北京市第十二中學(xué)高中部 (100071)

劉 剛 趙 毅

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一道高考模擬試題的探究

北京市第十二中學(xué)高中部 (100071)

劉 剛 趙 毅

1.試題

試題以單位圓、等腰直角三角形等基本圖形為背景考查了線段長度最值問題．為了揭示題目的本質(zhì)特點(diǎn)，不給學(xué)生增加討論的煩惱，題目規(guī)定了點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，體現(xiàn)了人性化、大氣、不在細(xì)枝末葉上糾纏的命題理念．試題解法多樣，綜合性強(qiáng)，可謂是內(nèi)涵豐富，精彩紛呈，是一道好題．

2.解法

思路一：數(shù)形結(jié)合法

在問題解決的過程中，表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)至關(guān)重要．由于試題中涉及到了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B，C，這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)存在一定的關(guān)系，所以可以通過設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)來表示點(diǎn)C的坐標(biāo)，借助點(diǎn)B的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系求線段最值．也可以設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)進(jìn)一步表示點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用點(diǎn)B在已知曲線上找出點(diǎn)C坐標(biāo)所滿足的關(guān)系從而求最值．

圖1

點(diǎn)評(píng):在得出點(diǎn)C坐標(biāo)后，可以結(jié)合坐標(biāo)判斷出點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)(2,2)為圓心，半徑為1的右半圓，然后再從圖形的角度求最值會(huì)更簡單．

點(diǎn)評(píng):導(dǎo)數(shù)是研究較復(fù)雜函數(shù)最值有利的工具，在應(yīng)用時(shí)注意函數(shù)的定義域以及比較導(dǎo)數(shù)為0時(shí)的函數(shù)值與端點(diǎn)函數(shù)值的大?。?/p>

圖2

點(diǎn)評(píng):在涉及用距離和角表示點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可以用極坐標(biāo)，這樣更加簡潔．當(dāng)然要注意極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，這樣才能取得更好的效果．

思路二:幾何法

本題除了用數(shù)形結(jié)合法以外，還可以結(jié)合圖形特點(diǎn)用幾何法進(jìn)行求解．通過構(gòu)造全等三角形或相似三角形判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，從而利用圖形直接求最值．這種方法過程簡捷，深刻揭示了問題的本質(zhì)．

圖3

點(diǎn)評(píng):由于本題是一道動(dòng)態(tài)問題，所以先判斷點(diǎn)B在特殊位置時(shí)點(diǎn)C的位置，通過分析圖形特點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形得到了點(diǎn)C的軌跡，從而求出了最值．

圖4

點(diǎn)評(píng):通過構(gòu)造相似三角形，把求OC長最值問題轉(zhuǎn)化為了求AD長的最值問題，借助點(diǎn)D的軌跡進(jìn)行求解．

3 推廣

由特殊到一般，將問題推廣，可以得到如下結(jié)論．

圖5

圖6