何 娟

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

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對偶體積差Lp-Brunn-Minkowski不等式

何 娟

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

介紹了對偶體積差和均質(zhì)積分差的概念，討論了它們的對偶Lp-Brunn-Minkowski型理論，其中一個結(jié)論表明，對于兩個相互擴(kuò)張的星體，特別地，當(dāng)它們中挖掉兩個任意的星體后，Lp-Brunn-Minkowski不等式仍然成立.

星體；凸體；對偶體積差；對偶Lp-Brunn-Minkowski不等式；對偶均質(zhì)積分差

設(shè)K,L是Rn里的凸體(有非空內(nèi)點的緊凸集).設(shè)V表示體積，+p表示p-和.經(jīng)典的Lp-Brunn-Minkowski不等式[1]表示如下:

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L互為伸縮的.

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L互為伸縮的.

在2010年，呂松軍建立了對偶體積差的Brunn-Minkowski不等式和Minkowski不等式[2].

定理1 假設(shè)K，L和D是Rn里的星體，并且D?K，D′?L，D′是D的一個擴(kuò)張，則:

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是相互擴(kuò)張的并且(V(K),V(D))=c(V(L),V(D′))，其中c是一個常數(shù).

其中ρK(θ)是K的徑向函數(shù)，定義為ρK(θ)=max{λ≥0:λθ∈K},θ∈Sn-1.并且dθ是B的表面積元素，Rn里的標(biāo)準(zhǔn)單位球.

定理2 假設(shè)K，L和D是Rn里的星體，并且D?K，D′?L，D′是D的一個擴(kuò)張,則:

等號成立的條件當(dāng)且僅當(dāng)K和L是相互擴(kuò)張的并且(V(K),V(D))=c(V(L),V(D′))，其中c是一個常數(shù).

文獻(xiàn)[2]的第一個結(jié)果(定理1)表明了兩個相互伸縮的星體，其中挖去兩個任意的星體，對偶體積差Brunn-Minkowski不等式成立.本文將用分析的方法來建立對偶體積差的Lp-Brunn-Minkowski不等式，下面是主要結(jié)果.

定理3 假設(shè)M，K和L是Rn里的星體，并且K?M，L?M′，M′是M的一個擴(kuò)張，則:

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是相互擴(kuò)張的并且(V(M),V(K))=c(V(M′),V(L))，其中c是一個常數(shù).

其中ρk(θ)是K的徑向函數(shù)，定義為ρk(θ)=max{λ≥0:λθ∈K}，θ∈Sn-1.

兩個星體的對偶體積差Lp-Minkowski不等式能表示為定理4[4]：

定理4 假設(shè)M，K和L是Rn里的星體，并且K?M，L?M′，M′是M的一個擴(kuò)張，則:

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K和L是相互擴(kuò)張的并且(V(M),V(K))=c(V(M′),V(L))，其中c是一個常數(shù).

本文另一個目標(biāo)是介紹凸體的均質(zhì)積分差，進(jìn)而了解它的對偶Lp-Brunn-Minkowski不等式.

1 預(yù)備知識

首先引入一些關(guān)于星體的對偶Lp體積、星體的對偶均質(zhì)積分差以及星體的對偶體積差的一些基本結(jié)論.對偶體積差[2]以及對偶均質(zhì)積分差的概念也會給出.關(guān)于Brunn-Minkowski理論和它的對偶可以參看文獻(xiàn)[3-8].

(1)

兩個緊域的體積差概念參看文獻(xiàn)[9].

(2)

2 對偶體積差不等式

本節(jié)將建立關(guān)于星體的兩個對偶體積差不等式，這也是定理3的推廣.關(guān)于對偶的一些體積差不等式可以參看文獻(xiàn)[10].

