筅江蘇省宜興市丁蜀高級(jí)中學(xué)　黎明

分類整合法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探析

筅江蘇省宜興市丁蜀高級(jí)中學(xué)黎明

分類整合法是數(shù)學(xué)解題中的基本方法，其不但能提高學(xué)生解題的成功率，而且還可有效鍛煉學(xué)生思維的嚴(yán)密性.文章就分類整合法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用加以探析，旨在充分發(fā)揮分類整合法的作用，提高高中學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

分類整合法，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是將題目中的各個(gè)參數(shù)按某一數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并加以討論，然后再將分類討論后的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)歸納，最終解決題目設(shè)問(wèn)的一種方法.在應(yīng)用分類整合法時(shí)要做到科學(xué)分類，分類不重復(fù)、不遺漏，掌握基本的分類原則和方法，這樣才能真正發(fā)揮分類整合法的作用.以下就以實(shí)例來(lái)說(shuō)明分類整合法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

一、分類整合法應(yīng)用于函數(shù)

在函數(shù)問(wèn)題中，參數(shù)值往往是一個(gè)變量，參數(shù)值的變化會(huì)影響結(jié)果的變化，因此在解決此類問(wèn)題時(shí)通常要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，利用分類整合法可有效簡(jiǎn)化問(wèn)題，從而使學(xué)生能快速、靈活地解答問(wèn)題［1］.

例1當(dāng)m＝______時(shí)，函數(shù)y＝（m＋3）x2m＋1＋4x-5（x≠0）為一次函數(shù).

解：（1）當(dāng)2m＋1＝1且m＋3＋4≠0時(shí)，即m＝0時(shí)，此函數(shù)為y＝7x-5，此時(shí)為一次函數(shù)；

（3）當(dāng)m＋3＝0時(shí)，即m＝-3時(shí)，此函數(shù)為y＝4x-5，此時(shí)為一次函數(shù).

在此題中，要求解的是函數(shù)為一次函數(shù)的情況，在此前提下，（m＋3）x2m＋1可以是一次項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)，或者為零，針對(duì)三種不同的情況要進(jìn)行分類討論才能做到不遺漏、不重復(fù)地將此題完全解決.

二、分類整合法應(yīng)用于概率

概率計(jì)算問(wèn)題本身就需要依據(jù)所設(shè)問(wèn)題按要求將問(wèn)題中可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行分類分析，然后再對(duì)分析結(jié)果進(jìn)行整合，從而得出所設(shè)問(wèn)題事件發(fā)生的個(gè)數(shù).

例2設(shè)集合I＝｛0，2，4，6，8｝，選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，若要使子集合B中的最小數(shù)大于子集合A中的最大數(shù)，問(wèn)有多少種不同的選擇方法？［2］

分析：通過(guò)題目已知的條件可知，在解答此題時(shí)要特別注意必須符合以下兩個(gè)條件：（1）A和B都為非空子集；（2）子集合B中的最小數(shù)要大于子集合A中的最大數(shù)，如何才能做到在滿足這兩個(gè)條件的基礎(chǔ)上使答案不會(huì)重復(fù)或遺漏呢？很顯然最佳的方法便是分類整合法.

解：（1）假設(shè)子集合B中的最小數(shù)為2，那么子集合A就只有1種選擇方法，即A＝｛0｝，而子集合B則有8種選擇方法，即子集合B中可以有4，6，8三個(gè)數(shù)中一個(gè)或幾個(gè)的組合，但也可以沒(méi)有任何一個(gè)；

（2）假設(shè)子集合B中的最小數(shù)為4，那么子集合A有3種選擇方法，即A＝｛0｝，A＝｛2｝或A＝｛0，2｝，而子集合B則有4種選擇方法，即子集合B中可以有6，8兩個(gè)數(shù)中的一個(gè)或兩個(gè)，但也可以沒(méi)有任何一個(gè)；

（3）假設(shè)子集合B中的最小數(shù)為6，那么子集合A有7種選擇方法，即A是集合｛0，2，4｝的非空子集，而子集合B則有2種選擇方法，即子集合B中可以有8或是沒(méi)有8；

（4）假設(shè)子集合B中的最小數(shù)為8，那么子集合A有15種選擇方法，即A是集合｛0，2，4，6｝的非空子集，而子集合B中只有1種選擇方法，即B＝｛8｝.

最后將進(jìn)行分類計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行整合，就可知此題答案為1×8＋3×4＋7×2＋15×1＝49，即共有49種選擇方法.

三、分類整合法應(yīng)用于數(shù)列

數(shù)列問(wèn)題中的數(shù)列周期性、等比數(shù)列求和通常都會(huì)采取分類整合法進(jìn)行分析和解決.分類整合法在數(shù)列問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用.

例3若等比數(shù)列｛an｝的公比為q，前n項(xiàng)的和Sn＞0（n＝1，2，3，…），那么q的取值范圍為_______.

解：由｛an｝為等比數(shù)列且Sn＞0可知，a1＝S1且a1＞0，而q≠0，

當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1＞0；

在對(duì)此題進(jìn)行分析時(shí)要注意，因等比數(shù)列的求和公式中包括兩種情況，即q＝1和q≠1，而此題未明確q的范圍，因此在分析時(shí)應(yīng)進(jìn)行分類討論，而不能直接套用基本求和公式

四、分類整合法應(yīng)用于不等式

不等式中題設(shè)所求參數(shù)通常也存在很大的變化，參數(shù)取值不同，題設(shè)所得到的結(jié)果也會(huì)有所不同.因此，在解決不等式問(wèn)題時(shí)，也可引入分類整合法.

