安宗文，白學(xué)宗，高建雄

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州 730050)

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基于廣義σ-N曲面的剩余壽命預(yù)測模型

安宗文，白學(xué)宗，高建雄

(蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州 730050)

為研究隨機(jī)載荷作用下結(jié)構(gòu)剩余壽命的變化規(guī)律，首先從載荷作用的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義出發(fā)，根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量(最大順序統(tǒng)計(jì)量和最小順序統(tǒng)計(jì)量)的性質(zhì)，得到最大應(yīng)力與最小應(yīng)力的聯(lián)合概率分布函數(shù)；然后以廣義σ-N曲面方程為基礎(chǔ)，考慮載荷作用次數(shù)對疲勞壽命的影響，建立了最小應(yīng)力、最大應(yīng)力和剩余壽命之間的關(guān)系式，即σmin(n)-σmax(n)-Nr(n)曲面模型；最后通過具體工程實(shí)例對所建模型的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證和分析。結(jié)果表明：該模型能夠有效反映最大應(yīng)力和最小應(yīng)力共同影響下結(jié)構(gòu)剩余壽命隨載荷作用次數(shù)的變化規(guī)律，為結(jié)構(gòu)的壽命預(yù)測及可靠性評估提供了理論依據(jù)。

概率分布；疲勞；剩余壽命；σ-N曲面；順序統(tǒng)計(jì)量；可靠性

疲勞破壞是工程結(jié)構(gòu)和機(jī)械設(shè)備常見的失效形式之一。據(jù)統(tǒng)計(jì)，在各種機(jī)械結(jié)構(gòu)的破壞中，疲勞破壞占50%～90%[1]。隨著機(jī)械設(shè)備向大型化、復(fù)雜化和高溫、高速使用環(huán)境的方向發(fā)展，由疲勞破壞而引發(fā)的斷裂失效事故更是層出不窮。因此，為防止災(zāi)難性破壞事故的發(fā)生，關(guān)于疲勞破壞問題的研究引起了極大關(guān)注，其中重點(diǎn)為疲勞壽命預(yù)測[2-4]。

名義應(yīng)力法是最早被提出并使用的抗疲勞設(shè)計(jì)方法，它以材料或結(jié)構(gòu)的σ-N曲線為基礎(chǔ)，根據(jù)結(jié)構(gòu)危險(xiǎn)部位的應(yīng)力集中系數(shù)及名義應(yīng)力，運(yùn)用累積損傷理論，對結(jié)構(gòu)的疲勞壽命進(jìn)行預(yù)測[5]。迄今為止，名義應(yīng)力法仍然是工程界最廣泛采用的抗疲勞設(shè)計(jì)方法[6]。

由于疲勞問題的復(fù)雜性，考慮多種因素的綜合影響，要對結(jié)構(gòu)的疲勞壽命做出較為精確的預(yù)測，就需要選擇合適的壽命預(yù)測模型[7-9]。事實(shí)上，結(jié)構(gòu)在隨機(jī)載荷的作用過程中，其所承受的應(yīng)力幅值和應(yīng)力均值都是隨機(jī)變化的。同時(shí)，大量工程實(shí)踐表明：結(jié)構(gòu)的疲勞壽命和疲勞損傷是由應(yīng)力幅值和應(yīng)力均值2個(gè)隨機(jī)變量共同控制的，而傳統(tǒng)的名義應(yīng)力法只考慮了應(yīng)力幅值的隨機(jī)變化對疲勞壽命造成的影響，其預(yù)測結(jié)果難免有失偏頗[10-11]。

