羅自榮，楊 政，尚建忠，于乃輝，曹玉君

(1.國(guó)防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073； 2.北京信息高技術(shù)研究所， 北京 100095)

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含軸間距誤差的消隙齒輪剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真*

羅自榮1，楊 政2，尚建忠1，于乃輝1，曹玉君1

(1.國(guó)防科技大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院， 湖南 長(zhǎng)沙 410073； 2.北京信息高技術(shù)研究所， 北京 100095)

軸間距誤差對(duì)消隙齒輪精度和性能有重要影響，但其機(jī)理和規(guī)律并不清楚?；诮佑|碰撞力約束關(guān)系建立齒輪接觸動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)一步利用ADAMS/Flex 建立單級(jí)消隙齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的剛?cè)狁詈夏Ｐ?，通過(guò)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)仿真研究消隙齒輪傳動(dòng)在不同軸間距制造誤差條件下的振動(dòng)及頻率特性。研究發(fā)現(xiàn)：隨著軸間距的減小，扭簧的平均力矩增大，齒輪齒面間的嚙合力矩以及摩擦力矩也將增大，從而阻礙扭矩的正常傳遞，并導(dǎo)致固定齒輪轉(zhuǎn)速幅值降低；隨著軸間距的增大，固定齒輪主諧振頻率整體上降低，而且在軸間距稍大于標(biāo)準(zhǔn)中心距時(shí)降低很快。這一發(fā)現(xiàn)可指導(dǎo)消隙齒輪傳動(dòng)的設(shè)計(jì)和裝配。

消隙齒輪；裝配參數(shù)；動(dòng)力學(xué)；剛?cè)狁詈?/p>

消隙齒輪機(jī)構(gòu)是一種精密傳動(dòng)裝置，既可消除齒輪本身誤差引起的齒隙，也可消除由溫度變化而引起的空程[1-2]。因此，消隙齒輪機(jī)構(gòu)在工業(yè)機(jī)器人[3]、精密伺服機(jī)構(gòu)[4-6]、雷達(dá)天線[7-9]、慣性穩(wěn)定平臺(tái)[10-11]等精密工程領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

消隙齒輪機(jī)構(gòu)通常工作在頻繁啟動(dòng)、制動(dòng)、正反轉(zhuǎn)的載荷環(huán)境下，要求其具有高速、高精度、高穩(wěn)定性的動(dòng)力學(xué)特性。然而，目前大部分有關(guān)消隙齒輪的研究主要停留在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)計(jì)算、傳動(dòng)精度及動(dòng)力學(xué)層面，少有研究考慮其制造誤差對(duì)其精度和性能的影響。石輝[12]列舉了常用彈簧加載雙片齒輪的結(jié)構(gòu)形式，建立了多種彈簧的力學(xué)模型并推導(dǎo)出彈性力矩及相關(guān)參數(shù)的計(jì)算公式；馬伯淵等[13]從靜力學(xué)的角度分析了彈簧消隙齒輪的受力情況，敘述了殘余回差的產(chǎn)生原因，并對(duì)某傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中彈簧消隙齒輪傳動(dòng)鏈的回程誤差進(jìn)行了分析估算；Shim等[14]將雙片齒輪消隙系統(tǒng)用于一種農(nóng)用拖拉機(jī)上以降低其動(dòng)力輸出端(Power Take Off, PTO)的噪聲，利用經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證過(guò)的仿真模型分析PTO的振動(dòng)與噪聲，表明雙片齒輪消隙系統(tǒng)對(duì)PTO有很好的降噪作用；李國(guó)民[9]建立了雙片齒輪的扭振動(dòng)力學(xué)簡(jiǎn)化模型，對(duì)雙片齒輪固有頻率進(jìn)行了分析計(jì)算；Naoki等[3]提出了一種具有消隙齒輪傳動(dòng)關(guān)節(jié)的工業(yè)機(jī)器手臂控制方法，建立了一種具有三段柔性連接特性(three segment flexible joint characteristic)的消隙齒輪近似剛度模型，并對(duì)特性曲線進(jìn)行了光滑處理； Kwon等[6]建立了含摩擦的消隙齒輪伺服機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型，其中消隙齒輪剛度模型同樣用典型的三段柔性連接曲線表示；Allan等[15]提出了一種計(jì)算消隙彈簧最小預(yù)緊力矩的方法，建立了不考慮時(shí)變嚙合剛度的多剛體系統(tǒng)扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

