☉江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)　樊　亞

一元二次方程根的分布在解題中的應(yīng)用

☉江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)樊亞

函數(shù)、不等式、方程三者向來(lái)是數(shù)學(xué)中關(guān)系最好的“三兄弟”.在高考數(shù)學(xué)中，一元二次函數(shù)、一元二次不等式以及一元二次方程則占有更加重要的地位，其聯(lián)系也更為緊密，能否處理好三者之間的關(guān)系，直接影響到學(xué)生在解題時(shí)能否找到最優(yōu)的解題方法.

學(xué)習(xí)一元二次方程根的分布，可以使學(xué)生對(duì)一元二次方程有更深層次的理解，同時(shí)也可以更好地體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)的提高有莫大的好處.下面我們將會(huì)介紹幾種解決一元二次方程根的分布類問(wèn)題的方法.

一、不分離參數(shù)，直接構(gòu)建二次函數(shù)

例1已知關(guān)于x的方程x2+2（m-1）x+2m+6=0，求滿足下列條件的實(shí)數(shù)m的范圍：

（1）有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比2大，一個(gè)比2?。?/p>

（2）有兩個(gè)實(shí)根α，β，且滿足0<α<1<β<4；

（3）至少有一個(gè)正根.

設(shè)f（x）=x2+2（m-1）x+2m+6.

（1）依題意有f（2）<0，即4+4（m-1）+2m+6<0，得m< -1.

（2）依題意有

（3）方程至少有一個(gè)正根，則有三種可能：

②有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，此時(shí)可得f（0）<0，得m< -3.

綜上所述，得m≤-1.

點(diǎn)評(píng)：直接把方程設(shè)成函數(shù)，再根據(jù)一元二次方程根的分布規(guī)律列出不等式組，進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍.在這里，需要注意的問(wèn)題是：列出的不等式組一定要完整，不要遺漏任何一個(gè)限制條件，否則將會(huì)導(dǎo)致答案范圍不完整.

二、分離參數(shù)，利用函數(shù)值域反求參數(shù)范圍

例2若a∈R，函數(shù)f（x）=2ax2+2x-3-a，假如函數(shù)y= f（x）在［-1，1］上與x軸有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的范圍.

解析1：y=f（x）在［-1，1］上與x軸有交點(diǎn)，也就是說(shuō)方程f（x）=2ax2+2x-3-a=0在［-1，1］上有解，當(dāng)a=0時(shí)，不符合題意，所以a≠0.

方程f（x）=0在［-1，1］上有解?f（-1）·f（1）≤0或

解析2：當(dāng)a=0時(shí)，不符合題意，所以a≠0，雙管齊下，f（x）=2ax2+2x-3-a=0在［-1，1］上有解?（2x2-1）a=3-2x在［-1，1］上有解在［-1，1］上有解，這樣就相當(dāng)于求函數(shù)上的取值范圍.

設(shè)t=3-2x，x∈［-1，1］，則2x=3-t，t∈［1，5］，

點(diǎn)評(píng)：第一種方法是直接應(yīng)用一元二次方程根的分布有關(guān)結(jié)論來(lái)解的，計(jì)算比較復(fù)雜而且對(duì)于規(guī)律的記憶要求較高.第二種方法是當(dāng)方程中的參數(shù)比較容易分離出來(lái)的時(shí)候，可以先嘗試分離參數(shù)，構(gòu)造出一個(gè)新的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)求出值域，也就是參數(shù)的取值范圍.

三、換元法

例3設(shè)關(guān)于x的方程4x-2x+1-b=0（b∈R）.

（1）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

（2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解.

解析：（1）原方程可變?yōu)閎=4x-2x+1.

因?yàn)?x-2x+1=（2x）2-2×2x=（2x-1）2-1≥-1，

故當(dāng)b∈［-1，+∞）時(shí)方程有實(shí)數(shù)解.

（2）①當(dāng)b=-1時(shí)，2x=1，故方程有唯一解x=0.

②當(dāng)b>-1時(shí)，因?yàn)椋?x-1）2=1+b?2x=1±

又2x>0，1+

故當(dāng)-1

綜合①②，得當(dāng)-1

點(diǎn)評(píng)：在這道題中可以使用換元法，設(shè)2x=t，方程變?yōu)閠2-2t-b=0，在這里，我們一定要注意自變量的取值范圍，t>0，所以原方程有解并不等價(jià)于方程t2-2t-b=0有解，而相當(dāng)于于方程t2-2t-b=0在（0，+∞）內(nèi)有解.它的原理是：若關(guān)于x的方程a=f（x）有解，則a∈f（x）的值域.

四、方程根的分布與線性規(guī)劃的結(jié)合

例4關(guān)于x的方程x2-ax+2b=0的一個(gè)實(shí)根在［0，1］上，另一根在［1，2］上，則2a+3b的最大值為_(kāi)_____.

解析：設(shè)函數(shù)f（x）=x2-ax+2b，

作出可行域，如圖，設(shè)l z=2a+3b，當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)A（3，1）時(shí)，z=2a+3b有最大值為9.

點(diǎn)評(píng)：看到本題最后要求2a+3b的最大值時(shí)，想到可以用線性規(guī)劃的方法來(lái)解決本題，但是缺少相關(guān)的約束條件，也就是a和b的取值范圍.再根據(jù)題中給出的條件，方程的一個(gè)實(shí)根在［0，1］上，另一根在［1，2］上，可以根據(jù)一元二次方程根的分布來(lái)寫出不等式組，進(jìn)而求出a和b的取值范圍.本題所用的方程根的分布可以總結(jié)如下：

根的分布圖像表達(dá)式m0 f（n）<0 f（p）<0 f（q）>0

小結(jié)：幾道典型例題可以說(shuō)明，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候構(gòu)造一元二次方程根的分布模型來(lái)解決問(wèn)題還是很有效的，平常教師在教學(xué)中多注意挖掘，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考探究，除問(wèn)題本身得到解決，也能激發(fā)學(xué)生思考的積極性，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

1.康士凱.新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)解題思維方法［M］.上海：上海科學(xué)普及出版社，2012.

2.鐘山.高中數(shù)學(xué)解題方法技巧規(guī)律大全［M］.北京：現(xiàn)代教育出版社，2014.

3.薛金星.怎樣解題（高中數(shù)學(xué)）［M］.北京：知識(shí)出版社，2014.

4.任勇.高中數(shù)學(xué)高效學(xué)習(xí)法［M］.北京：人民日?qǐng)?bào)出版社，2014.Z