高考數(shù)學(xué)壓軸題的風(fēng)向標(biāo)——導(dǎo)數(shù)在函數(shù)綜合性問題中的應(yīng)用例析

☉福建省寧德市民族中學(xué)鄭一平蘇華春

函數(shù)作為聯(lián)結(jié)和支撐高中數(shù)學(xué)的主干知識，近年由于新教材導(dǎo)數(shù)的引入，給函數(shù)注入了生機(jī)與活力，拓廣了高考對函數(shù)問題的命題空間，出現(xiàn)了許多新的題型，常常以函數(shù)綜合性問題作為壓軸題出現(xiàn).這種函數(shù)綜合題及解法的變化，呼喚我們對導(dǎo)數(shù)在函數(shù)綜合性應(yīng)用的認(rèn)識必須與時俱進(jìn)，函數(shù)學(xué)習(xí)必須與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，改變傳統(tǒng)的解題方法.縱觀近年全國高考（Ⅰ）（Ⅱ）卷試題，多以導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合性問題作為壓軸題出現(xiàn)，成為高考能否取得突破的風(fēng)向標(biāo).導(dǎo)數(shù)綜合題成為考查知識間的交叉、滲透和綜合，考查學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能、綜合素質(zhì)和數(shù)學(xué)解題基本思想、方法與能力的很好途徑.探討利用導(dǎo)數(shù)知識破解函數(shù)綜合性問題，對提高分析、解決問題能力，提高解題方法、技巧十分有益.本文通過幾例壓軸題分析歸納常見的六類利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合性問題解題方法及策略，供參考.

一、導(dǎo)數(shù)在求最值中的應(yīng)用

求最值、極值等問題是高中數(shù)學(xué)的重要問題，通過利用函數(shù)求導(dǎo)求解這類問題是很有效的方法，熟練函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和性質(zhì)，就可以達(dá)到問題的解決.

例1已知函數(shù)f（x）=lnx+x2+ax，a∈R.

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，求a的取值范圍；

（參考數(shù)值：自然對數(shù)的底數(shù)e≈2.71828）

分析：問題（Ⅰ）由函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)，故只要在定義域內(nèi)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于或等于0恒成立，求得參數(shù)a的取值范圍即可.問題（Ⅱ），由函數(shù)g（x）在［t，+∞）（t∈N*）上存在極值，故只要方程g′（x）=0在（［t，+∞）（t∈N*）上有解.若令φ（x）=1+-lnx（x>0），則只要φ（x）=上有零點(diǎn)即可，把問題轉(zhuǎn)化為求上有零點(diǎn).

解：（Ⅰ）方法1：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）.

因?yàn)閒（x）=lnx+x2+ax，所以f′（x）=

由題意知，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

方法2：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）.

又因?yàn)閒（x）=lnx+x2+ax，

此時，f′（x）≥0對x∈（0，+∞）都成立，故函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數(shù).

設(shè)h（x）=2x2+ax+1，則

因?yàn)楹瘮?shù)g（x）在［t，+∞）（t∈N*）上存在極值，所以g′（x）=0在［t，+∞）（t∈N*）上有解，

故函數(shù)φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減.

故函數(shù)φ（x）的零點(diǎn)x0∈（3，4）.

因?yàn)榉匠苔眨▁）=0在［t，+∞）（t∈N*）上有解，t∈N*，

所以t≤3.

因?yàn)閠∈N*，所以t的最大值為3.

評析：本題涉及函數(shù)在某區(qū)間上存在極值問題，其實(shí)質(zhì)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在此區(qū)間上導(dǎo)數(shù)等于0有解問題，又經(jīng)常轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)函數(shù)在此區(qū)間上存在零點(diǎn)問題.

二、導(dǎo)數(shù)在求參數(shù)取值范圍中的應(yīng)用

求參數(shù)取值范圍是函數(shù)問題的常見題型之一，通過對函數(shù)求導(dǎo)，抓住導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)與幾何意義結(jié)合問題的條件就可以求得滿足條件的參數(shù)的取值范圍.