定理5 設(shè)K，L和M是Rn里的星體，M′是M的一個伸縮，如果p≥1，K?M,L?M′，則:

(3)

推論1 假設(shè)R(K),R(L)是星體K,L的內(nèi)徑，使得R(K)≤r1,R(L)≤r2,p≥1，則有:

等號成立當(dāng)且僅當(dāng)K,L是互為伸縮的且r1/r2=V(K)/V(L).

本文將需要一些額外的定義來分析定理5的不等式，首先定義一個函數(shù)Φp(x)為:

引理1 如果p>1，x,y∈Rp，則x+y∈Rp，有:

(4)

如果p<0或0

(5)

式(4)和式(5)等號成立當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)x,y成比例.

引理1的證明可以參看文獻(xiàn)[11].不等式(5)首先是Bellman證明的，熟知的Bellman不等式.

定理1的證明： 關(guān)于體積的對偶Lp-Brunn-Minkowski不等式如下：

(6)

(7)

根據(jù)式(6)、(7)和Bellman不等式(4)，有：

3 對偶Lp-均質(zhì)積分差不等式

本節(jié)將建立兩個關(guān)于星體的Lp-均質(zhì)積分差不等式.

定理6 設(shè)K，L和M是Rn里的星體，M′是M的一個伸縮.

如果p≥1，0≤i≤n-1，K?M,L?M′，則：

(8)

如果K?M,L?M′，n-1n，p>1，則：

(9)

證明 設(shè)0≤i≤n-1，i∈R，對偶Lp-均質(zhì)積分的對偶Lp-Brunn-Minkowski不等式如下：

(10)

(11)

從式(10)、(11)以及Bellman不等式，得到：

[1]GARDNERRJ.Geometric[MJ].NewYork:CambrigeUniversityPress，1995.

[2] LV S J.Dual Brunn-Minkowski inequality for volume differences[J].Geom Dedicata,2010,145:169-180.[3]GARDNERRJ.TheBrunn-Minkowskiinequality[J].BullAmerMathSoc,2002,39:355-405.

[4] SCHNEIDER R.Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory[M].New York:Cambrige University Press,1993.

[5] LUTWAK E.Dual mixed volumes[J].Pacific J Math,1975,58:131-159.

[6] LENG G S.The Brunn-Minkowski inequality for volume differences[J].Adv Appl Math,2004,32:615-624.

[7] LOSONCZI L,PLES Z S.Inequalities for forms[J].J Math Anal Appl,1997,205:148-156.

[8] LUTWAK E,YANG D,ZHANG G Y.The Brunn-Minkowski-Firey inequality for nonconvex sets[J].Adv Appl Math,2012,48:407-413.

[9] LUTWAK E.Intersection bodies and dual mixed volumes[J].Adv Math,1988,71:232-261.

[10] FENG Y,WANG W,YUAN J.Differences of quermassintegral and dual quermassintegrals Blaschke-Minkowski and Radial Blaschke-Minkowski Homonorphisms[J].Bull Belgian Math Soc,2014,21:577-592.

[11] LUTWAK E.The Brunn-Minkowski inequality for volume differences[J].Adv Appl Math,2004,32:615-624.

責(zé)任編輯：時 凌

Dual Lp-Brunn-Minkowski Inequality for Volume Differences

HE Juan

(School of Mathematics,Chongqing Normal University,Chongqing 401331,China)

In this paper,we introduce the concepts of the dual volume differences and width-integral differences,and discuss the theory of dual Lp-Brunn-Minkowski type for them.One of the results implies that for two mutually dilating star bodies,the dual Lp-Brunn-Minkowski inequality still holds after two arbitrary star bodies included in them are excluded.

star body;convex body;dual volume difference; dual Lp-Brunn-Minkowski inequality;dual quermassintegral differences

2016-06-09.

國家自然科學(xué)基金面上項目(11271390).

何娟(1990- )，女，碩士生，主要從事凸幾何的研究.

1008-8423(2016)03-0285-03

10.13501/j.cnki.42-1569/n.2016.09.010

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