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運用數(shù)學活動經(jīng)驗提升數(shù)學教學實效

☉江蘇省睢寧高級中學南校劉亞平

建構(gòu)主義者認為：“學習活動不是由教師向?qū)W生傳遞知識，而是學生根據(jù)外在信息，通過自己的背景知識，建構(gòu)自己知識的過程.在這個過程中，學生不是被動的信息吸收者和刺激接受者，他要對外部的信息進行選擇和加工.學習是學生經(jīng)驗體系在一定環(huán)境中自內(nèi)而外的‘生長’，它是以學生原有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)實現(xiàn)知識的建構(gòu).”所以從這個意義上說，數(shù)學不應(yīng)被等同于知識的簡單匯集，而應(yīng)被看成是人類的一種活動，是在一定文化環(huán)境中所從事的創(chuàng)造性活動.既然學習數(shù)學新知是一種在原有數(shù)學活動經(jīng)驗上的再創(chuàng)造性活動，學生應(yīng)該覺得學習數(shù)學“好玩”、“好奇”，并產(chǎn)生濃厚的學習數(shù)學興趣！在有些時候，學生在學習數(shù)學新知時并不缺少必要的知識與經(jīng)驗，但依然覺得數(shù)學異常難學，甚至“不可理喻”！其中一個很重要的原因就是教師在進行教學時，沒有很好地挖掘與構(gòu)建學生知識結(jié)構(gòu)中原有的數(shù)學活動經(jīng)驗來指導(dǎo)學生的學習，促進知識的自然生長.下面筆者結(jié)合蘇教版《數(shù)學》（必修1）第二章“函數(shù)”的一些教學心得，并附以自己的一些思考，談?wù)剶?shù)學活動經(jīng)驗的要義及如何運用數(shù)學活動經(jīng)驗.以期拋磚引玉.

一、數(shù)學活動經(jīng)驗的要義與作用

數(shù)學活動經(jīng)驗是學生個體在經(jīng)歷數(shù)學活動的基礎(chǔ)上獲得的經(jīng)驗，是學生經(jīng)歷數(shù)學活動的過程與結(jié)果的有機統(tǒng)一體，既包括經(jīng)歷數(shù)學活動所獲得的經(jīng)驗本身，也包括經(jīng)歷數(shù)學活動獲得經(jīng)驗的過程［1］.數(shù)學活動經(jīng)驗既有數(shù)學知識的成分，又反映了學習者個體在某一學習階段對相應(yīng)數(shù)學對象的認識，而且是他們經(jīng)歷數(shù)學活動之后所留下的直接感受、體驗與感悟，是知識性成分、體驗性成分、觀念性成分的“組合體”.形成基本活動經(jīng)驗是過程性目標實現(xiàn)的標志，在活動中獲得并積累豐富而有價值的經(jīng)驗則是學生形成智慧、進行創(chuàng)新的重要基礎(chǔ).

2011年課程總目標與時俱進地將傳統(tǒng)的“兩基”改為“四基”，即數(shù)學基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，還指出數(shù)學基本活動經(jīng)驗對高中數(shù)學教學有積極的導(dǎo)向作用.《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》提出：“高中學生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗和一定的科學知識.因此，應(yīng)該選擇學生感興趣的、與生活實際密切相關(guān)的素材，現(xiàn)實世界中的常見現(xiàn)象和其他學科的實例，展現(xiàn)數(shù)學的概念、結(jié)論，體現(xiàn)數(shù)學的思想、方法，反映數(shù)學的應(yīng)用.”教育家杜威說：“一盎司經(jīng)驗所以勝過一噸理論，這是因為只有在經(jīng)驗中，任何理論才具有充滿活力和可以證實的意義.一種經(jīng)驗，一種非常微薄的經(jīng)驗，能夠產(chǎn)生和包含任何分量的理論（或理智的內(nèi)容），但是，離開經(jīng)驗的理論，甚至不能肯定被理解為理論.”

科學實踐也表明，理論與實踐、思維與經(jīng)驗都緊密地交織著，有時理論走在前面，有時經(jīng)驗走在前面，它們總是相互證實、相互補充、相互激發(fā).因此，數(shù)學理論的突破往往是以經(jīng)驗的支持為前提的，經(jīng)驗的應(yīng)用對于數(shù)學理論發(fā)展有著重要意義.