例2已知函數(shù)f（x）=ex+ax2+bx.

（Ⅰ）當(dāng)a=0，b=-1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)P（t，f（t））（0＜t＜1）處的切線為l，直線l與y軸相交于點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒小于1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析：（Ⅰ）易由條件利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義易求得結(jié)果.

（Ⅱ）根據(jù)條件先求得過點(diǎn)P（t，f（t））（0＜t＜1）處的切線方程l，令x=0，得到y(tǒng)=（1-t）et-at2（0＜t＜1），要使得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒小于1，只需（1-t）et-at2＜1.

思考一：問題轉(zhuǎn)化為（t-1）et+at2+1＞0（0＜t＜1）.（*）通過構(gòu)造新的函數(shù)y=（1-t）et-at2（0＜t＜1），把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求函數(shù)g（x）的最小值大于0時a的取值范圍.在求解過程利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合分類思想討論g（x）的單調(diào)性達(dá)到問題的解決.

思考二：由（1-t）et-at2＜1，利用分離參數(shù)得到a>的最大值問題即可解決.令，則問題轉(zhuǎn)化為求g（t）=的最大值.

解：（Ⅰ）當(dāng)a=0，b=-1時，f（x）=ex-x，f′（x）=ex-1，

所以，當(dāng)x∈（-∞，0）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0.

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）.

（Ⅱ）因?yàn)閒′（x）=ex+2ax+b，

所以P（t，f（t））處切線的斜率k=f′（t）=et+2at+b，

所以y-（et+at2+bt）=（et+2at+b）（x-t）.

令x=0，得y=（1-t）et-at2（0＜t＜1）.

當(dāng)0＜t＜1時，要使得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)恒小于1，只需（1-t）et-at2＜1，

方法1：由（1-t）et-at2＜1，得

（t-1）et+at2+1＞0（0＜t＜1）.（*）

令g（t）=（t-1）et+at2+1，則g′（t）=t（et+2a），

因?yàn)?＜t＜1，所以1＜et＜e.

所以，當(dāng)t∈（0，1）時，g′（t）＞0，即g（t）在（0，1）上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)t∈（0，1）時，g′（t）＜0，即g（t）在（0，1）上單調(diào)遞減，

則t，g′（t），g（t）的關(guān)系如下表：

t（0，ln（-2a））ln（-2a）（ln（-2a），1）g′（t）-0 + g（t）遞減極小值遞增

評析：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.對于問題（Ⅱ）的解決常從兩種途徑考慮，一是通過構(gòu)造新的函數(shù)y=（1-t）et-at2（0＜t＜1），把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求函數(shù)g（x）的最小值大于0時a的取值范圍.二是利用分離參數(shù)得到，只要求0

三、導(dǎo)數(shù)在分段函數(shù)綜合題中的應(yīng)用

分段函數(shù)本身就是函數(shù)的難點(diǎn)之一，利用導(dǎo)數(shù)解決分段函數(shù)有關(guān)問題常滲透數(shù)學(xué)中的分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想以及數(shù)學(xué)許多方法、技巧，因此這類問題就顯得更難.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；

（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）的圖像上存在兩點(diǎn)A，B使得△AOB是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊AB的中點(diǎn)在y軸上，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)c=e時，討論關(guān)于x的方程f（x）=kx（k∈R）的實(shí)根的個數(shù).

