☉江蘇省蘇州實驗中學　袁彩榮

提煉思想方法，巧妙解答問題

☉江蘇省蘇州實驗中學袁彩榮

高中階段的數(shù)學知識學習，想要學懂學透、靈活掌握，著實不易.面對著數(shù)量繁多且難度較大的知識內(nèi)容，如果學生仍然按照從前的處理方式，采取“各個擊破”的方法，對具體的知識點進行逐個理解與記憶，非但無法取得切實到位的掌握成效，反而還會為自己造成極為沉重的學習負擔.對此，教師必須指導學生轉(zhuǎn)換思維，找到全新的學習思路，以真正適合高中數(shù)學特點的方法來開展學習活動.筆者認為，面對看似雜亂無章的知識內(nèi)容，學生只有站在更高的視野層面上來分析處理，才能夠從宏觀上進行有效把控.這種宏觀上的要求，指的就是對數(shù)學思想方法的提煉.

一、立足教材內(nèi)容，夯實知識基礎

高中數(shù)學的知識學習并不是一蹴而就的.優(yōu)質(zhì)的學習效果需要一個長線的積累過程.只有先將知識基礎夯實打牢，才能夠保證接下來的內(nèi)容加量與能力提升順利進行.在這一階段的眾多知識內(nèi)容當中，立體幾何是學生從未接觸過的，可以說，在這個知識領(lǐng)域當中，學生沒有任何基礎可言.既然一切從零開始，知識基礎的奠定自然也就顯得尤為重要了.

案例1在對異面直線的內(nèi)容進行教學時，首要的基礎所在就是對定義與判定方法進行掌握.按照教材當中的內(nèi)容，從定義上來看，如果a、b兩條直線是異面直線，則意為不存在平面α，使得a?α且b?α.而在判定兩條直線是否為異面直線時，則只要保證兩直線既不相交也不平行即可.筆者沒有將基礎知識的教授止步于此，而是請學生思考這個判定方法為什么正確.經(jīng)過討論，學生發(fā)現(xiàn)了其中存在的反證法的影子.這不僅深化了學生對基礎知識的理解，而且引出了反證的思想方法.

堅實的知識基礎是高效開展重點內(nèi)容教學的根本動力，這是數(shù)學教學開展的開端，也必須成為教師與學生們所要關(guān)注的第一個重點.對于基礎知識的教學，不在廣度，而在深度.也就是說，學習基礎知識時，并不要求教師將知識內(nèi)容進行多么廣泛的拓展，而是要帶領(lǐng)學生抓住一點，準確理解，將每一個基本概念和定理研究透徹.這才是將知識基礎打牢了，下面的靈活性內(nèi)容才能夠順利開始教學.

二、善用轉(zhuǎn)化思想，把握變與不變

前文已經(jīng)多次談到，高中數(shù)學當中的知識點分布比較零散，知識內(nèi)容出現(xiàn)得也比較繁雜，為學生的有效掌握提出了不小的挑戰(zhàn).為了讓大家在凌亂的知識接受過程中找到一條捷徑，筆者多次向?qū)W生滲透轉(zhuǎn)化的思想.所謂轉(zhuǎn)化，就是將陌生的、復雜的問題進行轉(zhuǎn)換與化歸，使之成為熟悉了、簡單的問題加以解決.這就如同在已知與未知之間架起了一座橋，將新舊知識連通起來，也讓困難的問題不再困難，只要具備扎實的知識基礎與化歸的思維能力，即可輕松解答新的難題.

案例2在三垂線定理的教學過程中，筆者請學生試著解答如下問題：如圖1，在三棱錐S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面△ABC的高CD上.側(cè)棱SC上有一點M，使得面ABM與底面所成角等于∠CSN.求證：SC⊥面ABM.在這個問題的解答過程中，關(guān)鍵在于運用三垂線定理證明AB⊥SC，再于面NCSD中證明MD⊥SC.這個思路中明顯體現(xiàn)出了由立體幾何問題向平面幾何問題的轉(zhuǎn)化思想，也成為了筆者在課堂教學中的分析重點.

轉(zhuǎn)化思想，在高中數(shù)學教學當中出現(xiàn)的次數(shù)并不少，卻總是流于形式.學生口中說著“轉(zhuǎn)化”，手上卻不知道究竟如何完成知識與方法的轉(zhuǎn)化.實際上，轉(zhuǎn)化思維的運用并不難，可以說，在數(shù)學問題的分析解答過程當中，到處都有轉(zhuǎn)化的影子，只是學生沒有意識到而已.在這里，教師需要做的就是喚醒學生的思想意識，通過具體問題的解答，讓學生看到轉(zhuǎn)化的過程，并且啟發(fā)他們的思維，在不斷應用的帶動下，形成轉(zhuǎn)化的思維慣性，使復雜的數(shù)學問題得到準確解答.

圖1

三、勤于數(shù)形結(jié)合，理論實踐轉(zhuǎn)化

談及數(shù)學當中的思想方法，一定不會少了“數(shù)形結(jié)合”.的確，無論從數(shù)學的學科特點來看，還是從問題解答的實際需要來講，數(shù)形結(jié)合都是高中數(shù)學問題解答當中不可或缺的思想方法之一.數(shù)學知識的理論性與抽象性雖然很強，但是，卻不是僅僅停留在字母與符號之上的.數(shù)學理論想要展現(xiàn)出的往往是具體的圖景或模型，而圖形便成為了理論的最好承載者.在圖形的輔助下，晦澀的理論得以真實具體，也正是在圖形的闡釋中，多樣化的思維方式被有效激活.

