四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100)

余小芬 劉成龍

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對2016年四川卷高考理科10題的研究

四川省內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100)

余小芬 劉成龍

2016年是四川省高考自主命題的最后一年，2017年將回歸全國統(tǒng)一命題．基于此背景，2016年四川卷的總體特點(diǎn)是：“穩(wěn)定不乏新穎，平和不掩亮點(diǎn)”．整張試卷在平穩(wěn)過渡的同時，涌現(xiàn)了一大批優(yōu)秀試題，比如：理科第5題、6題、10題、15題、18題、19題、21題等等．這些優(yōu)秀試題不僅具有良好的測評功能，而且是研究的良好素材．本文僅對理科10題進(jìn)行研究，權(quán)作拋磚引玉！

該題是四川卷選擇題中的壓軸題，具有構(gòu)思巧妙、背景公平、形式新穎、內(nèi)涵豐富等特點(diǎn)，是四川卷中的亮點(diǎn)題．下文從試題立意、試題背景、試題解法、試題推廣、試題改編五個視角對該題進(jìn)行研究．

1.試題立意

試題立意是指試題的考查目的．命題者基于考查目的，選擇適當(dāng)?shù)目疾閮?nèi)容、擬定恰當(dāng)?shù)目疾樾问?、設(shè)置合理的數(shù)學(xué)問題．把握試題的立意不僅是透過題目表層意義把握試題本質(zhì)的過程，更是再現(xiàn)命題者思維智慧的過程．下面從考查基礎(chǔ)知識、考查思想方法、考查能力素質(zhì)三個方面分析該題的立意．

第一、以考查基礎(chǔ)知識立意．本題以平面向量的基本概念、線性運(yùn)算、數(shù)量積、垂心、外心的向量表示以及點(diǎn)的運(yùn)動軌跡等基礎(chǔ)知識為考查內(nèi)容．

第二、以考查思想方法立意．本題考查了數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．解答本題，首先需要把題目中信息轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的幾何圖形，再把最大值問題轉(zhuǎn)化為熟悉的三點(diǎn)共線問題或向量共線或三角問題或條件最值問題．

第三、以考查能力素質(zhì)立意．本題考查了考生思維能力、運(yùn)算能力、推理能力．解答本題需要經(jīng)歷兩個環(huán)節(jié)：

第一環(huán)節(jié) 首先需要通過推理得到D為外心和垂心，進(jìn)而得到ΔABC是等邊三角形，這是解答試題的難點(diǎn)；其次根據(jù)題意畫出幾何圖形，這是解答試題的關(guān)鍵點(diǎn)；最后通過運(yùn)算得到ΔABC的邊長．

第二環(huán)節(jié) 根據(jù)圖形擬定恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙獯鸬闹攸c(diǎn)．試題求最值的解答思路很多，比如向量法，三角函數(shù)法，柯西不等式法等，但數(shù)學(xué)思維能力較強(qiáng)的學(xué)生，直接基于三點(diǎn)共線可輕松解答，真正做到“多想少算”．

2.試題背景

試題背景指命題時試題取材的背景．試題背景引領(lǐng)試題編擬的方向，凸顯試題的立意．研究試題背景，可以準(zhǔn)確把握試題的本質(zhì)、認(rèn)識試題的情景、理解試題的設(shè)問、拓寬試題的解法、加強(qiáng)試題的拓展．常見的試題背景有教材背景、現(xiàn)實(shí)背景、高考數(shù)學(xué)背景、高等數(shù)學(xué)背景、競賽數(shù)學(xué)背景、數(shù)學(xué)史背景等等．下面重點(diǎn)分析該題的教材背景．

教材背景1 源于教材習(xí)題

源于人教版《高中數(shù)學(xué)》必修4第二章《平面向量》復(fù)習(xí)參考題B組第5題、第8題(120頁)：

教材背景2 源于教材例題

源于人教版《高中數(shù)學(xué)》必修2第四章《圓的方程》例5(122頁)：

例5 已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y=4上運(yùn)動，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

圖1 圖2

3.試題解法

試題的解法研究是研究高考試題的主要形式和重要內(nèi)容．解法研究的主要方法有一題多解、多題一解等等．其中，一題多解指從不同視角對同一問題進(jìn)行分析進(jìn)而得到多種解答方法．通過對解法間共性與差異的把握，既能讓學(xué)生認(rèn)識問題的本質(zhì)，又能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維．

解法研究的首要環(huán)節(jié)是理解題目(波利亞語)．具體來講，解題者應(yīng)該搞清楚“未知量是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？已知條件是什么？已知條件能推出哪些結(jié)論.”

題設(shè)條件推出的信息：

(1)?①D為ΔABC外心；

(3)?P在以為A圓心, 半徑為1的圓周上.

(4)?M為CP的中點(diǎn)．

對以上信息進(jìn)行加工處理，可以得到與題意相匹配的幾何圖形(圖2)，下面從不同的視角給出該題的多種解答．

視角1 平面幾何的視角

視角2 向量的視角

視角3 解析法的視角

4.試題推廣

試題推廣是指通過變式把已有試題變成更一般的試題．試題推廣有利于完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)．試題推廣的方法有：增加元的個數(shù)、提升元的次數(shù)，數(shù)字字母化，結(jié)論一般化等等．

試題推廣 在平面內(nèi)，定點(diǎn)A,B,C,D滿足

點(diǎn)評：把10題中的數(shù)字字母化，得到了比10題更一般的結(jié)論．

5.試題改編

試題改編是研究高考試題的重要方式．試題改編有利于深化對問題的本質(zhì)認(rèn)識，有利于實(shí)現(xiàn)解法的遷移．試題改編的基本方式有：變換試題背景、強(qiáng)化或弱化已知條件、改變設(shè)問方式等等．

令cosθ=t(t∈[-1,1])，故

至此，筆者從5個角度對四川卷理科第10題進(jìn)行了深入研究，希望有興趣的老師們繼續(xù)前行！

[1]趙思林．高考數(shù)學(xué)解題分析[M]．四川：四川大學(xué)出版社2011．

[2]劉成龍，余小芬．研究高考試題的幾點(diǎn)方法[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)，2008,9．