分析：第（Ⅰ）問，已知給出的函數(shù)是分段函數(shù)，但由條件x<1可知，其是f（x）=-x3+ax2+bx在x=0，x=處存在極值，利用導(dǎo)數(shù)即可達(dá)到問題的解決.第（Ⅱ）問，由第（Ⅰ）問知，f（x）=-x3+x2（x<1），再由條件△AOB是以坐標(biāo)原點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且斜邊AB的中點(diǎn)在y軸上，利用圖像可知A，B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，可設(shè)A（-t，t3+t2），B（t，f（t）），（t>0）.由∠AOB是直角得0，此時必須考慮t的取值范圍選擇f（t）=-t3+t2還是f（t）= c（et-1-1），進(jìn)而求得滿足條件的結(jié)果.第（Ⅲ）問，由條件知x=0一定是方程的根，當(dāng)x≠0時，求方程的根即可.此時方程等價于k=的解，可構(gòu)造函數(shù)g（x）=與y=k，再利用數(shù)形結(jié)合的思想作出符合條件的圖像，根據(jù)圖像對參數(shù)k進(jìn)行分類討論，逐一求得滿足條件的結(jié)果，這種思考方法直觀、簡潔，可以減少許多不必要的繁雜運(yùn)算，發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢.

解：（Ⅰ）當(dāng)x＜1時，f′（x）=-3x2+2ax+b.

若t＜1，則f（t）=-t3+t2，由∠AOB是直角知，即-t2+（t3+t2）（-t3+t2）=0，即t4-t2+1=0，此時無解.

若t≥1，則f（t）=c（et-1-1），由于AB的中點(diǎn)在y軸上，且∠AOB是直角，所以B點(diǎn)不可能在x軸上，即t≠1.由，即-t2+（t3+t2）·c（et-1-1）=0，即

因?yàn)楹瘮?shù)y=（t+1）（et-1-1）在t>1上的值域是（0，+∞），

所以實(shí)數(shù)c的取值范圍是（0，+∞）.

對于x＜1且x≠0部分，函數(shù)g（x）=-x2+x的圖像是開口向下的拋物線的一部分，當(dāng)時取得最大值，其值域是

評析：本題涉及分段函數(shù)求導(dǎo)問題，關(guān)鍵是根據(jù)條件及定義域選擇滿足條件的部分函數(shù)，同時在解題中當(dāng)用直接求解有困難時可考慮利用數(shù)形結(jié)合的思想，通過圖形的直觀性幫助問題解決.問題（Ⅰ），函數(shù)f（x）=處存在極值，故選擇f（x）=-x3+ax2+bx（x＜1）在x=0，x=求極值，達(dá)到求解目的.問題（Ⅱ），根據(jù)條件通過圖形易知A，B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，為A、B兩橫坐標(biāo)的確定提供了方便，由于是分段函數(shù)，根據(jù)t的范圍做好縱坐標(biāo)的選擇是解決問題的關(guān)鍵之一.在得到A、B坐標(biāo)之后結(jié)合向量的數(shù)量積知識解決.問題（Ⅲ），直接求解比較困難，則通過變形后轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)求交點(diǎn)個數(shù)問題，通過構(gòu)造兩個新的函數(shù)g（x）與y=k，把問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)獲得函數(shù)變化情況，作出兩函數(shù)的圖象，達(dá)到問題解決.許多方程解的問題通過適當(dāng)變形都可以轉(zhuǎn)化為曲線與直線間的位置關(guān)系，特別是涉及與參數(shù)、方程的根個數(shù)等幾何意義明顯的問題時，宜考慮用數(shù)形結(jié)合思想解決.

四、導(dǎo)數(shù)在解（證）不等式中的應(yīng)用

不等式問題是高中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)解決不等式問題有獨(dú)到之處，許多不等式的難題只要對其求導(dǎo)，巧妙利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和性質(zhì)就能化難為易、化繁為簡，達(dá)到意想不到的效果.

例4已知函數(shù)f（x）=ax-lnx-1，若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值.