楊政等研究發(fā)現(xiàn)裝配工藝參數(shù)對(duì)其精度和性能有重要影響[16-19]，然而，建立包含裝配參數(shù)的動(dòng)力學(xué)理論模型非常困難。軸間距誤差是齒輪傳動(dòng)一種典型的制造誤差，其對(duì)消隙精度和動(dòng)力學(xué)特性影響機(jī)理和規(guī)律并不清楚，因此，擬建立雙片消隙齒輪的接觸動(dòng)力學(xué)模型和剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，通過(guò)動(dòng)力學(xué)仿真研究消隙齒輪傳動(dòng)不同軸間距制造誤差條件下的振動(dòng)及頻率特性。

1 雙片消隙齒輪接觸碰撞動(dòng)力學(xué)建模

雙片齒輪消隙機(jī)構(gòu)的三維模型如圖1(a)所示，原理如圖1(b)所示。

(a) 三維模型(a) 3D model

(b) 工作原理圖(b) Working principle圖1 消隙齒輪機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.1 Structure parameters of anti-backlash gear mechanism

g1為主動(dòng)齒輪，同時(shí)與齒輪g2和g3嚙合。g2為齒輪軸又稱固定齒輪，g3為空套在軸上的浮動(dòng)齒輪，又稱為加載齒輪。加載齒輪和固定齒輪之間加一根扭簧，當(dāng)兩片齒輪相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)一定齒數(shù)后，扭簧拉緊，然后將雙片齒輪與主動(dòng)齒輪嚙合。由于扭簧的作用，固定齒輪和加載齒輪的輪齒分別與主動(dòng)齒輪輪齒的兩個(gè)側(cè)面接觸。當(dāng)主動(dòng)齒輪順時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，它與固定齒輪嚙合，加載齒輪則由于彈簧的作用，緊貼著主動(dòng)齒輪的非工作側(cè)面，當(dāng)主動(dòng)齒輪逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，立刻與加載齒輪嚙合，達(dá)到了消隙的效果，提高了傳動(dòng)精度。

主動(dòng)齒輪與固定齒輪、加載齒輪的動(dòng)力學(xué)關(guān)系定義為基于接觸碰撞的力約束關(guān)系，即齒輪之間只能通過(guò)接觸碰撞力(法向)和摩擦力(切向)相互約束，而不存在其他的約束關(guān)系。

各嚙合齒輪輪齒之間的接觸碰撞采用Impact函數(shù)來(lái)計(jì)算接觸碰撞力，將實(shí)際中物體的碰撞過(guò)程等效為基于穿透深度的非線性彈簧-阻尼模型，其計(jì)算表達(dá)式為：

(1)

齒輪之間的接觸狀態(tài)判斷條件為：當(dāng)x>x1時(shí)，兩齒輪不發(fā)生接觸，接觸力為0；當(dāng)x

1.1 彈性力

彈性力表達(dá)式為K(x1-x)n，相當(dāng)于一個(gè)非線性彈簧，彈性力分量中最主要的參數(shù)是接觸剛度系數(shù)K。接觸剛度系數(shù)與齒輪的材料屬性和接觸表面的幾何形狀有關(guān)，文獻(xiàn)[20]提供了接觸剛度計(jì)算式來(lái)計(jì)算各齒輪嚙合的齒廓面接觸剛度，即：

(2)

式中，R1，R2分別為相嚙合的兩齒廓面在嚙合點(diǎn)處的曲率半徑。對(duì)于漸開(kāi)線齒輪，嚙合點(diǎn)在齒廓面上的位置是不斷變化的，其曲率半徑也時(shí)刻在變化，以兩輪齒在嚙合節(jié)點(diǎn)處嚙合作為計(jì)算點(diǎn)，則：

(3)

式中，m為模數(shù)，z為嚙合齒輪的齒數(shù)，α為節(jié)圓壓力角；h1，h2分別為材料參數(shù)，計(jì)算公式為：

(4)

