筅江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)　陳蓬

導(dǎo)數(shù)視角下函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的多角度探究

筅江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)陳蓬

函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題不但能充分體現(xiàn)出函數(shù)與方程、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法，而且涉及知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的思維能力要求較高，因此函數(shù)的零點(diǎn)一直是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容.本文從三種視角對(duì)一道函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題進(jìn)行探究、拓展.

引例已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常數(shù).討論函數(shù)f（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

零點(diǎn)定理與函數(shù)零點(diǎn)的存在問(wèn)題密切相關(guān)，定理內(nèi)容：“若f（x）的圖像在［m，n］上是連續(xù)曲線，且f（m）f（n）< 0，則在（m，n）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即f（x）=0在（m，n）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解”.這里所說(shuō)“若f（m）f（n）<0，則在區(qū)間（m，n）內(nèi)方程f（x）=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解”指出了方程f（x）=0的實(shí)數(shù)解的存在性，并不能判斷具體有多少個(gè)解.零點(diǎn)存在性定理只能判定零點(diǎn)的存在性，不能判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，但可利用：若函數(shù)f（x）在區(qū)間［m，n］上單調(diào)，且f（m）f（n）<0，則方程f（x）=0在區(qū)間［m，n］內(nèi)必有唯一實(shí)根來(lái)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).下面以導(dǎo)數(shù)法為視角，探究對(duì)此類(lèi)問(wèn)題的解答.

一、直接求解

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)性的有力工具，并結(jié)合函數(shù)的奇偶性來(lái)判斷函數(shù)的大致圖像，進(jìn)而可研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）>0，（fx）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且≤=-1<0，（fe）=2>0，所以函數(shù)（fx）有1個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)a>1時(shí)，f（x）無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a=1或a≤0時(shí)，f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0

變式1：已知函數(shù)f（x）=ex（x2+ax-a），其中a是常數(shù).若存在實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f（x）=k在［0，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

解析：令f′（x）=ex（x2+（a+2）x）=0，解得x=-（a+2）或x= 0.

當(dāng)-（a+2）≤0，即a≥-2時(shí)，在［0，+∞）上，f′（x）≥0，所以f（x）是［0，+∞）上的增函數(shù).

所以方程f（x）=k在［0，+∞）上不可能有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

當(dāng)-（a+2）>0，即a<-2時(shí)，f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x0（0，-（a+2））-（a+2）（-（a+2），+∞）f′（x）0-0+ f（x）-a坨a+4 ea+2坻

由上表可知函數(shù)f（x）在［0，+∞）上的最小值為f（-（a+2））=

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在（0，-（a+2））上是減函數(shù)，在（-（a+ 2），+∞）上是增函數(shù)，且當(dāng)x≥-a時(shí)，有f（x）≥e-a（-a）>-a.

所以要使方程f（x）=k在［0，+∞）上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍必須是

點(diǎn)評(píng)：直接利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題處理方法為：由函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、極值、最值畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像建立含參數(shù)的方程（或不等式）組求解.一般來(lái)說(shuō)：若f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，且滿(mǎn)足零點(diǎn)定理，則有1個(gè)零點(diǎn)；若f（x）在其定義域內(nèi)不單調(diào)，則需比較極大值或極小值與0的大小關(guān)系，再結(jié)合零點(diǎn)定理來(lái)判斷.

二、分離參數(shù)

含參函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，如果能將參數(shù)分離出來(lái)，可使不確定的函數(shù)轉(zhuǎn)化為確定的函數(shù)，進(jìn)而將問(wèn)題簡(jiǎn)潔求解.通過(guò)參數(shù)分離后，轉(zhuǎn)化為具體的函數(shù)求解.

所以若a>1，則（fx）無(wú)零點(diǎn)；若（fx）有零點(diǎn)，則a≤1.

若a=1，（fx）=lnx-ax+1=0，易知（fx）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)x=1.

若a≤0，（fx）=lnx-ax+1單調(diào)遞增，知（fx）有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述，當(dāng)a>1時(shí)，f（x）無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a=1或a≤0時(shí)，f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0

變式2：已知函數(shù)f（x）=ex，x∈R.

（1）若直線y＝kx＋1與f（x）的反函數(shù)的圖像相切，求實(shí)數(shù)k的值；

（2）設(shè)x>0，討論曲線y＝f（x）與曲線y=mx2（m>0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

（2）問(wèn)題即判斷方程ex=mx2（x>0）根的個(gè)數(shù)，兩邊取自然對(duì)數(shù)得x=lnm+2lnx，即lnm=x-2lnx.

設(shè)h（x）=x-2lnx（x>0），則h′（x）=1-x>0），所以，當(dāng)02時(shí)，h′（x）> 0，h（x）單調(diào)遞增.所以h（x）min=h（2）=2-2ln2=ln，且當(dāng)x→0時(shí)，h（x）→+∞；當(dāng)x→+∞時(shí)，h（x）→+∞.

所以當(dāng)lnm0）沒(méi)有公共點(diǎn)；

當(dāng)lnm=ln，即m=時(shí)，曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m>0）有一個(gè)公共點(diǎn)；

當(dāng)lnm>ln，即m>時(shí)，曲線y=f（x）與曲線y=mx2（m>0）有兩個(gè)公共點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)：在分離參數(shù)的過(guò)程中參數(shù)如果不能單獨(dú)分離出來(lái)，則可考慮整體進(jìn)行分離，如變式2，通過(guò)將方程兩邊取對(duì)數(shù)后，將lnm整體分離出來(lái)求解.當(dāng)a>1時(shí)，f（x）無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a=1或a≤0時(shí)，f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0

三、分離函數(shù)

通過(guò)移項(xiàng)將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題.轉(zhuǎn)化的方向是化生為熟，即將陌生的函數(shù)分解為我們熟悉的基本初等函數(shù)，再判斷其交點(diǎn)個(gè)數(shù).

解法3：判斷f（x）零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即方程lnx-ax+1=0根的個(gè)數(shù)，移項(xiàng)得lnx=ax-1，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=lnx與h（x）=ax-1圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù).

圖1　

易知h（x）過(guò)定點(diǎn)（0，-1），在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出兩函數(shù)圖像，如圖1所示.

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，易求得，當(dāng)a=1時(shí)，直線h（x）與函數(shù)g（x）相切，由圖易知，當(dāng)a>1時(shí)，f（x）無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a=1或a≤0時(shí)，f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0

變式3：（2015年全國(guó)新課標(biāo)I）設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）<0，則a的取值范圍是（%）.

解析：設(shè)g（x）=e（x2x-1），y=ax-a，由題知存在唯一的整數(shù)x0，使得g（x）0在直線y=ax-a的下方.

因?yàn)間′（x）=e（x2x+1），所以當(dāng)x<-時(shí)，g′（x）<0，當(dāng)x>-時(shí)，g（′x）>0，所以當(dāng)x=-時(shí)，g（x）max=

如圖2，當(dāng)x=0時(shí)，g（0）=-1，g（1）=3e>0，直線y=ax-a恒過(guò)點(diǎn)（1，0）且斜率為a，故-a>g（0）=-1，且g（-1）=-3e-1≥ -a-a，解得≤a<1，答案為D.

圖2　

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于某些比較復(fù)雜的函數(shù)不易直接判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可通過(guò)移項(xiàng)、整理等途徑，將復(fù)雜函數(shù)分離為兩個(gè)基本函數(shù)，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題.本解法通過(guò)分離后，判斷出直線過(guò)定點(diǎn)，從而找到臨界的a值，這是問(wèn)題求解的關(guān)鍵.F