（Ⅱ）函數(shù)g（x）=f（x）-m（x-1）（m∈R）恰有兩個零點(diǎn)x1，x2（x1

（i）求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間及實(shí)數(shù)m的取值范圍；

分析：問題第一問容易由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到解決.問題第二問中由條件已知函數(shù)g（x）=f（x）-m（x-1）（m∈R）恰有兩個零點(diǎn)x1，x2（x1

（Ⅱ）（i）因?yàn)間（x）=（1-m）（x-1）-lnx，x∈（0，+∞），

當(dāng)1-m≤0即m≥1時，g′（x）<0，所以g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，此時只存在一個零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)變化時，g（x）和g′（x）的變化情況如下表：

x （）110，1 1-m 1-m （）1-m，+∞g′（x）-0 + g（x）↘極小值↗

設(shè)h（m）=m+ln（1-m），

當(dāng)m=0時，h（0）=0，即g（x）極小=0，

此時g（x）恰有一個零點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)m<0時，h′（x）>0，當(dāng)0

所以h（m）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，

所以h（m）

綜上，m的取值范圍是（-∞，0）∪（0，1）.

（ii）證明：函數(shù)g（x）有兩個零點(diǎn)x1，x2（x1

φ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以φ（t）>φ（1）= 0，所以

解法二：（i），（ii）（i）同解法一.

（ii）顯然g（1）=0，故x=1是函數(shù)g（x）的一個零點(diǎn)，不妨設(shè)x1=1.由x2是函數(shù)g（x）的另一個零點(diǎn)，

所以g（x2）=（1-m）（x2-1）-lnx2=0，即1-m=lnx2x2-1.

所以p′（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

故p′（x）>p′（1）=0，所以p（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1）和（1，+∞）.

又p（1）=0，當(dāng)01時，p（x）>0，

評析：本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.特別問題（Ⅱ）考查了許多中學(xué)數(shù)學(xué)常用的數(shù)學(xué)思想方法，對數(shù)學(xué)能力要求比較高，既要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，又要有較強(qiáng)的分析推理能力和重要的數(shù)學(xué)思想方法.

五、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)探索性、推理性問題中的應(yīng)用

近年高考十分注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，常以探索性、推理性問題考查學(xué)生分析問題、解決問題能力，涉及函數(shù)問題的探索性、推理性問題如果運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識去解決容易突破解題思維障礙，達(dá)到問題解決.

例5已知函數(shù)f（x）=x2-（a+2）x+alnx

（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的極小值.

（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f（x）的切線，設(shè)切點(diǎn)為P（m，n），求實(shí)數(shù)m的值.

（Ⅲ）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程為l：y=h（x），當(dāng)x≠x0時，若在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=g（x）的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.當(dāng)a=8時，試問函數(shù)y=f（x）是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.若存在，請求出“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

分析：問題（Ⅰ）容易由函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)達(dá)到問題的解決；問題（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義幾何條件結(jié)合單調(diào)性也容易解決；問題（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求得切線方程為l：y=h（x），可設(shè)F（x）=f（x）-h（x），把問題轉(zhuǎn)化為研究F（x）的單調(diào)性與“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的關(guān)系，從而獲得問題的解決.

整理得m2+lnm-1=0，顯然m=1是這個方程的解.

又因?yàn)閥=x2+lnx-1在（0，+∞）上是增函數(shù)，

所以方程x2+lnx-1=0有唯一實(shí)數(shù)解，故m=1.

（Ⅲ）當(dāng)a=8時，函數(shù)y=f（x）在其圖像上一點(diǎn)P（x0，f（x0））處的切線方程為

設(shè)F（x）=f（x）-h（x），則F（x0）=0，F(xiàn)′（x）=f′（x）-h′（x）

若0＜x0＜2，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞減，

所以y=f（x）在上（0，2）不存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”.

若x0＞2時，F(xiàn)（x）在上單調(diào)遞減，

若x0=2時F′（x）=（x-2）2，

即F（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，

當(dāng)x＞x0時，F(xiàn)（x）＞F（x0）=0，

當(dāng)x＜x0時，F(xiàn)（x）＜F（x0）=0，即點(diǎn)P（x0，f（x0））為“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，

故函數(shù)y=f（x）存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”，且2是“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo).

