關(guān)清元，陶菊春

(1.武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建武夷山 354300;2.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

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一種特殊家庭聯(lián)合保險(xiǎn)的精算模型研究

關(guān)清元1，陶菊春2

(1.武夷學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院，福建武夷山 354300;2.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅蘭州 730070)

為了消除利率隨機(jī)性所產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn),對(duì)隨機(jī)利率采用AR(1)模型建模,以一種特殊家庭聯(lián)合保險(xiǎn)模型為基礎(chǔ),討論了多元生存函數(shù),給出了保額的精算現(xiàn)值及其均衡年保費(fèi)的計(jì)算方法.

精算現(xiàn)值;均衡保費(fèi);壽險(xiǎn);年金;AR(1)模型

0 引言

現(xiàn)階段,學(xué)術(shù)界對(duì)壽險(xiǎn)精算模型的研究大多數(shù)都是確定利率環(huán)境下的一些結(jié)論.1998年,吳耀華等[1]探討了確定利率下夫妻聯(lián)合養(yǎng)老保險(xiǎn)的保費(fèi)準(zhǔn)備金的計(jì)算問(wèn)題.2004年,王麗燕、馮恩民探討了確定利率下家庭聯(lián)合保險(xiǎn)的保費(fèi)計(jì)算問(wèn)題.然而現(xiàn)實(shí)生活中,實(shí)際的利率都是變化的，所以也有一批學(xué)者對(duì)壽險(xiǎn)和年金中死亡率與利率均為隨機(jī)的情況進(jìn)行了專(zhuān)門(mén)的研究[2-6].本文通過(guò)對(duì)隨機(jī)利率采用AR(1)模型建模,以家庭聯(lián)合保險(xiǎn)模型為基礎(chǔ)[7],討論隨機(jī)利率下的一種具有養(yǎng)老性質(zhì)的單親家庭的家庭聯(lián)合保險(xiǎn)的精算問(wèn)題,并推導(dǎo)其年均衡純保費(fèi)的計(jì)算公式.

1 承保對(duì)象及其保險(xiǎn)責(zé)任

1.1 承保對(duì)象

年齡為1～10周歲的獨(dú)生子女,其父(或母)由于某種原因死亡,其跟隨25～35周歲的母(父)以及50～60(外)祖父母一起生活的單親家庭.

1.2 保險(xiǎn)責(zé)任

1.2.1 壽險(xiǎn) 若其父(或母)以及其(外)祖父母三方任何一人在保單生效后死亡,則在死亡即刻給付保險(xiǎn)金R1;若此獨(dú)生子女先于其父(或母)以及其(外)祖父母死亡,則在死亡時(shí)即刻給付保險(xiǎn)金a1R1(a1>3),若后于其父(或母)及其(外)祖父母死亡,則不給付保險(xiǎn)金.

1.2.2 年金 若其父(或母)以及其(外)祖父母三方任何一方生存至60周歲(或55周歲)時(shí)開(kāi)始給付養(yǎng)老金,至三方全部死亡時(shí)為止.養(yǎng)老金每年年初給付,以(x)表示年齡為x的被保險(xiǎn)人,假設(shè)此獨(dú)生子女的年齡為z,其父(或母)的年齡為w,其(外)祖父母雙方的年齡分別為x和y,不妨設(shè)z

(i)在投保后第n年至第m年(m>n),若(x),(y)至少有一人活著,(w)與(z)都活著,則每年支付R2.

(ii)在投保后第n年至第m年,若(x),(y)均死亡,而(w)與(z)都活著,則在第二個(gè)死亡發(fā)生時(shí)刻,每年支付R3.

(iii)在第m年至第η年間,若(x),(y)至少有一人活著,(w)與(z)也活著,則每年支付a2R2(R2是正常退休金的1.5～2倍,且按人頭數(shù)發(fā)放).

(iv)在第m年至第η年間,若(x),(y)均死亡(以第二個(gè)死亡日期為準(zhǔn)),(w)活著而z<18,則每年支付a3R3至z=18(a3>1).

