李 波，肖林京，孫傳余，文藝成，肖 楠，陳忠霞

(山東科技大學，青島 266590)

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雙相勵磁8/6極開關磁阻電動機轉矩數(shù)學模型

李 波，肖林京，孫傳余，文藝成，肖 楠，陳忠霞

(山東科技大學，青島 266590)

為研究雙相勵磁8/6極開關磁阻電動機轉矩特性，文章根據(jù)電機原理和等效磁路法，給出了雙繞組間自感、互感公式；利用開關磁阻電動機磁路分割法，求解了8/6極開關磁阻電動機的氣隙磁導，進而推導出電機的轉矩模型公式。最后，通過有限元仿真結果，證明了轉矩數(shù)學模型的正確性。研究表明：該轉矩數(shù)學模型能正確描述8/6極開關磁阻電動機無位置偏移時的轉矩輸出特性。

開關磁阻電動機；雙相勵磁；數(shù)學模型；有限元分析

0 引 言

開關磁阻電動機[1-2](以下簡稱SRM)，作為一種新型電機，因結構簡單、工作可靠、維護量小、啟動性能及調速性能優(yōu)越等優(yōu)點，受到了研究學者的廣泛關注。

8/6極SRM從勵磁方式可分為單相勵磁和雙相勵磁，文獻[3-4]針對上述兩種不同的勵磁方式，對其自感、互感及轉矩輸出特性進行了理論及實驗分析，研究表明雙相勵磁模式較單相勵磁模式，具有平均轉矩高、輸出平穩(wěn)性好的優(yōu)點。

轉矩性能是SRM領域的研究重點，對SRM調節(jié)轉速、穩(wěn)定旋轉等具有重要意義，文獻[5]針對8/6極SRM，在建立樣機仿真模型，獲取并分析仿真數(shù)據(jù)的基礎上，給出了自互感模型、磁鏈模型以及轉矩模型，但上述模型為基于該樣機仿真數(shù)據(jù)的擬合模型，并未給出關于電機具體參數(shù)的數(shù)學公式。文獻[6]針對8/6極單繞組磁懸浮SRM，借鑒文獻[7-10]的磁路分割法，通過建立等效磁路模型、求解氣隙磁導，推導出了電機轉矩模型。由于8/6極磁懸浮SRM和8/6極SRM具有相同的定轉子齒極結構，即而借鑒8/6極磁懸浮SRM的氣隙磁導求解方法，并應用到8/6極SRM氣隙磁導的計算研究中。

文章針對雙相勵磁8/6極SRM，在Maxwell 2D仿真分析的基礎上，建立了等效磁路模型，并推導出自互感表達式；再利用磁路分割法給出了齒間氣隙磁導求解方法及磁導公式，藉此推導出雙相勵磁8/6極SRM的轉矩數(shù)學模型；最后通過有限元仿真對比，驗證了該數(shù)學模型的正確性。

1 SRM原理

雙相勵磁8/6極SRM，包括電機定子、電機轉子和勵磁繞組，且兩相繞組共同通電，為電機轉子提供電磁吸引力。如圖1所示，AB相勵磁繞組通電后，在定轉子齒間形成電磁通路，產(chǎn)生電磁吸引力，驅動電機轉子逆時針轉動。

定義逆時針旋轉方向為正，定轉子齒極正對時，轉子位置角為0，則AB相導通時，A相轉子位置角θa∈[-π/12，0]，B相轉子位置角θb∈[-π/6，-π/12]，D相轉子位置角θd∈[0，π/12]，且有關系θb=θa-π/12，θd=θa+π/12，圖1中所示為θa=-π/24的位置。

圖1 雙相勵磁8/6極SRM原理圖

2 SRM有限元分析

本文采用Maxwell 2D有限元仿真軟件，建立雙相勵磁8/6極SRM的二維模型，選擇材料，定義邊界條件，添加繞組激勵，設置運動參量，最后完成瞬態(tài)磁場的仿真分析。其中，二維電機模型參數(shù)設置如下：定子鐵心外半徑30 mm，內半徑19.1 mm，定子軛環(huán)厚度4.9 mm，定子齒極高6 mm，定子齒極寬7.45 mm；轉子鐵心外半徑19 mm，內半徑5.36 mm，轉子軛環(huán)厚度5 mm，轉子齒極高8.64 mm，轉子齒極寬7.41 mm；軸向長度1 000 mm，各相繞組匝數(shù)50。

