陳俊

有錯(cuò)必糾有“法”可依

陳俊

《有理數(shù)》一章是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),同學(xué)們對(duì)相關(guān)概念的理解一定要透徹,要熟練掌握相關(guān)運(yùn)算律和運(yùn)算技巧,使運(yùn)算簡(jiǎn)捷明快,正確優(yōu)美.現(xiàn)舉例剖析《有理數(shù)》中的典型錯(cuò)誤,望同學(xué)們引以為戒.

一、有錯(cuò)必糾

1.概念不清

例1最小的非負(fù)整數(shù)是.

【錯(cuò)解】1.

【剖析】非負(fù)整數(shù)是指0和正整數(shù),而絕非“非負(fù)即正”,要吃透非負(fù)整數(shù)的概念方可正確解題.

【正解】0.

【剖析】原因在于對(duì)分?jǐn)?shù)的概念理解不清,錯(cuò)以為分?jǐn)?shù)就是形式上帶有分?jǐn)?shù)線的數(shù),其實(shí),有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是分?jǐn)?shù).

例3絕對(duì)值為3的數(shù)是______.

【錯(cuò)解】3.

【剖析】錯(cuò)因在于對(duì)絕對(duì)值概念理解不清.絕對(duì)值是指數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.不論正、負(fù)數(shù),到原點(diǎn)的距離都可以是3,不能只想到了原點(diǎn)右邊的數(shù)3,而忽略了在原點(diǎn)左邊的-3.

【正解】±3.

例4判斷：-a是負(fù)數(shù).()

【錯(cuò)解】√.

【剖析】-a表示的是a的相反數(shù),其符號(hào)完全取決于a的符號(hào).當(dāng)a是正數(shù)時(shí),-a是負(fù)數(shù);當(dāng)a是負(fù)數(shù)時(shí),-a是正數(shù);當(dāng)a是0時(shí),-a是0.

【正解】×.

例5將數(shù)370000用科學(xué)記數(shù)法表示為_(kāi)_____.

【錯(cuò)解】37×104.

【剖析】科學(xué)記數(shù)法是指將一個(gè)絕對(duì)值大于10的數(shù)寫(xiě)成a×10n的形式,其中1≤|a|＜10,n是正整數(shù).故a=3.7.

【正解】3.7×105.

例6判斷：a+b的相反數(shù)是a-b.()

【錯(cuò)解】√.

【剖析】求代數(shù)式的相反數(shù),必須是將每一項(xiàng)都變?yōu)橄喾磾?shù),a的相反數(shù)是-a,b的相反數(shù)是-b.此題只求出了b的相反數(shù),而忽略了a的相反數(shù).

【正解】×.

例7判斷：符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).

【錯(cuò)解】√.

【剖析】互為相反數(shù)是指“只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)”,其中“只有”指的是除了符號(hào)不同外,其他完全相同.舉反例:-4和+6的符號(hào)不同,但它們并不互為相反數(shù).

【正解】×.

2.考慮不全

例8平方得16的數(shù)是______.

【錯(cuò)解】4.

【剖析】4的平方和-4的平方相等,都為16.

【正解】±4.

例9絕對(duì)值等于本身的數(shù)是,絕對(duì)值等于其相反數(shù)的數(shù)是，相反數(shù)等于本身的數(shù)是，立方等于本身的數(shù)是.

【錯(cuò)解】正數(shù);負(fù)數(shù);不存在;1和0.

【剖析】前兩個(gè)空均遺忘了0,0的絕對(duì)值既是它本身又是它的相反數(shù);對(duì)于第三個(gè)空,不能光知道正數(shù)的相反數(shù)是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的相反數(shù)是正數(shù),還要想到0的相反數(shù)是0本身;對(duì)于最后一空,受過(guò)去的影響只知道0和1的立方均為本身,而忽略了-1的立方也為本身.

【正解】非負(fù)數(shù);非正數(shù);0;±1和0.

例10絕對(duì)值大于2且不大于5的整數(shù)有.

【錯(cuò)解】3,4.

【剖析】有兩個(gè)方面考慮不全造成的錯(cuò)誤.一是未能正確認(rèn)識(shí)“不大于”,“不大于”是指小于或等于;二是沒(méi)考慮到負(fù)整數(shù)的存在.

【正解】±3,±4,±5.

3.運(yùn)算出錯(cuò)

(1)符號(hào)錯(cuò)誤

例11計(jì)算：-6×(-4)-120÷(-15).

【錯(cuò)解】原式=24-8=16.

【剖析】此解將120前面的“-”號(hào)既視為減號(hào),又視為負(fù)號(hào),以致出錯(cuò).應(yīng)當(dāng)注意“-”號(hào)在運(yùn)算中只能當(dāng)作二者中的一種.

【正解】原式=24-(-8)=32.

例12計(jì)算：-32-(-6)-||-3.

【錯(cuò)解】原式=9+6-3=12.

【剖析】此解忽視了-32與(-3)2的區(qū)別,-32表示3的平方的相反數(shù),其結(jié)果為-9,(-3)2表示兩個(gè)-3相乘,其結(jié)果為9.應(yīng)該注意“平方的相反數(shù)”與“相反數(shù)的平方”之間的區(qū)別與聯(lián)系.

【正解】原式=-9+6-3=-6.

(2)順序錯(cuò)誤

例13計(jì)算：-6-(-24)÷(-3).