二、運用數(shù)學活動經(jīng)驗

1.在新課引入處運用數(shù)學活動經(jīng)驗

數(shù)學知識具有高度的凝煉性、概括性、抽象性.特別是數(shù)學的高度抽象性很難讓學生體會到數(shù)學知識的意蘊.數(shù)學知識的意蘊是啟動、維持與深化認知活動的原動力，是推動數(shù)學知識產(chǎn)生內(nèi)在的根本力量.學生只有感知和領(lǐng)悟了數(shù)學知識的意蘊，才能理解數(shù)學的基本思想，才能領(lǐng)會數(shù)學思維的奧秘，才能把握數(shù)學的抽象本質(zhì)，把數(shù)學“冰冷”的學術(shù)形態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為易于學生接受的“火熱”的教育形態(tài)的知識.

任何數(shù)學知識的傳授最好都要遵循——由淺入深、由易到難、由具體到抽象、由感性到理性這一認知基本規(guī)律，既不破壞學生思維的連續(xù)性和完整性，也不顛倒學生思維發(fā)展的前后順序.為此，新課程提倡“情景—問題”的教學模式，因為情景創(chuàng)設(shè)是數(shù)學課堂教學的非常重要的一環(huán)，具有生活氣息的問題情景會讓學生更有親近感，以此為載體的數(shù)學知識也最能給學生留下深刻的印象.

在學生學習函數(shù)概念時，教材是以（學生比較熟悉的）1949～1999年我國人口數(shù)據(jù)表、（學生非常陌生的）物體自由下落距離與下落時間滿足的關(guān)系式和（學生比較陌生的）某市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖作為“情景—問題”的導(dǎo)入，目的是為了幫助學生快速地概括出函數(shù)的文字化定義和抽象出函數(shù)的符號化定義，且為后續(xù)即將學習的函數(shù)的三種形式——列表法、解析法與圖像法埋下伏筆.但因為情景設(shè)置有點遠離學生的“生活認知區(qū)”，可能會影響學生很難從抽象、冗長的函數(shù)概念中找出關(guān)鍵字眼，更談不上抓住函數(shù)概念的本質(zhì)，以至于不知其然，更不知其所以然.只所以出現(xiàn)這樣不理想的學習效果，是因為情景引入沒有設(shè)置在學生認知的最佳生長點上，如果把教材上的三個引入換成如下三個情景，可能更會使學生體會到函數(shù)概念的意蘊、把脈函數(shù)概念的本質(zhì).

情景1改為：高一（1）班學生的學號與他們的中考數(shù)學成績一覽表（表略），表格里既有一對一，也有多對一；情景2改為：小明勻速行走的路程y（單位：m）與時間t（單位：s）近似地滿足關(guān)系式y(tǒng)=3x，x>0；情景3改為：某人一天24小時內(nèi)的體溫變化圖（圖略），圖中既有一對一，也有多對一.

對于比較抽象的數(shù)學概念或原理，我們要以最貼近學生生活中的實例（若有必要，也可以采用數(shù)學化的例子）引入，這樣可以化抽象為具體，讓學生體味到鮮活、可親的數(shù)學.但要注意的是，如果把“回歸生活”作為“調(diào)料或包裝”過度使用，就會使數(shù)學失去“數(shù)學味”，學生很難從數(shù)學概念的形成和發(fā)展的過程中領(lǐng)悟到數(shù)學理性思維和數(shù)學符號化的力量.故我們要提防這種“過猶不及”的引入，從生活中構(gòu)建數(shù)學活動經(jīng)驗總的原則是通俗而不庸俗，優(yōu)雅而不失雅，簡約而不簡單.

2.在符號化的提煉處運用數(shù)學活動經(jīng)驗

科爾比關(guān)于經(jīng)驗學習理論有如下觀點，處于理想狀態(tài)的經(jīng)驗至少要經(jīng)過具體經(jīng)驗、反思性觀察、抽象概括和主動實踐四個階段的循環(huán)過程才能完成［2］.由此可知，學生在參與和經(jīng)歷數(shù)學活動的過程中，首先能直接獲得一些數(shù)學活動經(jīng)驗，但是這些經(jīng)驗一開始會處于懵懂、模糊的狀態(tài)，有必要對所經(jīng)歷的數(shù)學活動通過回顧、反思等內(nèi)在思考，將其內(nèi)化為合乎邏輯的經(jīng)驗，實現(xiàn)“感性經(jīng)驗”向“理想經(jīng)驗”的轉(zhuǎn)型，實現(xiàn)“個性經(jīng)驗”向“科學經(jīng)驗”的升級.學生的數(shù)學活動經(jīng)驗一個較高的標志是在數(shù)學活動中能抽象概括，并能進行符號化的操作.數(shù)學知識最終是通過符號化的形式來傳承和考量的.學生只有通過識別各種符號化之間的聯(lián)系、區(qū)別與內(nèi)涵，才能表明學生能正確運用自己的語言把數(shù)學的概念、定義、定理、法則、公式描述出來，進而勾勒出新舊知識之間的關(guān)系，建立新舊知識之間的關(guān)系正當化和確切化.