Maxwell 2D針對雙相勵磁8/6極SRM，進行磁路仿真分析，當AB相繞組導通且 時，其磁路與磁密分布分別如圖2、圖3所示。

圖2 電機磁路分布圖圖3 電機磁密分布圖

由圖2知，AB相繞組磁力線主要經(jīng)由AB相相鄰定轉子齒極及AD相相鄰定轉子齒極，形成閉合磁路，少量磁力線經(jīng)由AB相相對定轉子齒極和AC相定轉子齒極，形成閉合磁路。

由圖3知，AB相磁力線主要集中于A相、B相、D相定轉子齒極處，極少量分布在C相定轉子齒極處。且仿真發(fā)現(xiàn)，隨著θa減小，C相定轉子齒極處磁密會有所增加，但相較于A相、B相、D相仍可忽略不計。

3 SRM轉矩數(shù)學模型

為簡化雙相勵磁8/6極SRM轉矩求解，忽略漏磁通、定子交鏈轉子軛部磁通、磁鋼磁導和磁路飽和現(xiàn)象，并假設SRM電機轉子處于平衡位置。

以8/6極SRM的AB相繞組勵磁為例，認為AB相通電過程中，磁力線僅經(jīng)由A、B、D三相支路導通，即忽略C相定轉子齒間氣隙磁導，并繪制其等效磁路圖，如圖4所示：Na為A相繞組匝數(shù)；ia為A相繞組電流；Nb為B相繞組匝數(shù)；ib為B相繞組電流；Pa1，Pa2和φa1，φa2分別為A相上、下兩個氣隙處的氣隙磁導和氣隙磁通量；Pb1，Pb2和φb1，φb2分別為B相上、下兩個氣隙處的氣隙磁導和氣隙磁通量；Pd1，Pd2與φd1，φd2分別為D相上、下兩個氣隙處的氣隙磁導和氣隙磁通量。

圖4 AB相等效磁路圖

由電機齒極結構的對稱性，可知Pa1=Pa2，Pb1=Pb2，Pd1=Pd2，且φa1=φa2，φb1=φb2，φd1=φd2，根據(jù)AB相等效磁路圖，可得AB相繞組自感、互感表達式：

(1)

式中：La為A相繞組自感；Lb為B相繞組自感；Mab為AB相繞組互感；P0=Pa+Pb+Pd；Pa=Pa1=Pa2；Pb=Pb1=Pb2；Pd=Pd1=Pd2。

根據(jù)文獻[6-10]，求解氣隙磁導時，利用磁路分割法，將齒間磁路分割為正對部分的直線磁路和非正對部分的橢圓磁路。

圖5 磁路分割圖

當SRM轉子無位置偏移時，其氣隙磁導[6]：

(2)

根據(jù)雙相勵磁8/6極SRM原理可知，A相轉子位置角θa∈[-π/12，0]，帶入式(2)，得A相齒間氣隙磁導Pa：

(3)

同理可知，D相轉子位置角θd∈[0，π/12]，且有θd=θa+π/12，則D相齒間氣隙磁導Pd：

(4)

對于B相齒間氣隙磁導 ，已知其轉子位置角θb∈[-π/6，-π/12]，且θb=θa-π/12。如圖1所示，當θb∈[-π/8，-π/12](即θa∈[-π/24，0])時，B相定轉子齒極既有正對部分，又有非正對部分，與A、B相同理求解，即有：

(5)

當θb∈[-π/6，-π/8](即θa∈[-π/12，-π/24])時，B相轉子齒與B相定子齒完全偏離，僅有非正對部分氣隙磁導，如圖6所示，此時氣隙磁導式(2)不再適用，Pb求解方式如下。

圖6 B相氣隙磁路示意圖

根據(jù)文獻[7]，非正對部分微元磁導公式：

(6)

