江蘇省濱海中學(xué) (224500)

李 蕾

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只要有夢(mèng)，天空終究會(huì)是藍(lán)色的
——談一節(jié)“不等式二輪復(fù)習(xí)課”

江蘇省濱海中學(xué) (224500)

李 蕾

最近，筆者在一節(jié)二輪復(fù)習(xí)課上與學(xué)生一起分析解決了一道高考題的壓軸題，受益匪淺，整理成文與各位讀者分享.

一、題目再現(xiàn)

此題為2014遼寧卷第16題，填空題的壓軸題，屬于難題.命題意圖：主要考察不等式的綜合應(yīng)用，函數(shù)與方程的思想，并考察學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)思維能力.

二、錯(cuò)解展示

該學(xué)生做完之后，筆者先是一愣，原因有二：一是學(xué)生給出的方法比較簡潔且自然，完全出乎我的意外；二是得到的結(jié)果和參考答案不一樣.筆者知道，學(xué)生的解法估計(jì)是有問題的，可問題出在哪里呢？

三、錯(cuò)因分析

筆者先和學(xué)生一起來分析題目，分析學(xué)生的解決過程.

筆者提問：要解決這個(gè)問題我們可以分幾步來完成呢？

筆者：很好：那黑板上的過程哪些是第一步，哪些是第二步呢？學(xué)生很快給出答案.

“那你覺得他的每一步過程是不是都對(duì)呢？”筆者追問.

(筆者提示：對(duì)于給定常數(shù)c>0，告訴你a,b的關(guān)系(a,b都是變量)，要求|2a+b|的最大值，其最大值能含有a嗎？

學(xué)生恍然大悟，發(fā)現(xiàn)那位同學(xué)的過程中|2a+b|的最大值3a2+c不是定值，可能存在問題，從而答案也就有可能不對(duì)了.要解決問題首先就要去解決第一步：對(duì)于任何給定的常數(shù)c>0，已知4a2-2ab+4b2=c，如何求|2a+b|的最大值(筆者提示：請(qǐng)大家回憶，以前處理二元函數(shù)的最值問題都有哪些方法呢？)筆者又給學(xué)生幾分鐘思考時(shí)間.

四、展翅飛翔

沒一會(huì)一位學(xué)生就站起來說：老師，我們可以設(shè)2a+b=t，將b=t-2a代入到原方程中，利用關(guān)于a的一元二次方程有解，其判別式大于等于零來解決.

筆者給予充分肯定：很好!這種方法是我們處理二元函數(shù)的最值，特別是看不出目標(biāo)函數(shù)和已知條件的關(guān)系時(shí)，經(jīng)常使用的方法，下面請(qǐng)大家嘗試一下.

沒過幾分鐘，大家就整理完善出如下方法：

筆者進(jìn)一步提問：處理二元函數(shù)的最值，我們還有別的方法嗎？學(xué)生說消元和基本不等式.但此題消元的確比較難以分離開兩個(gè)變量，那么基本不等式能解嗎？第一位同學(xué)其實(shí)就是使用基本不等式處理的，可惜的是最值跟a有關(guān)(不是定值)，那我們能不能改進(jìn)呢？學(xué)生們又開始積極地思考.

沒過多久，一位學(xué)生說老師不知這樣的對(duì)不對(duì)，筆者讓其展示其過程，如下：

以下解法同前.

全班學(xué)生剛開始是驚嘆，隨后便開始鼓掌.筆者對(duì)這兩種使用基本不等式的方法給予充分肯定，并總結(jié)：前幾位同學(xué)都抓住了2a+b這一整體結(jié)構(gòu)，這也是我們平時(shí)強(qiáng)調(diào)的：結(jié)構(gòu)決定解法.也是使用基本不等式最關(guān)鍵的地方.

當(dāng)筆者讓學(xué)生們仔細(xì)體會(huì)以上幾種解法時(shí)，一位女生膽顫心驚地說：老師，我們覺得處理二元函數(shù)的最值問題，有時(shí)還可以從規(guī)劃問題入手抓住幾何意義去解決.我的解法不知道對(duì)不對(duì)？筆者眼前一亮，那你將你的解法和大家分享一下，該同學(xué)將解法投影展示如下：

以下同前，又是一片掌聲.

五、教者點(diǎn)評(píng)

課堂的最后，教者進(jìn)行了總結(jié)點(diǎn)評(píng)：

首先處理問題時(shí)，必須分析轉(zhuǎn)化問題，尋找問題的本質(zhì).(此題即求2a+b二元函數(shù)的最值)

其次，處理問題時(shí)，不能慌張.我們應(yīng)該回顧以前處理此類問題時(shí)常用的方法，如此題求二元函數(shù)的最值，常見方法有：消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)、基本不等式、規(guī)劃問題，轉(zhuǎn)化為方程有解等方法.此題課堂上除了消元沒有找出合適的方法以外，其它的方法都可以使用.

最后筆者總結(jié)：不管白貓、黑貓，抓到老鼠就是好貓.

六、結(jié)束語

筆者認(rèn)為所謂的高效課堂應(yīng)該是能夠讓學(xué)生的思維充分暴露、展示學(xué)生自我的課堂.每一個(gè)老師都應(yīng)該致力于如何讓學(xué)生的思維能夠展翅飛翔.筆者覺得可以從以下幾點(diǎn)入手，供大家參考指正.

(1)利用好學(xué)生的方法過程，哪怕是錯(cuò)誤的方法也有值得肯定的地方，要有這樣的信念：也許下一步就是正確的.

(2)偶爾可以嘗試不備課就去上一節(jié)課，將自己的思維充分展示給學(xué)生，也將學(xué)生的思維暴露給大家，從而培養(yǎng)學(xué)生的綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng).

(3)教者應(yīng)該利用好的題目去引導(dǎo)學(xué)生自己去體會(huì)探究、分析、解決問題的過程，教師有時(shí)甚至可以做一個(gè)旁觀者，只需為他們鼓掌喝彩就夠了.

總之，數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)非一朝一夕，但只要有夢(mèng)，天空終究會(huì)是藍(lán)色的.