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        二次函數(shù)典型問題難點突破

        2016-12-01 19:36:59張麗
        初中生世界·九年級 2016年11期
        關(guān)鍵詞:張麗象限拋物線

        一、二次函數(shù)圖像問題的處理策略

        二次函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心版塊之一,需要同學(xué)們熟練地掌握基本性質(zhì),能夠靈活應(yīng)用.二次函數(shù)的圖像,給大家提供了解決問題的工具,熟練應(yīng)用不僅能掌握本塊知識,也能在學(xué)習(xí)中自然獲得邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)變化等思想,從而為進一步學(xué)習(xí)奠定扎實的基礎(chǔ).本文就二次函數(shù)圖像問題進行分類討論,以期找到解決這類問題的一般方法.

        1.二次函數(shù)圖像的識圖

        例1 y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像如圖1所示,則點M(a,bc)在( ).

        A.第一象限 B.第二象限

        C.第三象限 D.第四象限

        【分析】先討論a、c的符號情況,判斷直線的位置特征;再結(jié)合b的符號,考慮拋物線的位置特征.答案:D.

        【點撥】一次函數(shù)與二次函數(shù)的系數(shù)用相同字母表示,意味著一次函數(shù)的直線圖像的傾斜方向與二次函數(shù)的開口方向有關(guān)聯(lián),兩個圖像的橫縱軸的截距有了聯(lián)系,進而使二次函數(shù)對稱軸、頂點坐標有了確定的性質(zhì),從而能夠確定圖像.

        二、求解二次函數(shù)中的面積最值問題的策略

        從近幾年的各地中考試卷來看,求面積的最值問題在壓軸題中比較常見,而且通常與二次函數(shù)相結(jié)合,使解題具有一定難度.本文以一道中考題為例,介紹幾種不同的解題方法,供同學(xué)們在解決這類問題時參考.

        例3 如圖2,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(1,0),B(-3,0)兩點.

        (1)求該拋物線的解析式;

        (2)設(shè)(1)中的拋物線交y軸于C點,在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得△QAC的周長最小?若存在,求出Q點的坐標;若不存在,請說明理由;

        (3)如圖3,在(1)中的拋物線上的第二象限內(nèi)是否存在一點P,使△PBC的面積最大?若存在,求出點P的坐標及△PBC的面積最大值;若沒有,請說明理由.

        [圖2][圖3]

        【解析】(1)拋物線解析式為y=-x2-2x+3;(2)Q(-1,2).

        下面著重探討求第(3)小題中面積最大值的幾種方法.

        1.補形、割形法.

        幾何圖形中常見的處理方式有分割、補形等,通過對圖形的這些直觀處理,一般能輔助解題,使解題過程簡捷、明快.此類方法的要點在于把所求圖形的面積進行適當?shù)难a或割,變成有利于表示面積的圖形.

        方法一:如圖4,

        2.“鉛垂高,水平寬”面積法.

        如圖6,過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(a),中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高”(h),我們可得出計算三角形面積的另一種方法:S△ABC=[12]ah,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.

        (1)二次函數(shù)的頂點在x軸上,求k的值;

        (2)若二次函數(shù)與x軸的兩個交點A、B均為整數(shù)點(坐標為整數(shù)的點),當k為整數(shù)時,求A、B兩點的坐標.

        【點撥】本題著重考查一元二次方程和二次函數(shù)之間的聯(lián)系,同學(xué)們要學(xué)會運用函數(shù)和方程之間的聯(lián)系來解決問題.

        當然二次函數(shù)的典型問題很多,在這里介紹了幾種典型問題的解題策略,供同學(xué)們參考.如果我們能掌握一定的方法,做到舉一反三,那就可以得到事半功倍的效果.

        (作者單位:江蘇省太倉市第一中學(xué))

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