在學生學習函數(shù)的定義后，知道了函數(shù)有三個要素——定義域、對應(yīng)法則與值域.但仍有可能對函數(shù)定義的本質(zhì)認識不清楚，這是因為在函數(shù)定義的符號化語言提煉中缺乏充分的數(shù)學活動.若教師在給出函數(shù)定義的符號化語言時，增添如下的數(shù)學活動可能會使學生有撥云見日、豁然開朗之妙感.

定義域A中的每個數(shù)x就像原材料，對應(yīng)法則f就像數(shù)字加工器（每個數(shù)x在數(shù)字加工器作用下有且必有唯一產(chǎn)品y與之對應(yīng)），值域C中的每個數(shù)y就像加工產(chǎn)品f（x）.函數(shù)的文字語言定義就變成了函數(shù)的符號化語言定義y=f（x），x∈A.這樣，就順利實現(xiàn)了函數(shù)定義的兩種語言的自然過渡.學生很容易理解為什么集合A中元素不會有剩余，什么是單值對應(yīng)，為什么值域C是集合B的子集等等.這樣，就能快速幫助學生實現(xiàn)從“感性經(jīng)驗”、“個性經(jīng)驗”上升到“理想經(jīng)驗”、“科學經(jīng)驗”，并深切感受到函數(shù)符號化定義的簡潔美、統(tǒng)一美！

從文字語言或圖形語言提煉出符號化語言，是學生學習數(shù)學最為困難、極為重要的一個環(huán)節(jié)，這需要教師不僅要分析教材中數(shù)學知識層面的內(nèi)容，更要以犀利的眼光揭示數(shù)學知識可能蘊涵的數(shù)學活動；不僅要考慮教師教學活動的安排，更要關(guān)注學生學習活動的實際所需［3］.

3.在思維的聚焦處運用數(shù)學活動經(jīng)驗

思維是指理性認識，或指理性認識的過程，它是人腦對客觀事物能動的、間接的和概括的反映.思維包括邏輯思維和形象思維，但通常指邏輯思維.宏觀地看，數(shù)學思維可概括為：一個結(jié)構(gòu)（定義概念—推導(dǎo)性質(zhì)—建立聯(lián)系—實踐應(yīng)用），兩個方向（歸納與演繹），三種語言（文字語言、圖形語言和符號語言），四種形式（邏輯推理、代數(shù)運算、幾何直觀與數(shù)形結(jié)合），并由此而演化出千變?nèi)f化、賞心悅目的具體思維方法.數(shù)學思維是人類智慧的最精彩綻放.這就好比一顆參天大樹，“一個結(jié)構(gòu)，兩個方向，三種語言，四種形式”是根和主干，千變?nèi)f化的具體方法是其枝和葉.

在學生學習函數(shù)的三種表示方法后，可結(jié)合教材33頁例1給出以下變式，激發(fā)學生探究，鍛煉學生的思維.變式1已知一個函數(shù)的解析式為y=f（x）=x2，定義域為｛-1，2｝，求它的值域，并把這個函數(shù)分別用列表法、圖像法表示.

f（x）g（x）f（x）+g（x）f（x）·g（x）單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)不能確定單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)不能確定不能確定單調(diào)減函數(shù)單調(diào)減函數(shù)單調(diào)減函數(shù)不能確定單調(diào)減函數(shù)單調(diào)增函數(shù)不能確定不能確定

變式2已知一個函數(shù)的解析式為y=f（x）=x2，值域為｛1，4｝，求這樣函數(shù)有多少個？并把這樣函數(shù)分別用列表法、圖像法表示.

變式3已知一個函數(shù)的解析式為y=f（x）=x2，值域為［1，4］，求這樣函數(shù)有多少個？試寫出其中的3個函數(shù)，并把這樣函數(shù)分別用列表法、圖像法表示.