許多學(xué)者對應(yīng)力幅值和應(yīng)力均值共同影響下結(jié)構(gòu)的疲勞壽命預(yù)測問題進(jìn)行了研究。張書明等[12]考慮應(yīng)力幅值和應(yīng)力均值的共同作用，構(gòu)建了沃克爾(Walker)型裂紋擴(kuò)展壽命的σa-σm-N*廣義斷裂性能曲面，并討論了該廣義斷裂性能曲面的測定與擬合方法；閻楚良等[13]利用σ-N曲線方程和等壽命曲線，建立了應(yīng)力幅值、應(yīng)力均值和疲勞壽命的關(guān)系式(即廣義σ-N曲面方程)，并以此作為疲勞壽命估算和疲勞可靠性設(shè)計(jì)的依據(jù)；廖強(qiáng)等[14]基于Goodman型等壽命曲線和Gerber型等壽命曲線，分別建立了相應(yīng)的廣義σ-N曲面方程，并結(jié)合Miner累積損傷理論對渦輪盤的疲勞壽命進(jìn)行了預(yù)測。熊峻江等[15]考慮應(yīng)力幅值和應(yīng)力均值對疲勞壽命的影響，提出了廣義疲勞等壽命曲線P-σa-σm，并以此為基礎(chǔ)推導(dǎo)出了二維疲勞極限的概率分布。倪侃等[16]基于損傷力學(xué)理論，建立了等幅加載下個(gè)體的D-σa-σm-N等損傷曲面，推導(dǎo)出二維個(gè)體Miner準(zhǔn)則，并用測度論給出了證明。

為研究隨機(jī)載荷多次作用時(shí)結(jié)構(gòu)剩余壽命的變化規(guī)律，本文以廣義σ-N曲面為基礎(chǔ)，從載荷作用的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義出發(fā)，根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)，建立了最小應(yīng)力、最大應(yīng)力和剩余壽命之間的關(guān)系式(即σmin(n)-σmax(n)-Nr(n)曲面方程模型)。該模型為隨機(jī)載荷多次作用下結(jié)構(gòu)的剩余壽命預(yù)測及可靠性評估提供了理論依據(jù)。

1 廣義σ -N曲面方程

1.1 σ -N曲線和等壽命曲線

對于材料的疲勞問題，最基本同時(shí)也是很有效的研究是σ-N曲線[17]，它描述的是循環(huán)應(yīng)力σ(σa或σmax)與失效循環(huán)數(shù)(疲勞壽命)N之間的對應(yīng)關(guān)系。

σ -N曲線作為結(jié)構(gòu)疲勞壽命預(yù)測的基礎(chǔ)，是用一組標(biāo)準(zhǔn)試樣(一般為7～10個(gè))，在給定的應(yīng)力比r下，施加不同的循環(huán)應(yīng)力σ進(jìn)行疲勞試驗(yàn)，記錄相應(yīng)的疲勞壽命N，通過擬合(σ,N)數(shù)據(jù)便可得到材料的σ -N曲線。描述材料σ -N曲線最常用形式是如式(1)所示的冪函數(shù)式[18]。

(1)

式中：m和C是與材料應(yīng)力比、加載方式等有關(guān)的參數(shù)。

圖1 等壽命曲線Fig.1 Constant life curve

反映材料疲勞性能的基本σ-N曲線是在應(yīng)力比r=-1(即平均應(yīng)力為零)的對稱循環(huán)加載條件下獲得的。事實(shí)上，大多數(shù)工程結(jié)構(gòu)在實(shí)際運(yùn)行過程中所承受的應(yīng)力均值并不為零，若要考慮平均應(yīng)力(或應(yīng)力比)的變化對材料疲勞性能的影響，就需要用到等壽命曲線。

人們通過對大量疲勞試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，提出了多種經(jīng)驗(yàn)性等壽命曲線方程，如Goodman直線方程、Gerber拋物線方程和Soderberg直線方程等，如圖1所示。

圖中：橫坐標(biāo)軸σm為平均應(yīng)力，縱坐標(biāo)軸σa為應(yīng)力幅值，σs為材料的屈服強(qiáng)度，σb為材料的斷裂靜強(qiáng)度，σ-1為對稱循環(huán)下材料的強(qiáng)度極限。

由圖1可知，Soderberg直線模型過于保守，Gerber拋物線模型偏于危險(xiǎn)，而Goodman直線模型相對比較合適。Goodman直線模型的函數(shù)表達(dá)式如式(2)所示。

(2)

式中：σb為材料的斷裂靜強(qiáng)度；σ-1為材料的對稱循環(huán)下材料的強(qiáng)度極限。

根據(jù)式(2)所示的Goodman直線模型，在已知材料的強(qiáng)度極限σb和基本σ-N曲線時(shí)，便可對材料在不同平均應(yīng)力(或應(yīng)力比)下的疲勞性能進(jìn)行評估。

