筅湖北省孝感高級中學　徐運麗

一道解析幾何最值問題的探究

筅湖北省孝感高級中學徐運麗

解析幾何最值問題是高考常考題型之一，問題求解的基本策略是利用平面幾何的幾何性質(zhì)及坐標法將幾何問題代數(shù)化，進而構造出目標函數(shù)，再利用函數(shù)最值問題的求解方法解決問題.下面引例說明此類問題的解答.

一、問題展示

題目在平面直角坐標系xOy中，以點A（2，0），曲線y=上的動點B，第一象限內(nèi)的點C，構成等腰直角△ABC，且∠A=90°，則線段OC長的最大值是______.

本題是以圓為背景的平面解析幾何最值問題，根據(jù)題意，構造出幾何圖形，將題目條件與所求直觀地展示出來，為后續(xù)問題的求解奠定了基礎.本題解答中利用三角形全等關系來建立未知點與已知點的聯(lián)系，進而化未知為已知.

二、分析解答

1.借助圖形尋找思維切入點

圖1　

欲求線段OC長的最大值，應先確定點C的坐標，而點C由定點A與動點B確定，故可從A、B入手，尋找點C的軌跡.

2.挖掘平面幾何性質(zhì)尋找解題思維

圖2　

如圖2，分別過點B、C作x軸的垂線BD、CE.由角BAC=90°，得∠BAD+∠CAE=90°.而在Rt△CAE中∠ECA+∠CAE=90°，所以∠ECA=∠BAD.

又在Rt△BAD與Rt△ACE中，AB=AC，所以Rt△BAD≌Rt△ACE，所以BD=AE，AD=CE.

設點B的坐標為（m，n），且m2+n2=1，則點C的坐標為（2+n，2-m），所以|OC|=又因為n=所以|OC|=

至此構造出目標函數(shù)，將問題轉化為函數(shù)最值問題來處理.

3.多角度探究目標函數(shù)最值

建立平面直角坐標系xOt，如圖3考慮平行直線系t=x+b與半圓t=有公共點，則-1≤b≤，即-1≤y≤，所以y的最大值為

解法3：設m=cosθ（0≤θ≤π），則1-m2=sin2θ，故

當x>0，即0

當x<0，即-x>0時，由不等式（*）得1-x2>x2，解得-

三、變式演練

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；

（Ⅲ）設Q（x，y）是圓P上的動點，當t變化時，求y的最大值.

本題是圓與橢圓的綜合問題，解題中需要充分結合圓與橢圓的幾何性質(zhì)，將幾何問題代數(shù)化，進而構造目標函數(shù)來求最值.

（Ⅱ）由題意知，P（0，t）（-1

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圓P的方程x2+（y-t）2=3（1-t2）.因為點Q（x，y）在圓P上，所以y=t±

總之，高考命題?？汲Ｐ?，只要我們充分把握相關問題的處理策略，即可以不變應萬變.另外在相關最值問題的求解中，除了上述幾種方法外，還有分離常數(shù)法、二次函數(shù)配方法等，解題中要仔細斟酌、靈活應用.Z

圖3