式中，v為泊松比，E為彈性模量。

1.2 阻尼力

齒輪嚙合中的輪齒嚙合接觸阻尼系數(shù)一般采用非線性阻尼模型來(lái)計(jì)算，該模型認(rèn)為齒輪表面接觸-碰撞過(guò)程中的能量損失是由接觸阻尼引起的，計(jì)算式為：

(5)

式中：e為彈性恢復(fù)系數(shù)，定義為接觸前法向速度差與接觸后法向速度差的比，跟齒輪的材料、碰撞表面曲率半徑、碰撞速度以及潤(rùn)滑介質(zhì)的黏度有關(guān)，一般通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定；δ為穿透深度；n為非線性指數(shù)；U為碰撞速度，以相嚙合的兩個(gè)齒輪在節(jié)點(diǎn)處的線速度的差值代替。

圖2 碰撞過(guò)程中的阻尼變化曲線Fig.2 Damping variation during collision process

1.3 摩擦力

接觸齒輪之間的摩擦力一般采用庫(kù)侖摩擦模型，摩擦力的函數(shù)表達(dá)式為：

f=-N·step(v,-Vs,-1,Vs,1)·step(|v|,Vs,Cs,Vt,Cd)

(6)

式中：N為法向力；v為表面相對(duì)滑移速度；Vs為最大靜摩擦對(duì)應(yīng)的相對(duì)滑移速度；Cs為靜摩擦系數(shù)；Vt為動(dòng)摩擦對(duì)應(yīng)的相對(duì)滑移速度；Cd為動(dòng)摩擦系數(shù)。

2 消隙齒輪剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)建模

在基于接觸碰撞力約束關(guān)系的齒輪動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，擬結(jié)合柔性體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論，利用ADAMS/Flex有限元分析軟件對(duì)消隙齒輪剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)建模與動(dòng)態(tài)特性分析。其中軸承支撐采用剛性連接，其余部件包括傳動(dòng)軸、主動(dòng)齒輪、固定齒輪以及加載齒輪均為柔性有限元模型，建立的剛?cè)狁詈夏Ｐ腿鐖D3所示。

圖3 剛?cè)狁詈夏Ｐ虵ig.3 Rigid-flexible coupling model

ADAMS/Flex是ADAMS軟件包中的一個(gè)集成可選模塊，提供了與ANSYS，MSC/NASTRAN，ABAQUS，I-DEAS等軟件的接口，可以方便地考慮零部件的彈性特性，建立多體動(dòng)力學(xué)模型，以提高系統(tǒng)仿真的精度。

2.1 齒輪傳動(dòng)軸柔性有限元建模

齒輪傳動(dòng)軸采用柔性梁連接法，該方法將傳動(dòng)軸離散為小剛性構(gòu)件，小剛性構(gòu)件之間通過(guò)柔性梁連接。傳動(dòng)軸離散柔性連接件的變形是柔性梁連接的變形，并不是小剛性構(gòu)件的變形，小剛性構(gòu)件的任意兩點(diǎn)不能產(chǎn)生相對(duì)位移，所以離散柔性連接件本質(zhì)還是在剛性構(gòu)件的范疇內(nèi)。

該方法的優(yōu)點(diǎn)在于，建立的柔性體可以模擬齒輪傳動(dòng)軸的非線性變形，可以直接幫助用戶計(jì)算傳動(dòng)軸橫截面的屬性，比直接使用柔性梁連接將兩個(gè)構(gòu)件連接起來(lái)方便。

2.2 齒輪柔性有限元建模

齒輪建模采用模態(tài)中性文件法，該方法是利用其他有限元分析軟件將齒輪離散成細(xì)小的網(wǎng)格進(jìn)行模態(tài)計(jì)算，將計(jì)算的模態(tài)保存為模態(tài)中性文件(Modal Neutral File，MNF)直接讀取到ADAMS中建立柔性體。

