☉陜西省榆林市蘇州中學　秦紅巖

巧用解幾模型解題實例

☉陜西省榆林市蘇州中學秦紅巖

數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微.”這句話就是說利用數(shù)形結(jié)合的思想，可連接代數(shù)和幾何的關(guān)系，實現(xiàn)化難為易.直角坐標系正是數(shù)和形之間的重要橋梁，通過直角坐標系可以把許多幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決.同樣地，許多代數(shù)問題也能構(gòu)造出圖形中的幾何關(guān)系來巧解，本文對構(gòu)造解析幾何模型解決代數(shù)問題的幾種常見思路進行簡單地整理如下，供大家參考.

一、構(gòu)造幾何圖形解題

例1在△ABC中，已知a=10，c-b=8，求證：tan

分析：在△ABC中，a=10，c-b=8，聯(lián)想雙曲線的定義構(gòu)造雙曲線的一支.

解：如圖1，建立直角坐標系

由|BC|=10，|AB|-|AC|=8，

圖1

作△ABC的內(nèi)切圓，圓心O′，三個切點分別為D，E，F(xiàn)，BD+DC=10，BD-DC=BF-CE=（BF+AF）-（CE+AE）= AB-AC=8，

所以BD=9，DC=1.

簡評：構(gòu)造這樣的雙曲線，結(jié)合平面幾何知識，使得證明方法更為簡單.

變題：在△ABC中，已知a=10，c-b=8，△ABC的面積為15，則________.

解：如圖2，建立直角坐標系

由|BC|=10，|AB|-|AC|=8，B（-5，0），C（5，0），

圖2

【思考】此題直接利用三角形需要余弦定理，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，得出bc，cosA，sinA的關(guān)系，從而解出數(shù)量積，相對有些復雜，聯(lián)系雙曲線的定義，巧用解幾模型，容易理解，且解題方便.

例2如圖3，在四面體ABCD中，AD與BC互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a，c為常數(shù)，則四面體ABCD的體積的最大值是________.

解：作BH⊥DA于H，連接CH，說明B與C都是在以AD為焦距的橢球上，且BH、CH都垂直于長軸所在直線AD.設(shè)AB=x，AC=y，AH=m，則BD=2a-x，CD=2a-y，DH=2c-m.由BH2=x2-m2=（2a-x）2-（2c-m）2，

圖3

則x=y，即△BCH是一個等腰三角形.

要使四面體ABCD的體積的最大，只需BH最大即可.橢圓上的動點B到長軸的距離最大值為短軸端點處，即BH2max=a2-c2，

故VABCDmax=

【思考】本題主要考查空間四面體的體積公式、空間中點線面的關(guān)系.本題主要考慮根據(jù)已知條件構(gòu)造體積表達式，這是解決問題的關(guān)鍵，利用橢圓的性質(zhì)找到最值點.本題綜合性強，新穎輕巧，別有奇妙之效，課堂上的反復嘗試，學生都為之歡呼.

二、利用代數(shù)式子的幾何意義求函數(shù)最值

1.借助兩點間的距離公式

則函數(shù)f（x）可視為拋物線y=

x2上的點P（x，x2）到A（3，2），B

（0，1）的距離之差.

||PA|-|PB||≤|AB|，

所以P在AB延長線與y=x2交點P0處時，f（x）max=

圖4

【思考】本題一般見于填空題較多，可能學生有想法，但也不能一眼看出來，若能根據(jù)代數(shù)問題的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想幾何背景，建立解幾模型，然后再利用解析幾何的有關(guān)公式、性質(zhì)、圖形特征、位置關(guān)系探求解法.

2.借助點到直線的距離公式

消元整理得（x-2）2+y2=4（y≥0）.

【思考】本題是應該熟悉圓的方程的函數(shù)形式才能找到突破口.

3.利用平行線間的距離公式

例5已知x，y，a，b∈R，且a+2b+4=0，x+2y=1，求（ax）2+（b-y）2的最小值.

解：（a-x）2+（b-y）2可視為點（a，b）與（x，y）之間的距離的平方，已知條件可視為點（a，b）在直線l1：x+2y+4=0上，點（x，y）在l2：x+2y-1=0上，則有l(wèi)1∥l2.顯然平行直線上任意兩點間的距離不小于這兩平行線間的距離所以（a-x）2+（b-y）2的最小值為5.

4.利用直線的斜率

圖5

【反思】簡單的幾例可以說明，在適當?shù)臅r候構(gòu)造解幾模型將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題的應用還是很廣，平常教師在教學中多注意挖掘，引導學生進行思考探究，除問題本身得到解決，也能激發(fā)學生思考的積極性，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣.

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