☉江蘇省如皋市第二中學(xué)　孫　華

導(dǎo)數(shù)法證明不等式問題中的幾個技巧

☉江蘇省如皋市第二中學(xué)孫華

構(gòu)造函數(shù)進而利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題是高考的常考題型，且常以壓軸題的形式出現(xiàn).準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)是此類問題求解的關(guān)鍵，有些問題可以根據(jù)所給不等式直接構(gòu)造，有些問題需要將不等式等價轉(zhuǎn)化后構(gòu)造，本文就其中構(gòu)造的技巧舉例分析.

一、以導(dǎo)數(shù)符號易于判斷為方向進行構(gòu)造

（Ⅰ）求l的方程；

（Ⅱ）求證：除切點（1，0）之外，曲線C在直線l的下方.

解析：（Ⅰ）l的方程為y=x-1.

設(shè)g（x）=x2-x-lnx，則g′（x）=2x-1-

當(dāng)g′（x）=0時，即2x2-x-1=0，解得x=1，x=-

所以當(dāng)01時，g′（x）>0，故g（x）單調(diào)遞增.

所以，當(dāng)x>0且x≠1時，g（x）>g（1）=0，即除切點外，曲線C在直線l的下方.

二、先換元再構(gòu)造

因為t∈（1，+∞），所以h′（t）>0，所以h（t）在t∈（1，+∞）上為增函數(shù).

點評：對于目標(biāo)不等式，如果左右作差直接構(gòu)造函數(shù)f（m）=，求導(dǎo)過程非常復(fù)雜而且導(dǎo)數(shù)符號不易判定.此時把換元成t，原不等式就變形為，再作差就得到函數(shù)，該函數(shù)求導(dǎo)容易而且符號極易判定，此時難度陡然降低，換元的價值得到淋漓盡致的體現(xiàn).一般地，當(dāng)對數(shù)的真數(shù)部分或指數(shù)的指數(shù)部分較復(fù)雜時，可考慮先換元再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，往往會起到四兩撥千斤的效果.

三、根據(jù)前后關(guān)聯(lián)構(gòu)造

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最大值；

（Ⅱ）證明：當(dāng)k∈N*且k≥2時

，當(dāng)x=1等號成立.

，所

所以，當(dāng)k∈N*且k≥2時，ln

點評：同學(xué)們在看到第（Ⅱ）問時感覺一頭霧水，其實若從高視角審視問題，題目中設(shè)置兩問，理論上來講這兩問之間必然存在某種聯(lián)系.故可將第（Ⅰ）問的不等式特殊化，令a=1，則得到lnx+1

四、變更主元進行構(gòu)造

例4（2013全國高考理科）已知函數(shù)f（x）=ex-ln（x+ m）.

（Ⅰ）設(shè)x=0是f（x）的極值點，求m的值，并討論f（x）的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)m≤2時，證明f（x）>0.

解析：（Ⅰ）由題意易知，f′（x）=ex-1 x+m.

因為x=0是f（x）的極值點，所以f′（0）=0，從而m=1.

所以f（x）=ex-ln（x+1），其定義域是（-1，+∞），f′（x）=在（-1，+∞）單調(diào)遞增.

又f′（0）=0，因此當(dāng)x∈（-1，0）時，f′（x）<0；當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）>0.

所以函數(shù)f（x）在（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

（Ⅱ）證明：把m看成主元，令f（x）=g（m）=-ln（m+x）+ ex，m∈（-∞，2］，

所以f（x）≥［g（m）］min=-ln（2+x）+ex，

只要再證明-ln（2+x）+ex>0即可.

再令h（x）=ex-ln（2+x），

h（′x）=ex-在（-2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.

又由h′（x）=0，即方程ex-在（-2，+∞）上的圖像易知，h′（x）=0有且只有一個零點，設(shè)為x0.又h′（-1）<0，h′（0）>0，所以x0∈（-1，0），從而當(dāng)x∈（-2，x0）時，h′（x）<0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時，h′（x）>0.所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（-2，x0）內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間（x0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增.因此函數(shù)h（x）在x=x0處取最小值.

由h′（x0）=0，即ex0

綜上所述，對m≤2，f（x）>0恒成立.

點評：要證明f（x）>0，只要研究f（x）=ex-ln（x+m），x∈（-m，+∞）的值域即可，若把x看成主元，對f（x）求導(dǎo)后符號不容易判定.但是若把m看成主元，則g（m）=-ln（m+x）+ex，m∈（-∞，2］，而g（m）很容易判斷為減函數(shù)，所以g（m）的最小值就是g（2）=ex-ln（2+x），這樣就得到了f（x）≥-ln（2+x）+ex，這樣就找到了把f（x）放縮到0的中間橋梁.變更主元，視角發(fā)生了改變，關(guān)注點得到了轉(zhuǎn)移，這是不等式證明中常用的技巧，若能使用得當(dāng)，可出奇效.另外，本例在求導(dǎo)函數(shù)零點時，不易求出具體的零點，此類問題我們常稱為“隱零點”，但可將零點用字母表示，再判斷零點左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號，進而用零點表示出函數(shù)的最值來證明所求證的不等式.

五、設(shè)而不求，整體代換

例5（2015年全國新課標(biāo)I卷）設(shè)函數(shù)f（x）=e2x-alnx.

（Ⅰ）討論f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的零點的個數(shù)；

解析：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=2e2x-（x>0）.由f′（x）=0，得2xe2x=a.

令g（x）=2xe2x，g′（x）=（4x+2）e2x>0（x>0），從而g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，所以g（x）>g（0）=0.

當(dāng)a>0時，方程g（x）=a有一個根，即f′（x）存在唯一零點；

當(dāng)a≤0時，方程g（x）=a沒有根，即f′（x）沒有零點.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可設(shè)f′（x）在（0，+∞）的唯一零點為x0，當(dāng)x∈（0，x0）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時，f′（x）＞0.

故f（x）在（0，x0）單調(diào)遞減，在（x0，+∞）單調(diào)遞增，所以［f（x）］min=f（x0）.

，［f（x）］min在f′（x）的零點處取到.但 f′（x）=0是超越方程，無法求出來其解，我們沒有直接求解x0，而是“設(shè)而不求”.這樣處理的好處在于，通過對x0滿足的等式的合理代換使用，快速將超越式然后使用均值不等式求出最小值同時消掉了x0.在求解的過程中，不要急于消掉x0，而應(yīng)該著眼于將超越式化簡為普通的代數(shù)式.Z