☉海南華僑中學　王明照

淺談改變思維定式優(yōu)化解題

☉海南華僑中學王明照

眾所周知，教學的關(guān)鍵在于啟發(fā)思維，而數(shù)學學習是開發(fā)學生思維很關(guān)鍵的學科，哲學家稱數(shù)學是思維的體操就是這個道理.隨著數(shù)學學習難度的深入，學生對于愈來愈形式化的數(shù)學知識呈現(xiàn)一定的理解困難，對于遇到的數(shù)學問題也會愈來愈依賴于頭腦中固有的解題經(jīng)驗和模式去探索.這種行為在知識層面稱之為模式識別，而在心理學層面稱之為思維定式思考.

大量研究資料表明，依賴于思維定式下的模式識別可以讓現(xiàn)階段中學數(shù)學教學獲得一定的成績，甚至還存在非常優(yōu)秀的表象.但很多資深大學教授對中學數(shù)學教學非常推崇的模式識別有著不同的看法，其認為這種教學方法有一定的應(yīng)試作用，但長期以往必定損害學生獨立思維的發(fā)展和抑制創(chuàng)新能力的提高，因此新課程理念一直致力于改變這樣的教學方式方法.從優(yōu)點來說，思維定式是經(jīng)驗化的總結(jié)，是模式識別到達一定質(zhì)變的產(chǎn)物，可謂具備一定的實用價值.但是從哲學兩面性的角度思考，思維定式對于創(chuàng)新能力的約束有非常沉重的枷鎖作用，其讓學生久而久之缺乏了從不同角度思考問題、提煉思想的創(chuàng)新，因此教師需要對其進行正確、合理的引導.

一、知識層面的思維定式

數(shù)學知識可以看成是很多的單一結(jié)構(gòu)體組成，各知識之間相對獨立卻又不割裂，很多知識間有著內(nèi)在聯(lián)系，比如學習數(shù)列的時候，你不能孤立地就數(shù)列問題進行思考研究，它很多時候更應(yīng)該從函數(shù)知識的角度去思考，有了函數(shù)背景，數(shù)列問題的解決方式自然而然地有了更多的知識角度選擇；在學習圓錐曲線的時候，學生有沒有思考過橢圓、雙曲線、拋物線為什么稱之為圓錐曲線？這難道解析幾何還和立體幾何有著知識上的聯(lián)系？如果解決一個處于兩者交匯處的問題，僅僅依靠一個知識，哪怕再怎么苦思冥想也難以解決問題.因此，在教學中教師需要讓學生懂得各章節(jié)并非孤立地存在，解決這樣的知識層面的思維定式，有助于其跨出提高思維活躍度的第一步.

案例1（習題）：等差數(shù)列｛an｝的前n項和Sn=m，前m項和Sm=n（m≠n），求前m+n項的和Sm+n.

分析：（1）思維定式解答：Sm+n=a1（m+n）+），只需求出a1+即可，由Sn，Sm可以構(gòu)造出，并求出，這里顯然學生的思維停留在數(shù)列問題數(shù)列解法之中；（2）突破知識層面的思維定式，我們可以想象數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，從函數(shù)角度而言，厘清數(shù)列通項公式和求和公式分別是關(guān)于自變量n的何種函數(shù)，借助函數(shù)的模型求解，這樣優(yōu)化問題的解決自然成了知識層面上對于思維定式的一種突破.

思維定式解答：設(shè)｛an｝的公差為d，則由Sn=m，Sm=n

（m≠n），得

知識層面對于思維的突破：設(shè)Sn=An2+Bn（n∈N*），則

∴A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），故Sm+n=-（m+n）.

顯然，利用函數(shù)知識去解決數(shù)列問題，既是本質(zhì)的體現(xiàn)也優(yōu)化了問題的解決.

二、思想層面的思維定式

數(shù)學思想是中學數(shù)學教學的最終目的，長久來說思想方法教學才是數(shù)學教學最終的目標.從中學生現(xiàn)在具備的問題解決能力來看，其往往有時在解決一些特定的問題上無從下手，思路單一，其腦海中固有的模式和思維方式無法尋找高效的、有效的、合理的解決方法，在這樣的背景下，教師要積極引導學生開拓審視問題的不同方式，從更好、更高的思想角度去優(yōu)化問題的解決.

案例2已知向量a，b滿足|a|=|b|=a·b=2，且（a-c）·（b-2c）=0，求最小值.的軌跡是以Q為圓心，以AD為直徑的圓上的點.

