☉浙江省寧波市北侖中學　范東暉

轉換問題助力解題

☉浙江省寧波市北侖中學范東暉

審題是解題的關鍵，審題不僅僅是看清題目，而且應該是體會題目的含意，然后轉化成比較容易解決的問題，即進行問題轉換，這樣才能順利地解決問題.問題轉換是一種重要的思維模式，也是解決數(shù)學問題的一種重要的思想方法.它可以將未知問題、不熟悉問題轉換為熟悉問題，將復雜問題轉換為簡單問題.本文以近年解析幾何高考試題為例，來談談轉換的途徑與功效.

一、借助圖形性質，回歸基礎

（Ⅰ）求橢圓C的方程，并求點M的坐標（用m，n表示）.

（Ⅱ）設O為原點，點B與點A關于x軸對稱，直線PB交x軸于點N.問：y軸上是否存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求點Q的坐標；若不存在，說明理由.

（Ⅱ）如圖1，假設y軸上存在點Q，使得∠OQM=∠ONQ，又∠QOM=∠NOQ=90°，則△OQM～△ONQ，所以|OQ|2=|OM|· |ON|.

因為點B與點A關于x軸對稱，所以B（m，-n）.

圖1

設N（xN，0），

于是|OQ|2=|OM|·|ON|=xM·xN=，從而點Q的坐標為

評注：本題通過兩次的三角形相似，回歸到初中相似比這一基本問題中，列出關于點的坐標的等量關系，從而簡潔快速求出點的坐標.

二、利用向量工具，簡化運算

（Ⅰ）求橢圓E的方程；

（Ⅱ）設直線l：x=my-1（m∈R）交橢圓E于A，B兩點，判斷點G）與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由.

（Ⅱ）設點A（x1，y1），B（x2，y2），則

評注：判斷點和圓的位置關系，可以利用定義，即點到圓心距離和半徑比較大小，將直線方程和橢圓E方程聯(lián)立，利用韋達定理求弦AB的中點H（即圓心坐標）利用兩點之間距離公式求，再利用弦長公式求，從而可求得半徑，進而比較大小判斷點和圓的位置關系，這樣做顯然運算量比較大.而本題利用向量工具，通過判斷向量數(shù)量積的正負來確定點和圓的位置關系：點G在圓內；點G在圓外?點G在圓上，這樣轉化就達到了預期簡化運算的效果.

三、變換思考角度，另辟蹊徑

圖2

解析：（Ⅰ）略.（Ⅱ）設P（x0，y0）是橢圓上一點，且x0>0，y0>0，則橢圓在P點處切線l方程為：1，所以橢圓在P點處法線l2方程為

顯然題設中的P點到直線l1距離恰等于坐標原點到此法線l2的距離，設為d.

評注：本題通常的做法是聯(lián)立直線與橢圓的方程求出點P的坐標，運算煩瑣，很容易出錯，而通過法向量來考慮，將P點到直線l1距離恰轉化為坐標原點到法線l2的距離則要簡便很多，可謂另辟蹊徑，讓人耳目一新.

四、巧用換元手段，出奇制勝

例4（2015年山東高考理科20題）平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：，左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2.以F1為圓心、3為半徑的圓與以F2為圓心、1為半徑的圓相交，且交點在橢圓C上.

（Ⅰ）求橢圓C的方程.

（ii）求△ABQ面積的最大值.

設P（2cosα，sinα），

則Q（4cos（α+π），2sin（α+π）），即Q（-4cosα，-2sinα），

（ii）設A（4cosθ，2sinθ），B（4cosφ，2sinφ），由橢圓的對稱性及直線AB與橢圓C有公共點知，線段AB的中點M（2cosθ+2cosφ，sinθ+sinφ），在橢圓C上或其內部，則

評注：本題常規(guī)解法是通過列方程求解，算出線段的長度比，利用弦長得到三角形面積的表達式后，再利用換元的方法轉化為二次函數(shù)求最值，這樣做若沒有很強的整體把握和運算求解能力，往往容易半途而廢，無功而返.而采用三角換元，將問題轉化到三角變換的體系內進行求解，則是事半功倍，水到渠成.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（Ⅱ）若動點P（x0，y0）為橢圓外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

（Ⅱ）當切線的斜率存在且不為0時，設過P（x0，y0）點的切線為于是橢圓轉化為圓X2+Y2=1，切線y-y0=k（x-x0）轉化為3kX-2Y-kx0+y0=0，由于伸縮變換后圓與直線仍是相切的，故圓心到直線的距離即（-kx0+y0）2=9k2+4.

當切線的斜率為0或不存在時，P的坐標為（±3，±2）滿足

故點P的軌跡方程為x2+y2=13.

評注：本題通過代數(shù)換元將橢圓問題轉化為圓的問題來解決，降低了思維的難度和強度，對于圓的問題的處理，輕車熟路，處理起來得心應手.

1.2015年全國各地高考數(shù)學試題分類解析［J］.中學數(shù)學，2015年（增刊）.

2.2014年全國各地高考數(shù)學試題分類解析［J］.中學數(shù)學，2014年（增刊）.Z