計(jì)算MNF的有限元軟件有ANSYS，NASTRAN，I-DEAS以及ABAQUS等，在此采用ANSYS計(jì)算齒輪的MNF。計(jì)算得到的齒輪模態(tài)是構(gòu)件自身的一個(gè)物理屬性，齒輪有限元模型的各個(gè)節(jié)點(diǎn)有一定的自由度，所有節(jié)點(diǎn)自由度的和就構(gòu)成了齒輪有限元模型的自由度，該有限元模型有多少個(gè)自由度，齒輪就有多少階模態(tài)。由于采用的是模態(tài)線性疊加來(lái)模擬齒輪變形，因此模態(tài)式柔性體適用于線性結(jié)構(gòu)的受力行為。

3 軸間距對(duì)消隙齒輪動(dòng)力學(xué)的影響

引起齒輪的軸間距誤差的元素較多，包括齒輪偏心量、軸的柔性變形量、軸承游隙以及中心距偏差等。軸間距誤差是影響消隙齒輪精度和動(dòng)力學(xué)性能的主要因素之一，但其影響精度和性能的機(jī)理和規(guī)律并不清楚。以下基于建立的消隙齒輪剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，通過(guò)動(dòng)力學(xué)仿真研究消隙齒輪傳動(dòng)不同軸間距制造誤差條件下的振動(dòng)及頻率特性。各仿真參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

3.1 軸間距對(duì)扭簧預(yù)緊力的影響

圖4為軸間距對(duì)扭簧預(yù)緊力的影響情況，可以看出，軸間距對(duì)扭簧預(yù)緊力的影響較大，在軸間距為最小值17.8 mm時(shí)，扭簧的平均扭矩為6378.32 N·mm，當(dāng)軸間距增大到18.5 mm時(shí)，扭簧的平均力矩減小到183.46 N·mm?？梢?jiàn)，隨著軸間距增大，扭簧的平均力矩持續(xù)減小。

圖4 軸間距對(duì)扭簧預(yù)緊力的影響Fig.4 Influence of shaft distance on the torsion spring preload

圖5(a)～(c)為齒輪的嚙合情況，可見(jiàn)，隨著中心距的增大，消隙扭簧在初始預(yù)緊力的作用下，固定齒輪與加載齒輪發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，兩輪齒始終與主動(dòng)齒輪的側(cè)齒面保持嚙合，表明軸間距并不影響消隙齒輪的靜態(tài)傳動(dòng)精度。

(a) 軸間距17.8 mm(a) The shaft distance is 17.8mm

(b) 軸間距18.0 mm(b) The shaft distance is 18.0 mm

(c) 軸間距18.5 mm(c) The shaft distance is 18.5mm圖5 不同軸間距時(shí)消隙齒輪的嚙合狀態(tài)Fig.5 Mesh state of anti-backlash gear with variation of shaft distance

圖6為掃頻激勵(lì)過(guò)程中軸間距與固定齒輪轉(zhuǎn)速RMS的變化曲線，可以看出，隨著軸間距的增加，固定齒輪轉(zhuǎn)速RMS也不斷增加，并且當(dāng)軸間距大于標(biāo)準(zhǔn)中心距時(shí)，固定齒輪轉(zhuǎn)速RMS值迅速增加，直至接近輪齒脫離。對(duì)照?qǐng)D5，可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，當(dāng)軸間距很小時(shí)，如圖5(a)所示，消隙齒輪副兩齒輪嚙合較深入，當(dāng)有外部驅(qū)動(dòng)時(shí)，兩齒輪由于齒側(cè)間隙變小無(wú)法正常嚙合運(yùn)轉(zhuǎn)產(chǎn)生“卡死”的狀態(tài)，所以轉(zhuǎn)速無(wú)法起來(lái)。

圖7為軸間距與齒輪嚙合力的變化關(guān)系，由圖可知，隨著軸間距的減小，齒輪齒面間的嚙合力矩逐漸增大，由于嚙合力矩的增大而導(dǎo)致摩擦力矩同時(shí)增大，阻礙了扭矩的正常傳遞，因此，導(dǎo)致固定齒輪轉(zhuǎn)速幅值降低，“卡死”導(dǎo)致齒面間的接觸嚙合力增大。