案例3在臺體、椎體的教學過程中，筆者為學生設置了這樣一道練習題：有一塊扇形的鐵皮AOB，∠AOB= 60°，AO長為72cm.現(xiàn)要從上面剪下一個扇形ABCD作為圓臺形容器的側(cè)面，并在剩下的扇形COD內(nèi)剪下一個與之相切的圓形作為該圓臺形容器的下底面.那么，AD的長度應當取多少？僅從字面上進行分析，學生很難對這個問題的條件與所求形成感知，更不要說產(chǎn)生思路了.于是，筆者帶領(lǐng)學生將題目描述“翻譯”為圖形（如圖2），大家很快找到了其中的數(shù)量關(guān)系.在圖形的輔助之下，問題的解答效果理想了許多.

作為高中數(shù)學當中至關(guān)重要的思想方法，數(shù)形結(jié)合幾乎已經(jīng)滲透到了每一個知識內(nèi)容的呈現(xiàn)與深化過程當中.教師不僅要讓學生意識到數(shù)形結(jié)合思想的存在，還應當通過日常教學中的不斷引導，讓數(shù)形結(jié)合成為學生面對數(shù)學問題時的一種條件反射.當學生一邊讀題，一邊很自然地將相應圖形在草稿紙上畫出來時，問題解答的正確思路也許就會悄悄到來了.

圖2

四、強化空間想象，簡化思維過程

高中數(shù)學與之前階段的數(shù)學教學相比，對于學生相關(guān)能力的要求擴充了許多.在這之中，不得不提的就是空間想象能力.在初中數(shù)學教學當中，雖然偶爾也會要求學生進行空間想象，但較多地是將之應用于開放性題目的解答上.而進入到高中之后，隨著立體幾何內(nèi)容的加入，空間想象能力成為了有效學習數(shù)學知識之必需.

案例4在學習過三棱錐的知識后，學生遇到了這樣一道題：三棱錐S-ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，AS=5，BS=4，CS=3，D為AB的中點，E為AC的中點，則四棱錐SCEDB的體積是多少？如果學生的空間想象能力過硬，在根據(jù)已知條件畫出圖形之后，便能夠很快地發(fā)現(xiàn)△ABC與△ADE面積之間的4倍關(guān)系，并且找到三棱錐的等體積轉(zhuǎn)化契機.將二者結(jié)合起來，求出正確答案也就十分順利了.這也大大簡化了問題分析的思維過程，讓題目解答的效率提高了不少.

不難發(fā)現(xiàn)，在面對一些復雜疑難的數(shù)學問題時，如果學生具有較為純熟的空間想象能力，往往能夠?qū)⑺季S過程大大簡化，甚至可以省去很多理論推導的時間.這在解答選擇、填空等不要求寫出具體解題過程的題目當中所發(fā)揮出的能量是巨大的.即使是在立體幾何大題當中，如果學生的空間想象能力過關(guān)了，在面對圖形時便很容易產(chǎn)生思維直覺，讓解題思路直接進入到正確的軌道之上.

五、總結(jié)規(guī)律方法，建立解題體系

在高中數(shù)學學習當中，會不時地出現(xiàn)各種各樣的思想方法，它們適用于不同的知識內(nèi)容與題目類型.在筆者看來，最為重要的思想方法，就是善于總結(jié)這些零散的思想方法，將它們整合成為一套完整的解題體系，為己所用.這才是成功駕馭了方法，掌握了數(shù)學.

圖3

案例5在對立體幾何內(nèi)容進行復習時，學生對這樣一個問題感到有些困難：直角梯形的一個內(nèi)角為45°，梯形的下底長為上底長的1.5倍，且該梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的全面積為（5+則這個旋轉(zhuǎn)體的體積是多少？畫出圖形后（如圖3），學生認為，已知條件中的倍數(shù)關(guān)系是一個解題關(guān)鍵.于是，筆者啟發(fā)學生，何不設CD長為x，便可以由之表示出AB、AD、BC的長，以及旋轉(zhuǎn)體的全面積，根據(jù)已知可求x，體積自然可得.問題解答完成后，筆者帶領(lǐng)學生對其中運用到的方程思想進行了提煉，在類似問題的分析中加以使用.

很多學生之所以一再努力，卻始終無法收獲理想的學習效果，一個很重要的原因便在于不善于總結(jié)與提煉.高中數(shù)學的知識范圍十分廣泛，演化出的問題形式更是數(shù)不勝數(shù).如果學生只知道埋頭做題，而沒有“走出來看一看”的意識，便永遠無法提高效率.時常對問題解答過程進行回顧，對其中的規(guī)律方法進行總結(jié)，找到具有普適性的解題思維，才是高中數(shù)學學習中所需要的.

立體幾何對于高中數(shù)學來講，是一個舉足輕重的知識部分.無論從其所占的體例比重，還是內(nèi)容本身的難度要求上來講，立體幾何都是毫無疑問的教學重點，自然也就成為了提煉數(shù)學思想方法的一個關(guān)鍵入口.在學生的眼中，立體幾何是進入高中之后所接觸到的一個全新知識內(nèi)容，其中具有諸多幾何元素和公式定理.如果沒有一個系統(tǒng)的思想方法將之串連起來，學生想要把這些零散的知識內(nèi)容逐一掌握，難度可想而知.結(jié)合這部分內(nèi)容的特點，作者總結(jié)出了前文當中的若干思想方法，并借助一個個具體的問題實例使得學生理解掌握，為大家的數(shù)學學習探尋出了一條捷徑，在巧妙解答問題的同時，大大提升了教學實效.F