陳棟棟，劉長星

(1.咸陽市勘察測繪院，陜西 咸陽 712000； 2.西安科技大學(xué)，陜西 西安 710054)

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利用二次曲面法建立山區(qū)局部范圍似大地水準(zhǔn)面的效果分析

陳棟棟1*，劉長星2

(1.咸陽市勘察測繪院，陜西 咸陽 712000； 2.西安科技大學(xué)，陜西 西安 710054)

研究了二次曲面法求取高程異常模型的方法，分析了二次曲面擬合GPS 高程的精度，并與水準(zhǔn)測量的高程進(jìn)行對比分析，建立了礦區(qū)的似大地水準(zhǔn)面模型，從而達(dá)到利用GPS 高程測量替代傳統(tǒng)低等級水準(zhǔn)測量的目的，為應(yīng)用二次曲面法擬合山區(qū)地形條件下GPS高程的理論提供了依據(jù)。

大地水準(zhǔn)面；二次曲面法；高程異常；GPS高程

1 引 言

應(yīng)用GPS衛(wèi)星定位技術(shù)建立測量控制網(wǎng)，具有精度高、速度快、費用低等優(yōu)點，目前GPS衛(wèi)星定位正在取代傳統(tǒng)的三角測量，成為建立平面控制網(wǎng)的重要方法，已經(jīng)在測繪行業(yè)得到廣泛應(yīng)用[1]；但其高程測量成果卻未能得到充分的利用，尤其在丘陵和山區(qū)地形條件下，GPS高程測量的精度一直是困擾著廣大的測繪工作者。因此，本文以黃陵礦區(qū)地面控制網(wǎng)為例，研究在山區(qū)地形條件下，如何通過建立局部似大地水準(zhǔn)面的方法來提高GPS高程測量的精度。

2 二次曲面法擬合似大地水準(zhǔn)面原理

影響山區(qū)大地水準(zhǔn)面起伏變化的主要原因是地形的變化，地形質(zhì)量和巖石密度分布的不均勻，因此，要求出高精度的似大地水準(zhǔn)面模型，就必須考慮重力分布和地形起伏。由于在缺乏重力資料的前提下，又要滿足工程施工對高程控制的要求，我們采用GPS+幾何水準(zhǔn)的辦法來求取局部似大地水準(zhǔn)面模型。

大地水準(zhǔn)面擬合常用的方法有加權(quán)平均、平面擬合、二次曲面擬合、多面函數(shù)擬合和最小二乘推估等。目前應(yīng)用較廣的是平面擬合和二次曲面擬合，平面擬合適用于范圍較小的平坦或低丘地區(qū)，而本次建立模型針對的黃陵礦區(qū)屬于典型的低中山山區(qū)地形，故平面擬合不適合該地區(qū)似大地水準(zhǔn)面模型的建立。對于范圍稍大的地區(qū)應(yīng)把似大地水準(zhǔn)面看成是多項式曲面，當(dāng)測區(qū)起伏較大且重合點數(shù)較多時，可采用二次曲面擬合來逼近似大地水準(zhǔn)面[1]。

由GPS相對定位得到三維基線向量網(wǎng)，經(jīng)過三維無約束平差，可以確定高精度的GPS點間的大地高高差，如果網(wǎng)中有一個或多個點具有精確地WGS-84大地高程，則在GPS網(wǎng)平差后，可求得各GPS點的WGS-84大地高[2]。用H84表示大地高、Hr表示正常高、ζ表示高程異常。則三者之間的關(guān)系表達(dá)如下：

Hr=H84-ξ

(1)

由式(1)可以看出，要求出某點的正常高，需要知道該點的大地高和高程異常值，而大地高可以通過GPS靜態(tài)測量的辦法來獲取，我們需要做的就是設(shè)法求取該點的高程異常值。只要求得了高程異常值ζ的數(shù)學(xué)模型，就可以推導(dǎo)出正常高的數(shù)學(xué)模型。

二次曲面方程為：

F(x，y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy

(2)

其中，F(xiàn)(x，y)代表某點的高程異常值，x、y為該點的縱、橫坐標(biāo)，a0～a5為擬合方程的系數(shù)[2]。

假設(shè)采用n個點來參與模型的擬合，則根據(jù)式(2)，可列出誤差方程如下：

(3)

在方程(3)中，令：

(4)

(5)

(6)

(7)

表示成矩陣運算，則有：

V=BA-L

(8)

根據(jù)最小二乘原理[2]，有：

VTPV=min

(9)

(10)

將式(10)代入式(8)，得到式(8)的解為：

A=(BTPB)-1BTPL=(BTB)-1BTL

(11)

求得a0～a5后，即可根據(jù)點位的平面坐標(biāo)利用式(2)計算出該點的高程異常ζ，再結(jié)合靜態(tài)GPS觀測所求得的大地高，利用式(1)即可計算出該點的正常高。

