張樹鵬　姚祺鵬

M·克萊因說：“數(shù)學(xué)不僅是一種方法，一門藝術(shù)或一種語言，數(shù)學(xué)更重要的是一門有著豐富內(nèi)容的知識體系?！睌?shù)學(xué)的思想方法則是數(shù)學(xué)的靈魂和精髓。整體思想是高中階段較為重要的數(shù)學(xué)思想。在解題時，我們往往習(xí)慣于從問題的局部出發(fā)，將問題分解成若干個簡單的子問題，然后再各個擊破、分而治之，這是一種常見的有效的方法。但還有許多的數(shù)學(xué)問題需要我們從整體出發(fā)，突出對問題整體結(jié)構(gòu)的分析、判斷，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征和邏輯關(guān)系從而找到最合理，最簡捷實(shí)用的解題方法，使問題化難為易，化繁為簡，提高解題效率。函數(shù)是整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，是整個中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也一直是高考中的大熱點(diǎn)，應(yīng)用整體方法是解決高中函數(shù)問題的重要途徑方法。

一、初等函數(shù)中“整體換元”的簡用

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等的復(fù)合函數(shù)的求解問題中，常將“內(nèi)層函數(shù)”看做一個整體來處理，通過“整體換元”，簡化結(jié)構(gòu)形式，便于試題分析，提高解答的速度與正確性。

案例1：求函數(shù)y=+ ?x∈[2，4]的最大值？

整體換元，令t=，所以原函數(shù)化為y=t+，因?yàn)閤∈[2，4]所以t∈[1，2].根據(jù)y=t+“雙鉤”函數(shù)特征知函數(shù)在t∈[1，2]中是單調(diào)遞減，也可通過求導(dǎo)判斷函數(shù)y=t+的單調(diào)性可得原函數(shù)在x∈[2，4]的最大值為t=1時的值5。通過整體換元后，簡化了等式方程的結(jié)構(gòu)，提高了答題效率。

二、目標(biāo)函數(shù)中“整體代換”的變用

線性約束條件下，常將目標(biāo)函數(shù)“整體代換”，或調(diào)配目標(biāo)函數(shù)結(jié)構(gòu)，充分利用約束條件做整體代換，令我們的解題思路豁然開朗，解題中產(chǎn)生耳目一新的感覺和收獲。

案例2：（2015全國卷）若，y滿足約束條件 ，則z=x+y的最大值為____________。

通解通法;做出可行域，變形目標(biāo)函數(shù)y=-x+z.平移y=-x獲取直線圖形截距最大值，即x=1，y=時zmax=。解法雖得當(dāng)，但解題繁瑣，用時過長，作為一道填空題，是否有更簡捷實(shí)用的解題方法？觀察線性約束條件特點(diǎn)，調(diào)配目標(biāo)函數(shù)，做整體代換。z=x+y=（x-2y）+（x+2y）≦×0+×2=

當(dāng)x-2y=0，x+2y=2，即x=1，y=時zmax=。

比較兩法第二種解法簡便，給人全新的解題感收。同時啟發(fā)我們，能否變形線性條件，利用不等式性質(zhì)得出目標(biāo)函數(shù)最值？

三、二元函數(shù)中“整體代換”的巧用

二元函數(shù)最值問題在近幾年的高考中頻頻出現(xiàn)，常見的方法有將二元轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉?、不等式放縮法、基本不等式法、轉(zhuǎn)化為線性目標(biāo)函數(shù)最值法等，而“常值整體代換”與重組后“整體代換”是求二元函數(shù)最值的主要方法。

案例3：（2015南通、揚(yáng)州、等地高三調(diào)研試題）

已知正實(shí)數(shù)x、y滿足x++3y+=10，則xy的取值范圍為？

本題可用整體代換將二元函數(shù)式轉(zhuǎn)化為一元式，設(shè)k=xy，得y=代入x++3y+=10化簡整理成關(guān)于x的一元二次方程。然后根據(jù)方程在x取值范圍內(nèi)存在兩個正實(shí)根的條件得出xy的取值范圍。我們也可對已知二元等式進(jìn)行重組變形，做整體處理，利用基本不等式放縮法求得xy的范圍。10= x++3y+=（x+）+（+3y）≧2化簡可得;（3xy-8）（xy-1）≤0，解不等式得xy的取值范圍是。通過常值整體代換與重組后整體代換使二元函數(shù)最值的求解峰回路轉(zhuǎn)，迅速獲得了解題的途徑方法。

四、三角函數(shù)中“整體代換”的互用

三角函數(shù)中廣泛應(yīng)用整體法求解，如：求函數(shù)對稱軸、對稱中心、單調(diào)區(qū)間與最值，均可將看做一個整體，進(jìn)行整體代換，再利用y=sinx的性質(zhì)進(jìn)行處理，在解三角形中也可將正弦公式、余弦公式，整體互代，化簡已知，簡便求解。

五、導(dǎo)函數(shù)求解中“整體求導(dǎo)”的活用

函數(shù)中常有參數(shù)取值范圍的確定與不等式恒成立問題的證明等，常要通過分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)或移項變形構(gòu)造新函數(shù)，將新函數(shù)看做整體，通過整體求導(dǎo)確定新函數(shù)的單調(diào)性，利用不等式性質(zhì)得出參數(shù)范圍，證的不等式恒成立。

綜上所述，數(shù)學(xué)的教與學(xué)不能僅滿足單純知識的積累與演練，在知識的學(xué)習(xí)和能力提高過程中注意數(shù)學(xué)思想的整理和深化，才會使學(xué)生在學(xué)習(xí)中清理思維障礙，巧妙解決問題。函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，函數(shù)滲透于整個高中數(shù)學(xué)中，學(xué)習(xí)和教學(xué)過程中有意識地滲透整體思想，可以使學(xué)生從全局著眼，整體把握，簡捷明快地解決問題，從而激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想。