【錯(cuò)解】原式=-6+24÷(-3)=18÷(-3)=-6.

【剖析】錯(cuò)在違背有理數(shù)的運(yùn)算順序:先乘方,再乘除,最后算加減;有括號(hào)的要先算括號(hào)內(nèi)的;對(duì)同一級(jí)運(yùn)算,要從左至右依次演算(運(yùn)用運(yùn)算律除外).

【正解】原式=-6-8=-14.

【錯(cuò)解】原式=(-2)÷(-2)=1.

【剖析】此解法違背了運(yùn)算順序,乘除為同一級(jí)運(yùn)算,在同級(jí)運(yùn)算中,應(yīng)從左到右依次演算.不能認(rèn)為哪里好算就先算.

(3)濫用公式(運(yùn)算律)

例15計(jì)算：(-5+2)2-9.

【錯(cuò)解】原式=(-5)2+22-9=25+4-9=20.

【剖析】(a+b)2表示兩數(shù)和的平方,而a2+ b2則表示兩數(shù)的平方和,二者不相等,此外(a-b)2與a2-b2也不相等.應(yīng)按照運(yùn)算順序計(jì)算,即有括號(hào)的,應(yīng)先算括號(hào)內(nèi)的.

【正解】原式=(-3)2-9=9-9=0.

例16計(jì)算：［1+(-2)］3.

【錯(cuò)解】原式=13+(-2)3=1+(-8)=-7.

【剖析】(a+b)3表示兩數(shù)和的立方,而a3-b3則表示兩數(shù)的立方差,二者不相等,此外(a-b)3與a3-b3也不相等,應(yīng)按照運(yùn)算順序計(jì)算,即有括號(hào)的,應(yīng)先算括號(hào)內(nèi)的.

正解:原式=(-1)3=-1.

=24-36-48=-60.

【剖析】對(duì)于乘法有分配律a(b+c)=ab+ ac,但除法沒(méi)有分配律,即a÷(b+c)≠a÷b+a÷ c,上述解法錯(cuò)在亂造公式,亂用運(yùn)算律.

以上錯(cuò)誤,究其原因,主要是同學(xué)們對(duì)有理數(shù)的有關(guān)概念不明確,對(duì)運(yùn)算性質(zhì)、運(yùn)算法則不熟所致.因此,在學(xué)習(xí)有理數(shù)時(shí),一定要正確認(rèn)識(shí)相關(guān)概念,不要死記硬背,關(guān)鍵靠的是理解,準(zhǔn)確運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì),熟練使用運(yùn)算法則,提高自己的解題能力.

二、有“法”可依

1.解題習(xí)慣要養(yǎng)成

以上事例可見(jiàn),同學(xué)們解題出現(xiàn)錯(cuò)誤往往是因?yàn)闆](méi)有認(rèn)真審題,沒(méi)有理解題意,沒(méi)有理清運(yùn)算順序而盲目動(dòng)筆.另外,在解題時(shí)很粗心,遺漏運(yùn)算符號(hào)成了“家常便飯”.濫用簡(jiǎn)便算法,不顧運(yùn)算順序,亂用運(yùn)算律.因此在平時(shí)的學(xué)習(xí)中,我們要養(yǎng)成認(rèn)真讀題后再解答的習(xí)慣、細(xì)心答題的習(xí)慣和不盲目使用簡(jiǎn)便運(yùn)算的習(xí)慣.

2.概念、定律要厘清

如從讀法、表示的意義和運(yùn)算結(jié)果上理清“負(fù)數(shù)的乘方”與“乘方的相反數(shù)”二者的區(qū)別與聯(lián)系;從分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)在算乘方時(shí)丟掉括號(hào)就發(fā)現(xiàn)“變味”了感受括號(hào)的作用;從亂造“除法分配律”后發(fā)現(xiàn)和用正常的運(yùn)算順序得出的結(jié)果不相等來(lái)體會(huì)運(yùn)算律絕非想當(dāng)然等.所以,我們要反復(fù)比較,反復(fù)練習(xí),反復(fù)小結(jié).

3.讀題方法要正確

在有理數(shù)運(yùn)算的學(xué)習(xí)中同學(xué)們應(yīng)掌握按意義讀題的方法,不能簡(jiǎn)單地按運(yùn)算符號(hào)從左讀到右.若讀法不正確,就很難理清運(yùn)算順序,從而出錯(cuò).

4.錯(cuò)誤成因要反思

養(yǎng)成用好“錯(cuò)題集”的習(xí)慣,不斷反思,避免類似的錯(cuò)誤再出現(xiàn).也可以展開(kāi)小組“互查互糾”的活動(dòng),從而讓自己對(duì)錯(cuò)誤的類型、原因有深刻的認(rèn)識(shí),并悟出克服錯(cuò)誤的方法.

5.運(yùn)算意義要實(shí)際

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活,平時(shí)在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中認(rèn)識(shí)有理數(shù)運(yùn)算的價(jià)值,同時(shí)多查閱相關(guān)資料,你會(huì)發(fā)現(xiàn)有理數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤給生活造成的嚴(yán)重后果或荒謬現(xiàn)象,從而增強(qiáng)正確進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算的自覺(jué)性與責(zé)任心.

(作者單位：江蘇省南京師范大學(xué)第二附屬初級(jí)中學(xué))