圖6 固定齒輪轉(zhuǎn)速RMS隨軸間距的變化曲線Fig.6 Change of fixed gear speed with shaft distance

圖7 齒輪副嚙合力隨軸間距的變化曲線Fig.7 Change of mesh force with shaft distance

3.2 軸間距對(duì)諧振頻率的影響

圖8為固定齒輪主諧振頻率隨軸間距的變化曲線，可以看出，隨著軸間距的增大，固定齒輪主諧振頻率整體上是降低的，諧振頻率從524 Hz降低到344 Hz，而且在軸間距稍大于標(biāo)準(zhǔn)中心距時(shí)降低很快，如軸間距為18.1 mm到18.3 mm之間。

為了更深入研究軸間距對(duì)系統(tǒng)頻率特性的影響，本節(jié)統(tǒng)計(jì)出8組不同軸間距下，輸出軸端對(duì)應(yīng)的三階諧振頻率值，并繪制出如圖9所示的輸出軸諧振頻率隨軸間距的變化曲線。從圖中可以看出，隨著軸間距的增加，輸出軸的各階諧振頻率不斷下降，并且幅度很大，就一階諧振頻率來(lái)看，從最高的458.9 Hz下降到49.4 Hz。究其原因：隨著軸間距的不斷增大，扭簧預(yù)緊力減小，輪齒間接觸貫穿深度減小，同時(shí)，接觸面積減小，根據(jù)接觸剛度分形理論，齒輪嚙合接觸剛度也變小，因此導(dǎo)致諧振頻率降低。

圖8 固定齒輪主諧振頻率隨軸間距的變化曲線Fig.8 Change of fixed gear resonance frequency with shaft distance

圖9 輸出軸諧振頻率隨軸間距的變化曲線Fig.9 Change of output shaft resonance frequency with shaft distance

4 結(jié)論

建立了單級(jí)消隙齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的接觸動(dòng)力學(xué)模型和基于ADAMS/Flex的剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)模型，通過(guò)動(dòng)力學(xué)仿真研究了消隙齒輪傳動(dòng)在不同軸間距制造誤差條件下的振動(dòng)及頻率特性，研究表明，軸間距并不影響消隙齒輪的嚙合狀態(tài)和靜態(tài)傳動(dòng)精度；但軸間距對(duì)消隙齒輪的動(dòng)力學(xué)特性有重要影響，減少的軸間距會(huì)增加齒輪齒面間的嚙合力矩以及摩擦力矩，阻礙扭矩的正常傳遞；軸間距增大，將降低固定齒輪的主諧振頻率，且在軸間距稍大于標(biāo)準(zhǔn)中心距時(shí)降低很快。上述發(fā)現(xiàn)對(duì)消隙齒輪傳動(dòng)的設(shè)計(jì)、裝配和使用具有指導(dǎo)意義和借鑒作用。

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Rigid-flexible coupling dynamics simulation of anti-backlash gear considering shaft distance errors

LUO Zirong1, YANG Zheng2, SHANG Jianzhong1, YU Naihui1, CAO Yujun1

(1. College of Mechatronics and Automation, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China;2. Beijing Institute of Information High Technology, Beijing 100095, China)

It is widely recognized that the shaft distance errors have vital effect on the accuracy and performance of anti-backlash gear transmission system. However，the essential mechanism and property is still undiscovered. Based on the contact constrained dynamics model of anti-backlash gear transmission system，the rigid-flexible coupling dynamics model of anti-backlash gear transmission system was established by adopting the ADAM/ Flex. Then，the rigid-flexible coupling dynamics simulation was carried out to study the vibration and frequency characteristics of the anti-backlash gear transmission system with different shaft distance errors. It is discovered that the spring torque，contact force and the friction torque will increase with the decrease of shaft distance，which will hamper the normal motion of the active gear and reduce the magnitude of rotation speed of the fixed shaft ; the main frequency of the main shaft will decrease with the increase of shaft distance，and the decrease will be sharper when the shaft distance is a little more larger than the standard centre distance. These discoveries will be helpful in the design and assembly of anti-backlash system.

anti-backlash gear; assembly parameters; dynamics; rigid-flexible coupling

10.11887/j.cn.201605027

http://journal.nudt.edu.cn

2015-06-24

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51175505)

羅自榮(1974—)，男，湖南邵陽(yáng)人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，E-mail：luozirong@nudt.edu.cn

TP242

A

1001-2486(2016)05-170-06