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        一道全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題的另一種解法

        2017-05-12 05:43:35福建省泉州第五中學(xué)黃種生
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年9期
        關(guān)鍵詞:符合條件歸納法原題

        ☉福建省泉州第五中學(xué) 黃種生

        一道全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題的另一種解法

        ☉福建省泉州第五中學(xué) 黃種生

        題目(2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試第4題)設(shè)n,k為大于1的整數(shù),n<2k.證明:存在2k個(gè)不被n整除的整數(shù),若將它們?nèi)我夥殖蓛山M,則總有一組有若干個(gè)數(shù)的和被n整除.

        原題提供的解題思路如下:

        若n是2的冪,設(shè)n=2r,r≥1,且r<k,則選取的2k個(gè)數(shù)為2r-1,2r-1,2r-1,1,1,…,1.

        若n不是2的冪,則選取的2k個(gè)數(shù)為-1,-1,-2,-22,…,-2k-2,1,2,22,…,2k-1.

        可以證明選取的2k個(gè)數(shù)符合條件(證明略).

        本文提供另一種解法,也是構(gòu)造性證明,構(gòu)造的思路如下:

        (1)這2k個(gè)非零整數(shù)的絕對值小于n,這樣可以保證它們都不被n整除;

        (2)這2k個(gè)整數(shù)中有若干個(gè)數(shù)的和等于n或-n,這樣可以保證有若干個(gè)數(shù)的和被n整除;

        (3)分組時(shí),若小組內(nèi)不出現(xiàn)和為零的數(shù),則和等于n或-n的若干個(gè)數(shù)必須在同一小組.

        證明:構(gòu)造數(shù)列{am}(1≤m≤2k+1),使其滿足以下三個(gè)條件:

        (1)a1=1,a2=-1;

        (2)|a1|≤|a2|≤…≤|a2k|<n,|a2k+1|=n;

        (3)m>2時(shí),若am>0,則必存在1≤i1,i2,…,it<m,使得aij<0(j=1,2,…,t)且am=-(ai1+ai2+…+ait);若am<0,則必存在1≤i1,i2,…,it<m,使得aij>0(j=1,2,…,t)且am=-(ai1+ai2+…+ait).

        以下對k用數(shù)學(xué)歸納法證明滿足上述條件的數(shù)列存在.

        (1)當(dāng)k=2時(shí),n<4,

        n=2時(shí),數(shù)列1,-1,1,1,2,符合條件;n=3時(shí),數(shù)列1,-1,1,1,3,符合條件.命題成立.

        (2)設(shè)n=k0時(shí),命題成立,則對于n<2k0,存在數(shù)列{am}(1≤m≤2k0+1)滿足條件.當(dāng)n=k0+1時(shí),

        ①若n<2k0,構(gòu)造數(shù)列{bm}(1≤m≤2k0+3),使得:

        顯然,數(shù)列{bm}(1≤m≤2k0+3)符合條件.

        ②若2k0

        ≤n<2k0+1,當(dāng)n=2n0時(shí),n0<2k0,存在數(shù)列{am}(1≤m≤2k0+1)滿足條件,構(gòu)造數(shù)列{bm}(1≤m≤2k0+ 3),使得bi=a(i1≤i≤2k0+1),b2k0+2=a2k0+1,b2k0+3=-2a2k0+1.

        顯然,數(shù)列{bm}(1≤m≤2k0+3)符合條件.

        顯然,數(shù)列{bm}(1≤m≤2k0+3)符合條件.

        所以,符合條件的數(shù)列存在.

        以下用反證法證明結(jié)論.對于數(shù)列{an}中的前2k個(gè)數(shù)a1,a2,…,a2k,由于1≤|ai|<n,所以它們不能被n整除,假設(shè)把它們分成A,B兩組,兩組中均不存在若干個(gè)數(shù)的和為n的倍數(shù).不妨設(shè)1∈A,因?yàn)?+(-1)=0,所以-1∈B,用數(shù)學(xué)歸納法可以證明,當(dāng)an>0時(shí),必有an∈A;當(dāng)an<0時(shí),必有an∈B,具體證明如下:

        (1)當(dāng)n=1,2時(shí),a1∈A,a2∈B,結(jié)論成立.

        (2)設(shè)當(dāng)n≤k時(shí),結(jié)論成立,當(dāng)n=k+1時(shí),若an>0,由于存在1≤i1,i2,…,it≤k,aij<0(j=1,2,…,t),使得an= -(ai1+ai2+…+ait),由假設(shè)知,aij∈B(j=1,2,…,t),所以an∈A.同理,當(dāng)an<0時(shí),必有an∈B.綜上,命題成立.

        又因?yàn)閨a2k+1|=n,若a2k+1=n,則B組中必有若干的數(shù)ai1,ai2,…,ait,它們的和為-n,是n的倍數(shù),矛盾.若a2k+1=-n,同理可得矛盾結(jié)論.

        原題得證.

        總結(jié):本構(gòu)造法證明中,滿足條件:m>2時(shí),若am>0,則必存在1≤i1,i2,…,it<m,使得aij<0(j=1,2,…,t)且am= -(ai1+ai2+…+ait);若am<0,則必存在1≤i1,i2,…,it<m,使得aij>0(j=1,2,…,t)且am=-(ai1+ai2+…+ait).它保證了,每構(gòu)造一個(gè)數(shù),前面都有若干個(gè)與它符號相反的數(shù),這些數(shù)與它的和恒為零.這種構(gòu)造是優(yōu)美的.F

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