1.2 廣義σ-N曲面

結(jié)構(gòu)在服役過程中常受隨機(jī)循環(huán)載荷的作用，其疲勞壽命與應(yīng)力幅值和平均應(yīng)力有關(guān)。描述材料疲勞性能的廣義σ -N曲面，能夠很好地反映應(yīng)力幅值和應(yīng)力均值共同影響下結(jié)構(gòu)的疲勞壽命問題，其構(gòu)建過程如下：

在應(yīng)力幅值σa和應(yīng)力比r已知的情況下，最大應(yīng)力σmax和平均應(yīng)力σm可分別表示為

(3)

(4)

將式(3)代入式(1)，可得：

(5)

對式(5)進(jìn)行變換，可得：

(6)

將式(6)代入式(4)，可得：

(7)

將式(6)和式(7)代入式(2)，可得：

(8)

將式(8)代入式(2)，可得：

(9)

對式(9)進(jìn)行變換，可得：

(10)

式(10)即為描述材料疲勞性能的廣義σ-N曲面方程。

2 σmin(n)-σmax(n)-Nr(n)曲面模型

2.1 順序統(tǒng)計(jì)量

順序統(tǒng)計(jì)量(或稱次序統(tǒng)計(jì)量)是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中廣泛應(yīng)用的一類統(tǒng)計(jì)量。設(shè)X1,X2,…,Xn是來自同一隨機(jī)變量母體的一組樣本觀測值，母體的累積分布函數(shù)為F(x)，概率密度函數(shù)為f(x)。將樣本觀測值按從小到大遞增順序排列，即X(1)

(11)

其中X(1)=min(X1,X2,…,Xn)和X(n)=max(X1,X2,…,Xn)分別稱為最小順序統(tǒng)計(jì)量和最大順序統(tǒng)計(jì)量，其對應(yīng)的概率密度函數(shù)分別為

g1(x)=n[1-F(x)]n-1f(x) ，

(12)

gn(x)=n[F(x)]n-1f(x) ，

(13)

任意2個(gè)順序統(tǒng)計(jì)量X(k)和X(j)的聯(lián)合概率密度函數(shù)g(xk,xj)為

(14)

特別的，當(dāng)k=1，j=n時(shí)，最大順序統(tǒng)計(jì)量與最小順序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為

n(n-1)[F(xn)-F(x1)]n-2f(x1)f(xn)。

(15)

2.2 σmin(n)-σmax(n)-Nr(n)曲面方程

文獻(xiàn)[13]中提到，當(dāng)載荷譜為雨流計(jì)數(shù)法獲得的σa和σm聯(lián)合分布時(shí)，可直接利用式(10)所示的廣義σ-N曲面方程，進(jìn)行疲勞壽命估算或疲勞可靠性設(shè)計(jì)。然而，由于受到技術(shù)及經(jīng)濟(jì)條件的限制，在實(shí)際工程中，利用雨流計(jì)數(shù)法只能獲得關(guān)于應(yīng)力幅值σa和平均應(yīng)力σm有限的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，基于這些數(shù)據(jù)一般也只能獲得σa和σm的邊緣分布函數(shù)。根據(jù)概率論的知識(shí)可知，除了變量的聯(lián)合分布函數(shù)是多維正態(tài)分布外，根據(jù)隨機(jī)變量的邊緣分布不能唯一確定隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布函數(shù)。因此，由于不能精確確定σa和σm的聯(lián)合分布，式(10)在實(shí)際的工程應(yīng)用中受到很大限制。其實(shí)，最小應(yīng)力σmin和最大應(yīng)力σmax的聯(lián)合分布可以根據(jù)最小順序統(tǒng)計(jì)量和最大順序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合分布來確定，如式(15)所示，該式能夠反映聯(lián)合分布隨載荷作用次數(shù)的變化規(guī)律。為此，本文首先將應(yīng)力幅值σa和平均應(yīng)力σm對疲勞壽命的影響等價(jià)地轉(zhuǎn)化為最小應(yīng)力σmin和最大應(yīng)力σmax對疲勞壽命的影響。然后根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)得到最小應(yīng)力σmin與最大應(yīng)力σmax的聯(lián)合分布函數(shù)。最后得到描述材料疲勞性能的廣義σmin(n)-σmax(n)-Nr(n)曲面方程。具體過程如下。

