☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林 李秀萍
向量應(yīng)用的研究性學(xué)習(xí)*
☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院趙思林李秀萍
所謂數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí),是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下,從數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部或其他領(lǐng)域(包括非數(shù)學(xué)的學(xué)科、自然、社會和生活等)中選擇并確定研究性問題,對該問題側(cè)重于數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的探索和研究,并在探索和研究過程中主動地獲取數(shù)學(xué)知識、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、解決問題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動.向量在代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何、平面幾何中有著非常廣泛的應(yīng)用.基于向量廣泛的應(yīng)用,可以在高三復(fù)習(xí)時以“向量應(yīng)用”為課題組織一次研究性學(xué)習(xí).
a·b=|a|·|b|·cos=x1x2+y1y2.(平面向量)
a·b=|a|·|b|·cos=x1x2+y1y2+z1z2.(空間向量)
|a·b|≤|a|·|b|.
因為|a·b|≤|a|·|b|,
證明:設(shè)a=(x1,x2),b=(y1,y2),
因為|a·b|≤|a|·|b|,
所以|x1y1+x2y2|≤
兩邊平方,得
應(yīng)用3:由|x1y1+x2y2|
應(yīng)用4:由向量可證明柯西不等式的分式形式:
其證明留給讀者.
1.證明余弦定理(2011年陜西文、理科試題)
證法1:用勾股定理,分銳角、鈍角討論.
在銳角三角形中,如圖1所示,已知a,c,B,求b.
證明:因為BD=c·cosB,所以DC=a-c·cosB,而AD=c· sinB,在Rt△ACD中,根據(jù)勾股定理可得b2=AD2+DC2?b2=(csinB)2+(a-ccosB)2.
化簡整理可得b2=c2+a2-2ac·cosB.
同理鈍角三角形中可證明.
圖1
圖2
證法2:建系,如圖2,B(c,0),C(bcosA,bsinA),0<A<π.
由于a2=|BC|2,
所以a2=(bcosA-c)2+(bsinA)2,整理可得
a2=b2+c2-2bc·cosA.
圖3
即b2=c2+a2-2a·c·cosB.
2.證明:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
這個公式2010年的四川卷考過,得分率極低.
所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.
注意:這里需要討論α-β=2kπ+θ,k為整數(shù),0≤θ≤π.
1.空間角
圖4
圖5
圖6
圖7
判斷二面角是銳角或鈍角一般用觀察法.
另法:用定義嚴(yán)格來算二面角的平面角,θ=
2.空間距離
(1)點面距離.
方法2(投影法):
圖8
圖9
(2)異面直線距離.
直線a與直線b為異面直線,要求其距離,將直線a平行移動與直線b相交,構(gòu)成平面α,由于直線a平行于平面α,故直線a上任意一點到平面內(nèi)任意一點的距離相等且等于異面直線a與b的距離,轉(zhuǎn)化為點面距離.
(3)線(面)面距離.
線面距離,直線與平面平行,找直線上任意一點到平面內(nèi)的距離為線面距離,即轉(zhuǎn)化為點面距離.
面面距離,平面與平面平行,面面距離可以直接轉(zhuǎn)化為點面距離.
,而要得到|P1Q|或者|P2Q|的長度,需要根據(jù)沙爾公式才能得到.
方法2:P1(x1,y1),P2(x2,y2),通過向量的定義可得
1.兩點距離公式
方法1:用勾股定理|P1P2|=
圖10
圖11
2.定比分點公式
(x2-x,y2-y),代入,可得
在高考中,??嫉氖铅?1的情形,即中點公式:
3.直線的方程
圖12
設(shè)v=(m,n)≠0,P0(x0,y0),由于所以λv.
所以(x-x0,y-y0)=λ(m,n),
在高等數(shù)學(xué)中約定:當(dāng)m=0時,x=x0;當(dāng)n=0時,y=y0.
將上述方程也可寫成整式形式的方程:n(x-x0)=m(y-y0).這就不必考慮m=0或n=0了.
這說明上述方法有推廣價值,屬于常說的通性通法.
上述方法還表明建立直線方程不必用“斜率”這個概念和理論.其實“斜率”在空間解析幾何中是沒法用的,或者說是沒有用的.
4.點到直線的距離公式
請讀者嘗試用向量法推導(dǎo).
5.圓的方程
設(shè)AB為圓的直徑,已知A(x1,y1),B(x2,y2),試推導(dǎo)圓的方程.
所以有(x-x1,y-y1)·(x-x2,y-y2)=0,
整理即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,也即
6.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
已知圓心C(x0,y0),圓的半徑為R,也可由向量推理得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
所以(x-x0,y-y0)·(x-x0,y-y0)=R2,
化簡即(x-x0)2+(y-y0)2=R2.
7.橢圓的方程
通過上面的探討,學(xué)生對向量的應(yīng)用就有比較全面的認(rèn)識,從而真切體會向量的應(yīng)用價值.Z
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