(v)若η年后,(x),(y),(w)均死亡,則每年支付R4,至最后一人死亡為止.

2 多生命函數(shù)

考慮三個(gè)生命(x),(y),(z)的情形,以及四個(gè)生命(x),(y),(z),(w)的情形.按慣例,以T(x)表示(x)的未來(lái)壽命(或未來(lái)余命),tqx=P(T(x)≤t)=1-P(T(x)>t)(t≥0)為(x)在t年內(nèi)死亡的概率,K(x)=[T(x)]來(lái)表示(x)未來(lái)壽命的周年數(shù)或(x)在未來(lái)生存的整年數(shù),即K(x)是T(x)的最大整數(shù)部分[8],用μx表示在x歲時(shí)的死力(也稱瞬間死亡率或死亡密度).

2.1 多生命的聯(lián)合生存狀態(tài)與最后生存狀態(tài)

2.1.1 聯(lián)合生存狀態(tài) 當(dāng)且僅當(dāng)(x),(y),(z)都生存時(shí)狀態(tài)存續(xù),只要其中有一個(gè)死亡時(shí)即消亡的狀態(tài).此時(shí)把一個(gè)x歲的生命(x)和一個(gè)y歲的生命(y)以及一個(gè)z歲的生命(z)組成的狀態(tài)稱為聯(lián)合生存狀態(tài),這種狀態(tài)記為(xyz),T(xyz)表示聯(lián)合生存狀態(tài)(xyz)的余命,即T(xyz)=min(T(x),T(y),T(z)).對(duì)于聯(lián)合生存狀態(tài)(xyz),在T(x),T(y),T(z)相互獨(dú)立的條件下,有

(1)

故有

FT(t)=1-tpxyz.

(2)

從而T(xyz)的密度函數(shù)為

(3)

(4)

此時(shí)

(5)

(6)

四元聯(lián)合生存狀態(tài)可記為(xyzw),此種情況類(lèi)似于三元聯(lián)合生存狀態(tài),在T(x),T(y),T(z),T(w)相互獨(dú)立的條件下,也有類(lèi)似結(jié)果tpxyzw=tpx·tpy·tpz·tpw.

2.2 多生命的條件生存狀態(tài)[9]

(7)

3 利息隨機(jī)性的建模

針對(duì)利息力累積函數(shù),當(dāng)利率滿足AR(1)[10]模型時(shí),即

(8)

其中,δt代表第t年的利率,-1<φ<1,{εt}是相互獨(dú)立的均值為0、方差為σ2的同正態(tài)分布序列,即εt～N(0,σ2)，所以

(9)

(10)

此處假設(shè)δ(t)與T(x),T(y)相互獨(dú)立.

4 純保費(fèi)的計(jì)算

假設(shè)繳費(fèi)期為h(h≤min(m,n,η,λ))年,保費(fèi)在(x),(y),(z),(w)都活著時(shí)年初繳付,下面先按照壽險(xiǎn)和年金兩種情形分別計(jì)算被保險(xiǎn)人未來(lái)收益的精算現(xiàn)值和均衡年繳純保費(fèi),再求和即得總保費(fèi).

4.1 壽險(xiǎn)

(11)

對(duì)非單個(gè)的壽險(xiǎn)來(lái)說(shuō),可以先設(shè)其死亡受益金為1,則其責(zé)任可視為如下三部分的組合:

(a)在三元聯(lián)合生存狀態(tài)(xyw)終止時(shí),受益金為1;

(c)在四生命條件存在狀態(tài)結(jié)束時(shí)受益金為1.

