☉山東省高青縣第一中學(xué)　王　曉　東李軍

數(shù)學(xué)公式定理推導(dǎo)方法的“抉擇”——以“余弦定理”為例

☉山東省高青縣第一中學(xué)王曉東李軍

眾所周知，數(shù)學(xué)公式定理通常有多種推導(dǎo)方法，有的甚至多達(dá)十幾種、數(shù)十種，乃至上百種.對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，并不是所有的方法都值得推崇.一方面，有些方法超出了學(xué)生的理解水平，即使講了，學(xué)生未必能接受；另一方面，過(guò)度地追求推導(dǎo)方法不僅會(huì)耗費(fèi)大量的課堂教學(xué)時(shí)間，而且容易偏離教學(xué)的主題.于是，我們不得不思考：如何選擇合適的推導(dǎo)方法，既能使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到充分的拓展，又能使課堂教學(xué)緊扣目標(biāo)，自然生成.作為高中數(shù)學(xué)的經(jīng)典定理——“余弦定理”，推導(dǎo)的方法至少有幾十種.下面筆者就以“余弦定理”為例談?wù)剬?duì)此的看法.

一、關(guān)注前后聯(lián)系，體現(xiàn)思維的連續(xù)性

數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性很強(qiáng)、前后知識(shí)聯(lián)系很緊密的學(xué)科，聯(lián)系舊知識(shí)、學(xué)習(xí)新知識(shí)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方法.烏申斯基有句名言：“智慧不是別的，而是組織得很好的知識(shí)體系.”數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)不是不加組織地向?qū)W生傳授孤立的知識(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)間的聯(lián)系加以組織和提煉.鄭毓信教授也多次強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)求全，而要求聯(lián)”.對(duì)于數(shù)學(xué)公式定理的推導(dǎo)來(lái)說(shuō)，關(guān)注知識(shí)的前后聯(lián)系，在已有的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)新知，可以降低思維的難度，從而使推導(dǎo)過(guò)程自然流暢.

在余弦定理之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理，經(jīng)歷了正弦的推導(dǎo)過(guò)程.那么在推導(dǎo)余弦定理時(shí)，能否沿襲正弦定理的證明思路推導(dǎo)余弦定理呢？正弦定理與余弦定理存在著天然的聯(lián)系，它們不僅可以相互轉(zhuǎn)換，而且推導(dǎo)方法也存在著相通之處.

教材（人教A版）中是通過(guò)在三角形中作高線(xiàn)構(gòu)造直角三角形來(lái)推導(dǎo)正弦定理的，其實(shí)余弦定理也可以這樣推導(dǎo).

如圖1，在銳角三角形ABC中，作CD⊥AB于D，則BC2=CD2+BD2=CD2+（AB-AD）2.而CD=bsinA，AD=bcosA，所以，a2=CD2+（AB-AD）2=b2sin2A+c2+b2cosA-2bccosA=b2+ c2-2bccosA，即a2=b2+c2-2bccosA.

圖1

正弦定理還有一種常用的推導(dǎo)方法，那就是在構(gòu)造三角形的外接圓，利用外接圓的幾何性質(zhì)已知把三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)推導(dǎo).余弦定理也可以采用類(lèi)似的方法，只不過(guò)構(gòu)造圓的方式有所差異.具體如下：

如圖2，在△ABC中，以C為圓心，較短邊CB為半徑作圓，交AC及其延長(zhǎng)線(xiàn)于F，E，交AB于G，作CD⊥AB于

因?yàn)锳D-DB=c-2acosB，故b2=a2+c2-2accosB.

圖2

圖3

若以較長(zhǎng)邊CA為半徑作圓，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，F(xiàn)，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，CD⊥AB于D，如圖3所示.同理FB· BE=GB·AB?（AC-CB）·（BC+AC）=AB·（AD-DB），即b2-a2=c（AD-DB）.因?yàn)锳D-DB=AB-2DB=c-2acosB，也可得到b2=a2+c2-2accosB.

以△ABC另外兩個(gè)頂點(diǎn)為圓心，同樣也可以得到余弦定理的另外兩種形式.

教材（人教A版）余弦定理的推導(dǎo)采用的是構(gòu)造向量法，方法雖然簡(jiǎn)單，但推導(dǎo)方法上的“另起爐灶”無(wú)形中隔斷了兩大定理的天然聯(lián)系.

讓學(xué)生把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為舊知識(shí)去認(rèn)識(shí)和理解，實(shí)際就是促使學(xué)生調(diào)動(dòng)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)解決新問(wèn)題，使新學(xué)習(xí)的材料與原有的知識(shí)建立聯(lián)系，通過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)自然就融會(huì)貫通了.這樣不僅有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)形成規(guī)律性認(rèn)識(shí)，而且有利于體現(xiàn)思維的連續(xù)性.

二、再現(xiàn)歷史軌跡，錘煉思維的綜合性

數(shù)學(xué)公式定理的起源、發(fā)展一般都有著豐富的歷史背景.實(shí)踐證明再現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史演進(jìn)過(guò)程不僅可以使學(xué)生獲得了一種歷史感，而且可以從新的角度審視數(shù)學(xué)，沖破思維的局限，對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生更敏銳的理解力和鑒賞力.