在最大應(yīng)力σmax和最小應(yīng)力σmin已知的情況下，應(yīng)力幅值σa和平均應(yīng)力σm可分別表示為

(16)

(17)

將式(16)和式(17)代入式(10)，可得：

(18)

根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)，最大應(yīng)力σmax(對應(yīng)最大順序統(tǒng)計(jì)量)與最小應(yīng)力σmin(對應(yīng)最小順序統(tǒng)計(jì)量)隨載荷作用次數(shù)n的變化而變化。因此，疲勞壽命N也隨載荷作用次數(shù)的變化而變化。故式(18)實(shí)際上是一個(gè)動(dòng)態(tài)模型，可改寫為

(19)

式中σmax(n)，σmin(n)和Nr(n)分別表示載荷作用n次時(shí)的最大應(yīng)力、最小應(yīng)力和剩余壽命。

設(shè)應(yīng)力的概率密度函數(shù)為fσ(σ)，累積分布函數(shù)為Fσ(σ)。若記x1=σmin(n)=σ1,xn=σmax(n)=σn，根據(jù)式(12)和式(13)，可分別得到最小應(yīng)力σmin(n)和最大應(yīng)力σmax(n)的概率密度函數(shù)：

g1(σ1)=n[1-Fσ(σ1)]n-1fσ(σ1)，

(20)

gn(σn)=n[Fσ(σ1)]n-1fσ(σn)，

(21)

根據(jù)式(15)，可得最大應(yīng)力與最小應(yīng)力的聯(lián)合概率密度函數(shù)：

g[σ1,σn]=n(n-1)[Fσ(σn)-Fσ(σ1)]n-2fσ(σ1)fσ(σn)。

(22)

由式(22)可知，最小應(yīng)力和最大應(yīng)力的聯(lián)合概率密度函數(shù)隨載荷作用次數(shù)n的變化而變化，該式能夠反映載荷特征隨作用次數(shù)的變化規(guī)律。

圖2 轉(zhuǎn)子軸結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Structure diagram of rotor shaft

3 實(shí)例分析

某轉(zhuǎn)動(dòng)軸，材料為熱軋16Mn合金鋼，全功率運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)的受力如圖2所示，經(jīng)實(shí)測作用于軸的載荷F1=(607.4±30)N，扭矩MT=(133±27)N·m，安裝誤差產(chǎn)生的載荷F2=13.3 N，軸質(zhì)量F3=11.08 N。軸的設(shè)計(jì)參數(shù)為直徑d=(16±0.21)mm，軸肩處的圓角半徑R=3.2 mm[20]。

3.1 軸在危險(xiǎn)截面處的應(yīng)力分布參數(shù)

根據(jù)圖2，由力學(xué)模型計(jì)算得到危險(xiǎn)截面上彎矩的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為μMn=14.1N·m,σMn=0.189N·m。

危險(xiǎn)截面上扭矩的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

進(jìn)一步，可得到應(yīng)力的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為

應(yīng)力的概率密度函數(shù)可表示為

3.2 計(jì)算應(yīng)力水平與疲勞壽命之間的關(guān)系

在熱軋16Mn合金鋼的疲勞壽命試驗(yàn)中，選取了σ1=394 MPa，σ2=373 MPa和σ3=344 MPa應(yīng)力水平。在這3個(gè)恒幅循環(huán)載荷作用下的疲勞壽命試驗(yàn)結(jié)果如表1所示[19]。

通過對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合，可得材料疲勞壽命與應(yīng)力水平之間的關(guān)系為通過對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合，得

表1 疲勞壽命試驗(yàn)結(jié)果

材料疲勞壽命與應(yīng)力水平之間的關(guān)系為σ13.221 9N=2.279 6×1039，熱軋16Mn合金鋼強(qiáng)度極限σb=586 MPa[21]。

3.3 預(yù)測軸的疲勞壽命

根據(jù)式(20)和式(21)，可得載荷作用次數(shù)分別為n=102，104，106時(shí)最大應(yīng)力σmax(n)與最小應(yīng)力σmin(n)的概率密度函數(shù)，如圖3所示。