評析：本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，考查函數(shù)與方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想.特別是問題（Ⅲ）在新定義了函數(shù)的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”概念后，要求探索滿足條件的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”是否存在，若存在求出來，若不存在，請說明理由.解決涉及探索性問題一般有兩類方法：一是先假設(shè)滿足條件的解存在，再根據(jù)問題的解應(yīng)滿足的條件列出相應(yīng)的關(guān)系式（方程或不等式），進(jìn)而化簡（或求解）相應(yīng)的關(guān)系式.如果出現(xiàn)矛盾，說明滿足條件的解不存在；否則，說明滿足條件的解存在.二是利用特殊與一般思想，先利用某些特殊條件尋找“可能的特解”，再驗(yàn)證這些“可能的特解”對一般情況是否適合.如果適合，說明說明滿足條件的解存在；否則，說明滿足條件的解不存在，從而達(dá)到求解目的.

六、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)與數(shù)列綜合性問題中的應(yīng)用

函數(shù)與數(shù)列綜合性問題是難點(diǎn)之一，往往以綜合題的形式出現(xiàn)，這類問題溝通了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，若能利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合數(shù)列知識求解往往容易奏效.

例6已知函數(shù)f（x）=ex-bx.

（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線平行于x軸，求實(shí)數(shù)b的值；

（Ⅱ）若?x∈（0，+∞），f（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

分析：問題（Ⅰ），利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義容易解決.問題（Ⅱ），由條件?x∈（0，+∞），f（x）≥0成立，即在

解：（Ⅰ）f（x）=ex-bx，f′（x）=ex-b，

因?yàn)榍€y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線平行于x軸，所以f′（0）=0，即1-b=0，故b=1.

（Ⅱ）方法1：依題意得，不等式ex-bx≥0，即b≤在（0，+∞）恒成立.

當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）<0；當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）>0.

所以函數(shù)g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，

故x∈（0，+∞），g（x）min=g（1）=e，所以b≤e.

所以實(shí)數(shù)b的取值范圍為（-∞，e］.

方法2：因?yàn)閒（x）=ex-bx，f′（x）=ex-b，

若b≤0，則f′（x）=ex-b>0，當(dāng)x∈（0，+∞）時恒成立，

所以f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以f（x）>f（0）=1>0滿足題意.

若b>0，由f′（x）=ex-b=0，解得x=lnb，

當(dāng)x∈（0，lnb］，f′（x）≤0，x∈（lnb，+∞），f′（x）>0，

所以函數(shù)g（x）在（0，lnb］單調(diào)遞減，在（lnb，+∞）單調(diào)遞增，

所以x>0時，所以f（x）≥f（lnb）=elnb-blnb=b-blnb≥0，解得b≤e，所以0

綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍為（-∞，e］.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)b=e時，?x∈（0，+∞），f（x）=exex≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立.

所以x∈（0，+∞），ex≥ex，所以lnex≥lnex，即x≥1+lnx（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時等號成立）.

評析：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基本知識；考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)方程的思想、分類整合思想、數(shù)形結(jié)合思想.當(dāng)問題通過分離得到形如a≤f（x）或a≥f（x）恒成立時，只要求得滿足a≤f（x）min或a≥f（x）max即可.當(dāng)涉及函數(shù)、數(shù)列與不等式等綜合問題時，關(guān)鍵要利用函數(shù)與數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、定義、以及條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行合理變形轉(zhuǎn)化，涉及與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)列問題時還可考慮利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行解決.

總之，函數(shù)導(dǎo)數(shù)在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，尤其近幾年是高考考查的主干知識，掌握函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用對于提高解題能力有著重要的作用，教學(xué)中必須給予重視，平時要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，掌握必要的方法、技巧，提高解決問題能力.

1.鄭一平.常規(guī)的分離參數(shù)解法為何半途而廢［J］.數(shù)學(xué)通訊（上），2014（4）.

2.鄭一平.在比較中發(fā)現(xiàn)區(qū)別，在復(fù)習(xí)中改進(jìn)對策［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（1）.Z