函數(shù)的解析法是學生在初中階段學習的最主要、最常見和最熟悉的一種函數(shù)表示方法，即便到了高中學生學習了函數(shù)的三種表示方法后，大部分學生潛意識里仍認為函數(shù)只有一種表示方法——解析法，并且這種錯誤認識“根深蒂固”！為此，筆者旨在通過上述三個變式糾正學生錯誤認識，把函數(shù)的三種表示形式內(nèi)化到學生的知識建構(gòu)中，還重在培養(yǎng)了學生的邏輯推理的能力.邏輯推理是數(shù)學思維的主要形式之一，是發(fā)現(xiàn)提出數(shù)學命題以及論證命題正確與否的重要手段，也是構(gòu)建數(shù)學體系的重要方式.邏輯推理是數(shù)學教學活動的核心，它有利于學生理解一般結(jié)論的來龍去脈、形成舉一反三的能力，有利于學生形成有論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維習慣和交流能力，有利于學生提高探究事物本源的能力［4］.

4.在反思體驗處運用數(shù)學活動經(jīng)驗

反思是對思維過程的再認識，是對思維過程的監(jiān)控.弗萊登塔爾一語中的：“反思是數(shù)學思維活動的核心和動力，沒有反思，學生的理解就不可能從一個水平升華到更高的水平.”作為教學的主導(dǎo)者、幫助者、引導(dǎo)者一定要有反思的意識與習慣，這是因為只有反思型教師才能培養(yǎng)出反思型的學生，學生只有學會反思，才能為學習提供充足的動力，才能有效地進行知識建構(gòu)，才能快速地提高自己的思維能力.因此，教師要多在反思體驗處構(gòu)建數(shù)學活動經(jīng)驗，以促進學生認知的發(fā)展.

函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最重要、最難理解的性質(zhì)之一，教師有必要指導(dǎo)學生對教材第45頁的（探究·拓展）第13題進行討論、交流、論證與反思.

13.已知函數(shù)f（x）、g（x）的定義域都為F，試根據(jù)條件，用“單調(diào)增函數(shù)”、“單調(diào)減函數(shù)”、“不能確定”填空：

對于上述表格中的結(jié)論，告知學生沒有必要死記硬背，只要正確的加以證明，錯誤的舉出反例，便可形成理解.如“單調(diào)增函數(shù)”+“單調(diào)減函數(shù)”結(jié)論為“不能確定”.設(shè)f（x）=x，x∈R，g（x）=-2x，x∈R，則f（x）+g（x）為減函數(shù)；設(shè)f（x）=2x，x∈R，g（x）=-x，x∈R，則f（x）+g（x）為增函數(shù)；設(shè)f（x）=x，x∈R，g（x）=-x，x∈R，則f（x）+g（x）為非單調(diào)函數(shù).

通過這樣的反思教學活動，既挖掘了單調(diào)性定義的內(nèi)涵，又拓寬了學生的知識視野，培養(yǎng)了學生思維的靈活性、完整性.高中教材中許多概念、定理、公理、甚至規(guī)定等，還有一些典型的例、習題，教師都應(yīng)該構(gòu)建一些數(shù)學活動幫助學生對其進行積極地反思.現(xiàn)代心理學告訴我們，認知結(jié)構(gòu)中如果沒有適當起固定作用的觀點，那么知識的同化與順應(yīng)就難以實現(xiàn).相比之下，反思學習進行反饋調(diào)控比獲取更為重要，這實際是一個學習的強化過程.

學生的數(shù)學活動經(jīng)驗，既包括日常生活中的數(shù)學經(jīng)驗，又包括在學校數(shù)學課中已獲得的知識、技能，這些是保證學生順利掌握數(shù)學知識的重要條件和激活學生心理活動的必要前提.學生現(xiàn)有的經(jīng)驗是學生學習數(shù)學的基礎(chǔ)，也是教師組織教學的邏輯起點.運用現(xiàn)有的數(shù)學經(jīng)驗進行教學不僅可以幫助學生開啟新知的切入點，挖掘新知的生長點，找準新知的著力點，而且可以開拓學生的數(shù)學視野，逐步認識與追求數(shù)學的科學價值、應(yīng)用價值和文化價值，崇尚數(shù)學的理性精神，形成批判性的思維習慣，體會數(shù)學的美學意義，提升數(shù)學教學實效.

1.葉秋平.利用活動經(jīng)驗提高教學實效——“拋物線及其標準方程”的教學與感悟［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2013（10）.

2.仲秀英，宋乃慶.經(jīng)驗學習理論對數(shù)學活動經(jīng)驗教學的啟示［J］.西南大學學報（社會科學版），2009（6）.

3.羅新兵，盧恒.數(shù)學活動經(jīng)驗的積累與運用［J］.中學數(shù)學教學參考（上），2015（9）.

4.洪燕君，周九詩，王尚志，鮑建生.《普通高中數(shù)學課程標準（修訂稿）》的意見征詢——訪談張奠宙先生［J］.數(shù)學教育學報，2015（3）.Z