☉浙江省余姚市第八中學　張　潔

活躍于直角坐標系中的三角形

☉浙江省余姚市第八中學張潔

從現(xiàn)代數(shù)學教育理論的思想來看，數(shù)學本身是一種人類利用數(shù)學的思維與方法，觀察和解決現(xiàn)實問題或者是對已有的數(shù)學結(jié)論進行抽象、概括、總結(jié)進而形成新結(jié)論的一種探究活動.具體到高中數(shù)學的探究而言，是指學生通過針對某些數(shù)學現(xiàn)象的觀察、思考，采取類似于科學研究的方式，進行主動的研究與探討.

三角形是中學數(shù)學中最基本的平面圖形之一，最大值、最小值問題在中學數(shù)學中又具有很重要的地位.而兩者結(jié)合就得到“三角形中的最大值、最小值”問題.下面就針對平面直角坐標系中三角形面積的最值問題，通過探究讓學生體會對目標函數(shù)中的變量的選擇的重要性，體會解題中合理選擇直線方程形式的重要性，從而培養(yǎng)學生解決有關(guān)最值問題的能力，及在解析幾何中簡化運算能力的意識，使學生的運算能力有實質(zhì)性的提高.通過由淺入深的題型設(shè)置，給學生搭建腳手架，從而增強學生挑戰(zhàn)難題的信心，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，最終掌握解析幾何中的最值問題的解題對策，并會求生長在平面直角坐標系中的三角形面積的最值.

一、呈現(xiàn)例題，分層解決

在三角形中，有且僅有兩條邊在坐標軸上.

例1過點P（2，1）的動直線l交x軸的正半軸于點A，交y軸的正半軸于點B，記△OAB的面積為S（O為坐標原點），求S的最小值.

解法一（用直線的點斜式方程，以直線的斜率為目標函數(shù)的變量）：如圖1，設(shè)A（a，0），B（0，b），則a>0，b>0.

設(shè)直線l的斜率為k（k＜0），

則直線l的方程為y-1=k（x-2）.

圖1

解法二（用直線的兩點式方程，直線在坐標軸上的截距為目標函數(shù)的變量）：如圖1，設(shè)A（a，0），B（0，b），則a>0，b>0，直線l的方程為

所以當a=4時，Smin=4.

解法三（用直線的截距式方程，以直線在坐標軸的兩個截距為變量）：設(shè)A（a，0），B（0，b），則a>0，b>0，直線l的方程為

所以a=4，b=2時，即P點恰為AB的中點時，Smin=4.

二、反思解法，變式推廣

（一）總結(jié)方法

總結(jié)運用目標函數(shù)法解答解析幾何最值問題的解題程序：變量→函數(shù)→定值.

第一步：選擇適當?shù)牧繛樽兞?，并求出變量的取值范圍（目標函?shù)的定義域）；

第二步：把所需求最值的量用上述變量表示出來（求出目標函數(shù)的解析式）；

第三步：求出上述目標函數(shù)的最值即得所需結(jié)論.

（二）變式推廣

本題的更一般的結(jié)論：

變式1設(shè)P（x0，y0）是在第一象限內(nèi)的一個定點，動直線l過點P，且交x軸的正半軸于點A，交y軸的正半軸于點B，記△OAB的面積為S（O為坐標原點），求S的最小值.

解：設(shè)A（a，0），B（0，b），則a>0，b>0，直線l的方程為

由于直線l過點P（x0，y0），所以

而S=1

所以當a=2x0，b=2y0時，即P點恰為AB的中點時，Smin= 2x0y0.

變式2設(shè)P（x0，y0）是平面直角坐標系內(nèi)的一個定點（其中x0y0≠0），動直線l過點P與坐標軸在點P所在的象限圍成的三角形的面積為S，求S的最小值.（Smin=2|x0y0|）

在三角形中，有且僅有一條邊在坐標軸上.

例2（變式3）如圖2，過點

P（2，1）的動直線l交x軸的正

半軸于點A，交射線y=4x（x≥

0）于點B，記△OAB的面積為

S（O為坐標原點），求S的最小

值.

解法一（用直線的點斜式方程，以動直線的斜率為變量）：設(shè)直線l的斜率為k（k<0），則直線l的方程為y-1=k（x-2）.

令y=0，得xA=2-

圖2

解法二（用直線的兩點式方程，以點B的坐標為變量）：如圖3，由于點B在射線y=4x（x≥0）上，所以可設(shè)B（t，4t）（其中t>0），直線l的方程為

圖3

令y=0，得a=xA=2-

作BQ⊥x軸于點Q，

在三角形中，三邊均不在坐標軸上.

例3（變式4）如圖4，過點P（2，1）的動直線l交射線y=-x（x≥0）于點A，交射線y=4x（x≥0）于點B，記△OAB的面積為S（O為坐標原點），求S的最小值.

解法一（以直線l的斜率為目標函數(shù)的變量）：

（1）當直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y-1= k（x-2），即kx-y+1-2k=0，所以原點O到直線AB的距離為

圖4

所以k∈（-∞，-1）∪（4，+∞），

解法二（以直線l在x軸上的截距為目標函數(shù)的變量）：如圖，設(shè)直線l交x軸于點Q（t，0），則t>0，

變式5：如圖5，過定點P（m，0）的動直線l交射線y= xtanα）于點A，交射線y=-xtanβ）于點B，記△OAB的面積為S（O為坐標原點），求S的最小值.

圖5

三、破螢成蝶，脫離坐標

變式6：如圖6，P是定角∠XOY內(nèi)的一個定點，其中|OP|=m，∠XOP=α，∠POY=β，

過點P作直線l交OX于點A，交OY于點B，記△OAB的面積為S.求S的最小值.

圖6

解：令|OA|=a，|OB|=b，

學生在初中開始接觸三角形的面積，到高中升華到怎么求面積的最值，這個過程的跳躍是質(zhì)的飛躍，因此怎么引導學生對面積的理解發(fā)生根本性的轉(zhuǎn)變，這是教學有效性的一種體現(xiàn).我們從形的角度（幾何意義法）和數(shù)的角度（目標函數(shù)法或目標不等式法）入手，結(jié)合坐標系，逐層推進，從三角形中的兩邊與坐標軸平行（或在坐標軸上）到三角形中的僅有一邊與坐標軸平行（或在坐標軸上）到三角形的三邊都不與坐標軸平行（也不在坐標軸上），最終跳出坐標系回歸三角形原始圖形，實現(xiàn)數(shù)學課堂教學的有效與良性發(fā)展，這與新課改的理念也是相吻合的.Z