(12)

(13)

(14)

均衡年保費(fèi)是h年內(nèi)當(dāng)(xyzw)存在時(shí)每年年初支付的,第k(0≤k≤h)年的受益金為1的精算現(xiàn)值為

(15)

根據(jù)平衡原理,投保時(shí)躉繳保費(fèi)的精算現(xiàn)值應(yīng)與均衡年保費(fèi)的精算現(xiàn)值相等,從而得到平衡方程

(16)

同理可得

(17)

4.2 年金

方式( i )是該年金(xyw)延期n年的定期(m-n)年的年金[6],其精算現(xiàn)值為

(18)

其均衡年保費(fèi)為

(19)

故

(20)

故

(21)

(22)

(22)式上標(biāo)中兩個(gè)2表示(z),(w)均在(x)與(y)中的殘存者之后死亡.

方式(v)的精算現(xiàn)值和均衡年保費(fèi)分別為

(23)

綜上可得,保單的均衡年保費(fèi)為

(24)

其中a1>3,a2,a3>2.

本文設(shè)計(jì)并討論了一種具有養(yǎng)老性質(zhì)的單親家庭的投保問(wèn)題,首次給出了隨機(jī)利率下該種情況的家庭聯(lián)合保險(xiǎn)的保額的精算現(xiàn)值及其均衡年保費(fèi)的計(jì)算方法,并推導(dǎo)出了相應(yīng)的公式,具有一定的創(chuàng)新性和實(shí)用價(jià)值.

[1] 吳耀華,蔡新中,吳之強(qiáng).一種夫妻聯(lián)合養(yǎng)老金(付死亡)保險(xiǎn)的計(jì)算問(wèn)題[J].中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào),1998,28(4):439.

[2] BEEKMAN J A,FUELLING C P.Interest and mortality randonmess in some annuities[J].Insurance:MathematicsandEcomomics,1990,9:185.

[3] BEEKMAN J A,FUELLING C P.Extra randomness in certain annuity models[J].Insurance:MathematicsandEconomics,1991,10:275.

[4] De SCHEPPER A,De VYLDER F,GOOVAERTS M,et al.Interest randomness in annuities certain[J].Insurance:MathematicsandEconomics,1992,11:271.

[5] De SCHEPPER A,GOOVAERTS M.Some further results on annuities certain with random interest[J].Insurance:MathematicsandEcomomics,1992,11:283.

[6] De SCHEPPER A,GOOVAERTS M,DELBAEN F.The Laplace transtorm of annuities certain with exponential time distribution[J].Insurance:MathematicsandEcomomics,1992,11:291.

[7] 王麗燕,柳楊.一種家庭聯(lián)合保險(xiǎn)的精算模型[J].大連大學(xué)學(xué)報(bào),2004,25(2):45.

[8] 盧仿先,曾慶五.壽險(xiǎn)精算數(shù)學(xué)[M].天津:南開(kāi)大學(xué)出版社,2001.

[9] 張波.應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社,2000.

[10] 王曉軍.企業(yè)養(yǎng)老金計(jì)劃精算模型[J].統(tǒng)計(jì)研究,2003(2):24.

[11] 劉新紅.隨機(jī)利率下一種家庭聯(lián)合保險(xiǎn)的精算模型[J].北京石油化工學(xué)院學(xué)報(bào),2007,15(3):56.

(責(zé)任編輯 馬宇鴻)

A special family coinsurance actuarial model

GUAN Qing-yuan1,TAO Ju-chun2

(1.College of Mathematics and Computer,Wuyi University,Wuyishan 354300,Fujian,China;2.College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

In order to eliminate interest rate risk arising from randomness,a family coinsurance model is established based on the random rate dertermied byAR(1) model,the multiple survival function is discussed,and the actuarial present value of the insured amount and equilibrium premiums are given.

actuarial present value;equilibrium premiums;life insurance;annuity;AR(1) model

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.01.007

2015-04-20;修改稿收到日期:2015-08-25

武夷學(xué)院科技類(lèi)項(xiàng)目(XL1202,XD201405)

關(guān)清元(1981—)，男，河南信陽(yáng)人，講師，碩士.主要研究方向?yàn)橛?jì)算數(shù)學(xué)與保險(xiǎn)精算.

E-mail:441729707@qq.com

F 840

A

1001-988Ⅹ(2016)01-0031-04