3 似大地水準(zhǔn)面模型的建立

陜西陜煤黃陵礦業(yè)有限公司黃陵一號煤礦位于陜西省延安市黃陵縣店頭鎮(zhèn)，海拔約為 1 180 m～ 1 490 m左右。礦區(qū)內(nèi)山巒起伏、溝壑縱橫、地形復(fù)雜，屬侵蝕構(gòu)造地貌，為典型的低中山山區(qū)地形。

圖1 礦區(qū)內(nèi)GPS控制點分布圖

為滿足該礦區(qū)生產(chǎn)建設(shè)的需要，現(xiàn)要在該礦區(qū)約 100 km2的范圍內(nèi)均勻布設(shè)20個E級GPS測點，具體GPS點位布設(shè)情況如圖1所示，采用中海達(dá)靜態(tài)GPS接收機(jī)觀測，內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理采用中海達(dá)隨機(jī)數(shù)據(jù)處理軟件進(jìn)行，并使用天寶DS03數(shù)字水準(zhǔn)儀對所有測點施測三等水準(zhǔn)，數(shù)據(jù)的外業(yè)采集和內(nèi)業(yè)處理均滿足相關(guān)規(guī)范要求。經(jīng)內(nèi)業(yè)數(shù)據(jù)處理，計算出所有控制點的WGS-84大地高、正常高和高程異常，具體數(shù)據(jù)如表1所示。

GPS控制點大地高、正常高和高程異常 表1

利用二次曲面擬合的方法，在礦區(qū)范圍內(nèi)選取9個點(CJL、CJP、D01、D02、D03、D04、E11、E12、GP01)進(jìn)行二次曲面擬合，利用剩余的11個點(E01、E02、E03、E04、E05、E06、E07、E08、E09、E10、J009)作為檢核。求得黃陵礦區(qū)計算正常高的模型為：

Hr=H84-ξ

=H84+14237.44642-2.94655×10-2x+2.41012×10-3y-2.95603×10-9x2-1.10897×10-10y2+1.44314×10-9xy

(12)

利用式(12)計算出擬合點和檢核點的正常高，并求出大地高與正常高的差值如表2、表3所示。

參與模型擬合的擬合點的殘差 表2

通過表2可以得到，模型的內(nèi)符合精度為[1]：

式中：ε為參加擬合點的擬合殘差，n為擬合點個數(shù)。

檢核點的模型擬合正常高與實測正常高比較 表3

通過表3可以得到，模型的外符合精度為[1]：

式中：△為檢核點的擬合正常高與實測正常高之差，n為檢核點的個數(shù)。

GPS高程擬合的差主要包括[4]：

①GPS測量大地高誤差

m1=±(10 mm+2 ppm×D)×2=±29.2 mm；

②儀器高量測誤差

m2≤±2.0 mm；

③三等水準(zhǔn)聯(lián)測誤差

④模型擬合誤差

m內(nèi)=±14.7 mm。

其中，三等水準(zhǔn)每千米測量全中誤差Mw=6 mm，控制點平均距離D=2.3 km。

計算得出GPS高程擬合的誤差為：

4 結(jié) 論

在小范圍的山區(qū)GPS控制網(wǎng)建設(shè)中，采用二次曲面法建立局部似大地水準(zhǔn)面模型，將GPS大地高轉(zhuǎn)換為正常高，進(jìn)而實現(xiàn)GPS高程的轉(zhuǎn)換，達(dá)到了圖根水準(zhǔn)測量的精度要求，可以滿足一般工程施工和各種比例尺地形測圖的要求，如果今后在該區(qū)域要進(jìn)行其他工程的GPS測量，則無需再進(jìn)行水準(zhǔn)測量，可以直接通過該似大地水準(zhǔn)面模型來求取測點的正常高，為工程的進(jìn)行提供了方便。如果在GPS大地高轉(zhuǎn)換為正常高時，能夠選用更多的已知點參與模型的擬合，并且點位分布比較均勻，那么該方法建立的似大地水準(zhǔn)面模型完全能夠達(dá)到圖根水準(zhǔn)的精度。

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Analysis of Effect on Building the Quasi-geoid of Local Area in Mountain by Quadratic Surface Fitting

Chen Dongdong1，Liu Changxing2

(1.Xianyang Institute of Prospecting and Mapping，Xianyang 712000，China；2.Xi’an University of Science and Technology，Xi’an 710054，China)

This paper describes how to gain gcycmx using quadratic surface fitting. And analyses the accuracy of GPS height of quadratic surface fitting and compare with geoid height.For the purpose of the use of GPS height to alternative the low-grade leveling by building geoid height model，provides a basis for the theory of quadratic surface fitting GPS height in mountainous terrain conditions.

geoid；quadratic surface fitting；abnormal height；GPS height

1672-8262(2016)05-96-03

P228.3

B

2016—03—09

陳棟棟(1988—)，男，碩士，國家注冊測繪師，主要從事測繪及生產(chǎn)技術(shù)管理工作。

劉長星(1963—)，男，碩士，教授，國家注冊測繪師，主要從事測繪教學(xué)與科研工作。