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        向量應(yīng)用的研究性學(xué)習(xí)*

        2016-11-25 02:00:55內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院趙思林李秀萍
        中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2016年9期
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)

        ☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 趙思林 李秀萍

        向量應(yīng)用的研究性學(xué)習(xí)*

        ☉內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院趙思林李秀萍

        所謂數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí),是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下,從數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部或其他領(lǐng)域(包括非數(shù)學(xué)的學(xué)科、自然、社會和生活等)中選擇并確定研究性問題,對該問題側(cè)重于數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的探索和研究,并在探索和研究過程中主動地獲取數(shù)學(xué)知識、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、解決問題的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動.向量在代數(shù)、三角、立體幾何、解析幾何、平面幾何中有著非常廣泛的應(yīng)用.基于向量廣泛的應(yīng)用,可以在高三復(fù)習(xí)時以“向量應(yīng)用”為課題組織一次研究性學(xué)習(xí).

        一、向量在代數(shù)中的應(yīng)用

        a·b=|a|·|b|·cos=x1x2+y1y2.(平面向量)

        a·b=|a|·|b|·cos=x1x2+y1y2+z1z2.(空間向量)

        |a·b|≤|a|·|b|.

        因為|a·b|≤|a|·|b|,

        證明:設(shè)a=(x1,x2),b=(y1,y2),

        因為|a·b|≤|a|·|b|,

        所以|x1y1+x2y2|≤

        兩邊平方,得

        應(yīng)用3:由|x1y1+x2y2|

        應(yīng)用4:由向量可證明柯西不等式的分式形式:

        其證明留給讀者.

        二、向量在三角中的應(yīng)用

        1.證明余弦定理(2011年陜西文、理科試題)

        證法1:用勾股定理,分銳角、鈍角討論.

        在銳角三角形中,如圖1所示,已知a,c,B,求b.

        證明:因為BD=c·cosB,所以DC=a-c·cosB,而AD=c· sinB,在Rt△ACD中,根據(jù)勾股定理可得b2=AD2+DC2?b2=(csinB)2+(a-ccosB)2.

        化簡整理可得b2=c2+a2-2ac·cosB.

        同理鈍角三角形中可證明.

        圖1

        圖2

        證法2:建系,如圖2,B(c,0),C(bcosA,bsinA),0<A<π.

        由于a2=|BC|2,

        所以a2=(bcosA-c)2+(bsinA)2,整理可得

        a2=b2+c2-2bc·cosA.

        圖3

        即b2=c2+a2-2a·c·cosB.

        2.證明:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

        這個公式2010年的四川卷考過,得分率極低.

        所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

        注意:這里需要討論α-β=2kπ+θ,k為整數(shù),0≤θ≤π.

        三、向量在立體幾何中的應(yīng)用

        1.空間角

        圖4

        圖5

        圖6

        圖7

        判斷二面角是銳角或鈍角一般用觀察法.

        另法:用定義嚴(yán)格來算二面角的平面角,θ=,其中v1,v2分別為其半平面內(nèi)垂直于棱的向量.

        2.空間距離

        (1)點面距離.

        方法2(投影法):

        圖8

        圖9

        (2)異面直線距離.

        直線a與直線b為異面直線,要求其距離,將直線a平行移動與直線b相交,構(gòu)成平面α,由于直線a平行于平面α,故直線a上任意一點到平面內(nèi)任意一點的距離相等且等于異面直線a與b的距離,轉(zhuǎn)化為點面距離.

        (3)線(面)面距離.

        線面距離,直線與平面平行,找直線上任意一點到平面內(nèi)的距離為線面距離,即轉(zhuǎn)化為點面距離.

        面面距離,平面與平面平行,面面距離可以直接轉(zhuǎn)化為點面距離.

        四、向量在解析幾何中的應(yīng)用

        ,而要得到|P1Q|或者|P2Q|的長度,需要根據(jù)沙爾公式才能得到.

        方法2:P1(x1,y1),P2(x2,y2),通過向量的定義可得

        1.兩點距離公式

        方法1:用勾股定理|P1P2|=

        圖10

        圖11

        2.定比分點公式

        (x2-x,y2-y),代入,可得

        在高考中,??嫉氖铅?1的情形,即中點公式:

        3.直線的方程

        圖12

        設(shè)v=(m,n)≠0,P0(x0,y0),由于所以λv.

        所以(x-x0,y-y0)=λ(m,n),

        在高等數(shù)學(xué)中約定:當(dāng)m=0時,x=x0;當(dāng)n=0時,y=y0.

        將上述方程也可寫成整式形式的方程:n(x-x0)=m(y-y0).這就不必考慮m=0或n=0了.

        這說明上述方法有推廣價值,屬于常說的通性通法.

        上述方法還表明建立直線方程不必用“斜率”這個概念和理論.其實“斜率”在空間解析幾何中是沒法用的,或者說是沒有用的.

        4.點到直線的距離公式

        請讀者嘗試用向量法推導(dǎo).

        5.圓的方程

        設(shè)AB為圓的直徑,已知A(x1,y1),B(x2,y2),試推導(dǎo)圓的方程.

        所以有(x-x1,y-y1)·(x-x2,y-y2)=0,

        整理即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,也即

        6.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

        已知圓心C(x0,y0),圓的半徑為R,也可由向量推理得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

        所以(x-x0,y-y0)·(x-x0,y-y0)=R2,

        化簡即(x-x0)2+(y-y0)2=R2.

        7.橢圓的方程

        通過上面的探討,學(xué)生對向量的應(yīng)用就有比較全面的認(rèn)識,從而真切體會向量的應(yīng)用價值.Z

        教育部“本科教學(xué)工程”四川省地方屬高校本科專業(yè)綜合改革試點項目——內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)“專業(yè)綜合改革試點”項目(ZG0464);四川省高等教育“質(zhì)量工程”數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)綜合改革項目之子項目——地方高師院校應(yīng)用型數(shù)學(xué)教育人才培養(yǎng)模式創(chuàng)新實驗區(qū);四川省高等教育“質(zhì)量工程”數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)綜合改革項目之子項目——教改課題(2011-2015):高師數(shù)學(xué)教育類課程研究性教學(xué)實踐探索;四川省“西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計劃”項目.趙思林教授是碩士研究生李秀萍的導(dǎo)師.

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        數(shù)學(xué)到底有什么用?
        新民周刊(2016年15期)2016-04-19 15:47:52
        我難過,因為我看到數(shù)學(xué)就難過
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