圖3 順序統(tǒng)計(jì)量Fig.3 Order statistics

根據(jù)式(22)，可得載荷作用次數(shù)分別為n=102，104，106時(shí)最大應(yīng)力σmax(n)與最小應(yīng)力σmin(n)的聯(lián)合概率密度函數(shù)，分別如圖4-圖6所示。根據(jù)式(19)，可得載荷作用次數(shù)分別為n=102，104，106時(shí)轉(zhuǎn)子軸的剩余壽命曲面，如圖7-圖9所示。

圖4 n=102時(shí)σmax(n)與σmin(n)聯(lián)合概率密度函數(shù)Fig.4 Joint probability density function of σmax(n) and σmin(n) when n=102

圖5 n=104時(shí)σmax(n)與σmin(n)聯(lián)合概率密度函數(shù)Fig.5 Joint probability density function of σmax(n) and σmin(n) when n=104

圖6 n=106時(shí)σmax(n)與σmin(n)聯(lián)合概率密度函數(shù)Fig.6 Joint probability density function of σmax(n) and σmin (n) when n=106

圖7 n=102時(shí)剩余壽命曲面Fig.7 Residual life surface when n=102

圖8 n=104時(shí)剩余壽命曲面Fig.8 Residual life surface when n=104

圖9 n=106時(shí)剩余壽命曲面Fig.9 Residual life surface when n=106

由圖7-圖9可知，轉(zhuǎn)子軸的剩余壽命Nr(n)受最小應(yīng)力σmin(n)和最大應(yīng)力σmax(n)的共同影響，并且隨載荷作用次數(shù)n的變化而變化。在不同的載荷作用次數(shù)n下，由于最小應(yīng)力σmin(n)和最大應(yīng)力σmax(n)的聯(lián)合概率密度函數(shù)發(fā)生了變化，因此導(dǎo)致轉(zhuǎn)子軸具有不同的剩余壽命，而且隨著載荷作用次數(shù)n的增加，轉(zhuǎn)子軸的剩余壽命逐漸降低。

4 結(jié) 論

1) 考慮應(yīng)力幅值和應(yīng)力均值對疲勞壽命的影響，構(gòu)建了能反映結(jié)構(gòu)疲勞性能的廣義σ-N曲面模型。

2) 以廣義σ-N曲面為基礎(chǔ)，根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)，建立了最小應(yīng)力、最大應(yīng)力和剩余疲勞壽命的關(guān)系式，即σmin(n)-σmax(n)-Nr(n)曲面方程模型，并通過實(shí)例分析對所建模型的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證和分析。

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A residual life prediction model based on the generalizedσ-Ncurved surface

AN Zongwen, BAI Xuezong, GAO Jianxiong

(School of Mechatroni Engineering, Lanzhou University of Technology, Lanzhou, Gansu 730050, China)

In order to investigate change rule of the residual life of structure under random repeated load, firstly, starting from the statistic meaning of random repeated load, the joint probability density function of maximum stress and minimum stress is derived based on the characteristics of order statistic (maximum order statistic and minimum order statistic); then, based on the equation of generalizedσ-Ncurved surface, considering the influence of load cycles number on fatigue life, a relationship among minimum stress, maximum stress and residual life, that is theσmin(n)-σmax(n)-Nr(n) curved surface model, is established; finally, the validity of the proposed model is demonstrated by a practical case. The result shows that the proposed model can reflect the influence of maximum stress and minimum stress on residual life of structure under random repeated load, which can provide a theoretical basis for life prediction and reliability assessment of structure.

probability distribution; fatigue; residual life;σ-Ncurved surface; order statistic; reliability

1008-1542(2016)03-0213-07

10.7535/hbkd.2016yx03001

2015-12-09；

2015-12-31；責(zé)任編輯：張 軍

國家自然科學(xué)基金(51265025)

安宗文(1968—)，男，甘肅景泰人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事機(jī)械結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計(jì)理論及相關(guān)系統(tǒng)可靠性建模方面的研究。

E-mail:anzongwen@163.com

TB

A

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ANZongwen，BAIXuezong，GAOJianxiong.Aresiduallifepredictionmodelbasedonthegeneralizedσ -Ncurvedsurface[J].JournalofHebeiUniversityofScienceandTechnology,2016,37(3):213-219.