思維定式解答：考慮到向量a，b滿足夾角60°，且模長均為定值，也可以采用坐標化的代數(shù)運算來解決，此方法技巧性低，運算量稍大.如圖1，建立直角坐標系，設(shè)

圖1

顯然上述的分析對于代數(shù)要求并不低，而且從向量具備代數(shù)和幾何雙重特點的角度來說，這并不是理想的解決方式，教師要引導學生從不同數(shù)學思想的角度去認識問題，因此利用以形輔數(shù)的視角重新審視問題：

思想層面對于思維的突破：若對條件分析可知，向量a，b滿足夾角60°，條件轉(zhuǎn)化為，可知（a-c）⊥，這樣問題就圍繞向量a，b，c建構(gòu)圖形解決.如圖2，設(shè)D為線段OB中點，則c，由題意可知（a-c），即∠ACD=90°，可知點C

圖2

顯然，數(shù)形結(jié)合思想在向量中的滲透，將各種向量的幾何意義清晰地展示了出來，對不定式代數(shù)化思維解決問題帶來了優(yōu)化.

三、意識形態(tài)的思維定式

上述兩種情形都是從數(shù)學的視角進行分析，可以這么說，對于改變學生固有思維方式看待問題是有一定的效果.從課程理念上來說，僅僅改變數(shù)學層面的思維定式還是不夠的，筆者以為還可以從意識形態(tài)的角度融入數(shù)學問題解決，更進一步地讓思維定式下的模式識別解題和創(chuàng)新認知解題運用得更為靈活一些，從而讓學生的頭腦完全活躍和開發(fā)出來，使其在后續(xù)學習生活中能不斷突破自我，實現(xiàn)一定程度的創(chuàng)新.

案例3在△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線長為9，當△ABC的面積最大時，此時的AB的長為____________.

分析：這樣的問題學生也并非不能解決，有不少學生可以解決，但是學生解決的方式有偶然性，從心理學角度來說是一種偶然條件下的解決，下次遇到類似問題其又不能完全解決，即意識形態(tài)上來說還未能挖掘到數(shù)學問題本質(zhì)的解法.從意識形態(tài)上突破固有的、又有些偶然的思維定式，教師在教學中正是需要加強一題多解的引導，從多解上去開拓引導學生思維的多樣性、多角度性，才能破除意識形態(tài)上的思維定式.

突破法一（阿波羅尼斯圓）：設(shè)AC上的中線為BD，以B為原點，BD所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則D（9，0），設(shè)A（x，y），由AB=2AD，得化簡得A點的軌跡方程為（x-12）2+y2=36，所以當△ABC的面積最大時，即△ABD的面積最大，此時A（12，6），所以

突破法二（平行四邊形結(jié)論）：設(shè)AB=AC=b，BC=a，有2（a2+b2）=182+b2，即2a2+b2=182.而54，當且僅當9a2=4b2-a2，此時解得b=6√5.

從高端的角度去突破問題，是意識形態(tài)上的一種進步，它摒棄了以往對于此類問題只能蠻干、苦算、不知方式方法的苦楚，利用稍高的數(shù)學觀點改變了思維的定式，開拓了數(shù)學視野、優(yōu)化了數(shù)學解題.還有很多類似的知識，如近年來向量中的極化恒等式、阿基米德三角形、阿波羅尼斯圓等等，請讀者不斷補充.

總之，思維定式并非完全是壞事，它至少從一定程度上說明了學習經(jīng)驗積累的重要性，這種積累也大大優(yōu)化了其腦海中問題解決的模式化.但是，固有的思維定式對于創(chuàng)新思維的開發(fā)有一定的阻礙作用，這里需要教師通過數(shù)學教學加以引導，特別是數(shù)學思想方法層面和意識形態(tài)層面的，久而久之，這樣的引導勢必加強了學生思維的活躍度，對于優(yōu)化問題的解決、思維靈活度的培養(yǎng)都是大有益處的.

1.傅瑞琦.試題分析讓教研更精彩［J］.中國數(shù)學教育，2012（3）.

2.曹鳳山.你能看出結(jié)果嗎？——以一道例題的探究為例［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2011（9）.

3.宋衛(wèi)東.從生“動”到生動，詮釋思維品質(zhì)的提升［J］.中學數(shù)學月刊，2013（5）.Z