例4設(shè)k∈N*，求滿足不等式|m|+|n|

解：本題的情況相對(duì)復(fù)雜，很難直接給出解答結(jié)果，不妨將k作為變量參數(shù)，整數(shù)解的組數(shù)用k來(lái)表示并設(shè)為g（k）.首先討論特殊情況，然后再分析此題的計(jì)算規(guī)律，接著作出猜想，最后再將所得出的結(jié)論進(jìn)行證明.

當(dāng)k＝1時(shí)，不等式有解且其解為（0，0），此時(shí)有g(shù)（1）＝1；

當(dāng)k＝2時(shí)，不等式有解且其解為（0，0），（0，±1）或（±1，0），此時(shí)有g(shù)（2）＝1＋4＝5；

當(dāng)k＝3時(shí)，不等式有解且其解為（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±1，±1）或（±2，0），此時(shí)有g(shù)（3）＝1＋4＋4×2＝13；

當(dāng)k＝4時(shí)，不等式有解且其解為（0，0），（0，±1），（0，±2），（0，±3），（±1，0），（±1，±1），（±2，0），（±3，0），（±1，± 2），（±2，±1），此時(shí)有g(shù)（3）＝1＋4＋4×2＋4×3＝25.

由此我們可猜想：g（k）＝1＋4×1＋4×2＋4×3＋…＋4（k-1）＝1＋2k（k-1），

從而推出遞推公式g（k）＝g（k-1）＋4（k-1）.

在解決不等式問(wèn)題時(shí)，通常是采取分類的方法，根據(jù)題目已知代入特殊情況，通過(guò)分析特殊情況的計(jì)算規(guī)律，采取整合的方式得出題設(shè)問(wèn)題的最終答案.

五、分類整合法應(yīng)用于幾何問(wèn)題或證明題

圖1　

幾何問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，幾何問(wèn)題多以證明題方式出現(xiàn).通常幾何問(wèn)題中都會(huì)設(shè)置一個(gè)可變參數(shù)，使學(xué)生難以著手解決，為此可采取分類整合法來(lái)進(jìn)行分析，先分析普遍情況，然后再結(jié)合題設(shè)來(lái)分析具體的問(wèn)題.

例5如圖1，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，且∠AOB＞∠AOC.

證明：OB＜OC.

分析：三角形中有大邊對(duì)大角、小邊對(duì)小角的理論，本題就需利用這一理論進(jìn)行證明，首先分析普遍情況，然后再依據(jù)所得出的結(jié)論進(jìn)行分類討論，最后將討論結(jié)果進(jìn)行整合，得出最終結(jié)論，進(jìn)行最后的證明.

證明：設(shè)∠AOB＝α1，∠AOC＝α2，∠ABO＝β，∠ACO＝γ，

因?yàn)锳B＝AC，

又因?yàn)椤螦OB＞∠AOC，即α1＞α2，且α1＋α2＞180°，

所以90°＜α1＜180°，0°＜α2＜180°.

在此情況下，sin α2為非單調(diào)函數(shù)，需分類進(jìn)行討論：

（1）當(dāng)α2≥90°時(shí)，

因?yàn)棣?＞90°，且α1＞α2，則有sin α1＜sin α2，

所以sin β＜sin γ，且β，γ＜90°，則有β＜γ.

（2）當(dāng)α2＜90°時(shí)，

因?yàn)棣?＞90°，則有180°-α1＜90°.

又由α1＋α2＞180°，可得α2＞180°-α1.

所以sin α1=sin（180°-α1）

所以sin β＜sin γ，且β，γ＜90°，則有β＜γ.

由題目已知可得∠ABC＝∠ACB，∠OBC＞∠OCB，

所以O(shè)B＜OC.

在本題中，由普遍情況出發(fā)，在討論了一般情況之后，再針對(duì)所得出的結(jié)論進(jìn)行分類討論，將可能出現(xiàn)的情況一一羅列并進(jìn)行證明，最后整合所有證明結(jié)果得出最終結(jié)論.

六、分類整合法應(yīng)用于不確定圖形

在高中數(shù)學(xué)解題中，因圖像、圖形或點(diǎn)的位置不明確，可能存在多種情況，如二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)問(wèn)題、空間圖形的位置關(guān)系、曲線與曲線的關(guān)系等，所以也需進(jìn)行分類討論，從而保證圖形的最終確定.

例6設(shè)k∈R，那么方程（8-k）x2＋（k-4）y2＝（k-4）·（8-k）所表示的曲線是什么？

解：（1）當(dāng)k＝4時(shí)，原方程為4x2＝0，則x＝0，此時(shí)方程表示直線；

（2）當(dāng)k＝8時(shí)，原方程為4y2＝0，則y＝0，此時(shí)方程表示直線；

若k＜4，則方程表示為雙曲線；

若4＜k＜6，則方程表示為橢圓；

若k＝6，則方程表示為圓；

若6＜k＜8，則方程表示為橢圓；

若k＞8，則方程表示為雙曲線.

這種分類整合的方法不但囊括了題設(shè)參數(shù)所有可能存在的情況，而且通過(guò)對(duì)不同情況的分析還能進(jìn)一步證明所分析情況的正確性.

分類整合法是高中數(shù)學(xué)解題中常用的一種方法，將分類整合法應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題中，不但可提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，而且還可培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，有利于提高學(xué)生解題過(guò)程中思維的縝密性和靈活性，幫助提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率.在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生多利用分類整合法來(lái)解決問(wèn)題，從而促進(jìn)學(xué)生未來(lái)學(xué)習(xí)的發(fā)展.Z