式中：dP2為非正對部分微元磁導；dt為非正對部分微元長度。

首先假設：(1) B相轉子齒與B相定子齒完全偏離時，非正對部分微元磁導仍符合式(6)；(2) 忽略B相轉子齒與C相定子齒間的氣隙磁導。根據(jù)圖6可知，非正對部分微元磁導dP2的積分長度t∈[(|θb|-π/8)r，π/8·r]。

將積分長度上下限，帶入式(6)，并化簡得：

(7)

整合式(5)和式(7)，得：

(8)

已知雙相勵磁8/6極SRM，AB相繞組儲能式Wab：

(9)

得雙相勵磁8/6極SRM轉矩公式T(θa)：

(10)

聯(lián)立式(1)、式(3)、式(4)、式(8)、式(10)，并化簡，得電機轉矩數(shù)學模型：

(11)

式中：

f0=fa+fb+fd。

4 仿 真

以雙相勵磁8/6極SRM為仿真對象，利用Maxwell2D有限元仿真軟件，得到θa∈[-15°,0°]過程中，電機轉矩與θa間的仿真輸出轉矩曲線。另，依據(jù)轉矩數(shù)學模型式(11)，利用MATLAB軟件，繪制轉矩T(θa)與θa間的模型計算轉矩曲線。通過對比仿真輸出轉矩與模型計算轉矩的擬合效果，驗證轉矩數(shù)學模型的正確性。

雙相勵磁8/6極SRM仿真模型，分別設定AB相勵磁繞組電流ia=ib=2A，ia=ib=3A，進行瞬態(tài)仿真，則仿真輸出轉矩與模型計算轉矩的對比情況如圖7所示。由圖7對比可知，仿真輸出轉矩與模型計算轉矩擬合效果良好，即轉矩數(shù)學模型式(11)能較準確地描述雙相勵磁8/6極SRM導通周期內的轉矩輸出情況。

圖7 仿真輸出轉矩與模型計算轉矩對比圖

但曲線繪制過程中發(fā)現(xiàn)，模型計算轉矩曲線為非連續(xù)曲線，間斷點為[-7.5°,T(-7.5°)]，原因在于：氣隙磁導Pb在θa=-7.5°處，連續(xù)不可導，而轉矩T(θa)求解時，需對Pb求導，繼而導致了轉矩T(θa)在該點處不連續(xù)。由圖7中亦可看出，由間斷采樣數(shù)據(jù)繪制出的模型計算轉矩曲線在[-7.5°,T(-7.5°)]點處并不圓滑。

5 結 語

文章通過研究雙相勵磁8/6極SRM轉矩數(shù)學模型，得出如下結論：

(1) 轉矩數(shù)學模型式(11)能較準確地描述雙相勵磁8/6極開關磁阻電機的轉矩輸出情況；(2) 式(11)為非連續(xù)函數(shù)，間斷點為[-7.5°,T(-7.5°)]，由此導致，當轉子位置角θa趨近于-7.5°時，實際輸出轉矩與公式計算可能存在一定偏差。

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Torque Mathematic Model of 8/6 Switched Reluctance Motor with Two-Winding Excitation

LIBo,XIAOLin-jing,SUNChuan-yu,WENYi-cheng,XIAONan,CHENZhong-xia

(Shandong University of Science and Technology，Qingdao 266590，China)

In view of the torque of 8/6 switched reluctance motor (SRM) with two-winding excitation, the stator winding's self and mutual inductance were deduced based on the principle of 8/6 SRM and the method of magnetic equivalent circuit. Utilizing the method of magnetic field division, the gap permeance of 8/6 SRM was solved, and then the mathematic model of torque was derived. Finally, based on the results of finite-element analysis, the validity of the mathematic model was verified. The studies show that the mathematic model of torque can describe the output characteristics of 8/6 SRM correctly when the motor stays balanced.

switched reluctance motor; two-phase excitation; mathematic model; finite-element analysis

2016-01-13

山東省優(yōu)秀中青年科學家科研獎勵基金(BS2013NJ015)；青島市博士后研究人員應用研究項目(01020120521)；青島市應用基礎研究計劃項目(15-9-1-66-jch)

TM352

A

1004-7018(2016)08-0019-03

李波(1991-)，男，碩士研究生，研究方向為磁懸浮技術。