（2，-1）

【錯解】選A

【析錯】位似中心在坐標(biāo)原點，進行分類討論.若“同側(cè)”，則對應(yīng)點的橫（縱）坐標(biāo)的比就是位似比，若“異側(cè)”，則對應(yīng)點的橫（縱）坐標(biāo)的符號相反.選D.

五、相似三角形分類討論

例6 如圖4，在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，動點P從點B出發(fā)以2cm/s的速度向點C移動，動點Q從點C出發(fā)以1cm/s的速度向點A移動，如果動點P、Q同時出發(fā)，要使△CPQ與△CBA相似，所需要的時間是多少秒？

【錯解】若△CPQ∽△CBA，

則[CPCB]=[CQCA]，

∴[4-2t4]=[t3]，∴t=[65].

【析錯】△CPQ與△CBA相似，在沒有告訴對應(yīng)點的情況下應(yīng)該分兩種情況，一種是△CPQ∽△CBA，另外一種是△CPQ∽△CAB.

若△CPQ∽△CAB，則[CPAC]=[CQBC]，

得t=[1611].

所以在應(yīng)用相似三角形解決問題的時候我們要注意分類思想的應(yīng)用.

同學(xué)們，剛才分析了圖形的相似這一章中易錯的一些問題.面對問題只要認真整理歸納、糾正并及時反思，我們的學(xué)習(xí)就一定會天天向上.

（作者單位：江蘇省常熟市周行學(xué)校）