余弦定理是勾股定理的推廣，其“雛形”最早出現(xiàn)在歐幾里得的《幾何原本》的第2卷中.勾股定理作為一個(gè)既古老又經(jīng)典的數(shù)學(xué)定理，它的證明方法不下百種.既然余弦定理與勾股定理存在著密切的聯(lián)系，那么它們之間的推導(dǎo)方法是不是也存在著共通之處.我們能不能從勾股定理的歷史證明上找到推導(dǎo)余弦定理的線(xiàn)索.我們不妨回顧一下歐幾里得是如何證明勾股定理的.

如圖4所示，分別在直角△ABC的三邊上作正方形ACDE、ABFG和BCHI，作CL⊥GF于L.連接BE和CG，則由AE和BC的平行關(guān)系，可得正方形ACDE的面積等于△AEB的兩倍（同底等高）；由AG和CM的平行關(guān)系，可得長(zhǎng)方形AMLG的面積等于△ACG的兩倍.而△AEB≌△ACG，故知正方形ACDE和長(zhǎng)方形AMLG的面積相等.同理，可得正方形BCHI與長(zhǎng)方形BMLF的面積相等.于是就得到勾股定理：c2=a2+b2.

梳理勾股定理的證明思路，我們發(fā)現(xiàn)證明的關(guān)鍵是把代數(shù)式“c2=a2+b2”幾何化，轉(zhuǎn)化為正方形的面積.因此，余弦定理的證明也可以仿照勾股定理的證明，具體如下所示：

如圖5所示，△ABC為銳角三角形，仿照歐幾里得的做法，在其三邊外側(cè)分別作正方形ACDE、ABFG和BCHI；分別從三個(gè)頂點(diǎn)向?qū)呑鞔咕€(xiàn)，垂足分別為K、M和N，與正方形另一邊的交點(diǎn)分別為L(zhǎng)、P和Q.于是，SAMPE= SAKLG，SBNQI=SBKLF，因此，c2=SAMPE+SBNQI=a2+b2-（SMCDP+SNCHQ）.而又有SMCDP=b（acosC）=abcosC，SNCHQ=a（bcosC）=abcosC，故c2=a2+b2-2abcosC.

圖4

圖5

圖6

當(dāng)△ABC為鈍角三角形，構(gòu)造如圖6所示的圖形，同理可以得到余弦定理.

以勾股定理為起點(diǎn)，用的幾何方法來(lái)推導(dǎo)余弦定理，不僅可以彌補(bǔ)教材中證明方法的不足，而且可以使學(xué)生親歷數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，感悟數(shù)學(xué)思想方法的魅力，錘煉了思維的綜合性.

三、把握知識(shí)整體，發(fā)展思維的創(chuàng)新性

系統(tǒng)論告訴我們，任何系統(tǒng)的整體功能等于各個(gè)部分功能之和加上各個(gè)部分相互聯(lián)系而形成的結(jié)構(gòu)功能.在部分功能不變的情況下，整體功能的大小取決于各個(gè)部分的聯(lián)系.因此，在掌握部分知識(shí)之后，要把各個(gè)部分的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，形成一個(gè)類(lèi)別清楚、聯(lián)系緊密的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu).對(duì)于數(shù)學(xué)公式定理而言，運(yùn)用整體化思想來(lái)開(kāi)展教學(xué)可以起到事半功倍的效果.

正弦定理、余弦定理本質(zhì)上就是三角形邊角關(guān)系的定量反應(yīng).從數(shù)學(xué)本質(zhì)上看，它們?cè)揪褪且粋€(gè)整體.既然如此，能不能找到一種推導(dǎo)方法，同時(shí)得到這兩個(gè)定理呢？

如圖7，在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，以A為原點(diǎn)，AC所在的直線(xiàn)為x軸建立直角坐標(biāo)系，于是C點(diǎn)坐標(biāo)是（b，0），由三角函數(shù)的定義得B點(diǎn)坐標(biāo)是（ccos∠BAC，csin∠BAC），則b，csin∠BAC）.現(xiàn)將平移到，則∠DAC=π-∠BCA，所以=（acos（π-∠BCA），asin（π-∠BCA））=（-acos∠BCA，asin∠BCA）.因?yàn)?，則有

圖7

由②得acosC=b-ccosA，平方得a2cos2C=b2-2bccosA+ c2cos2A，即a2-a2sin2C=b2-2bccosA+c2-c2sin2A.而由①可得a2sin2C=c2sin2A，故a2=b2+c2-2bccosA.同理可證b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC，這樣也得到了余弦定理.

在同一證明過(guò)程中，同時(shí)得到兩個(gè)定理，可謂“一箭雙雕”.除了體現(xiàn)向量法在數(shù)學(xué)證明中的價(jià)值外，同時(shí)還進(jìn)一步說(shuō)明了正弦定理和余弦定理原本是“一對(duì)同胞兄弟”，它們本身就是一個(gè)整體.這樣就可以把正弦定理與余弦定理合并成一節(jié)課，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維是有極大的作用.

綜上，數(shù)學(xué)公式定理的推導(dǎo)與證明不在于方法的多少，而是能否找到條主線(xiàn)把這些“零碎”的方法串聯(lián)起來(lái)，形成完整的體系，從而使學(xué)生在教師精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題探究中不斷地發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力.Z