筅安徽省靈璧第一中學(xué)　鄭良

回歸教材揭本質(zhì)，學(xué)會思考揚理性——三道試題解答引發(fā)的思考

筅安徽省靈璧第一中學(xué)鄭良

哲學(xué)家盧梭說過：“誤用光陰比虛擲光陰損失更大，教育錯了的孩子比沒有受到過教育的孩子離智慧更遠.”疲于奔命的我們是否應(yīng)該稍作停頓嘗試反思：我們的教育是讓孩子智慧更近了還是更遠了呢？“數(shù)學(xué)是一種理性的精神，它使人類的思維得以運用到最完善的程度.”（克萊因語）理性思維是數(shù)學(xué)的核心思維能力，也是組成個人人格素養(yǎng)的重要部分.發(fā)展理性思維，培養(yǎng)理性精神是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心任務(wù)，有利于培養(yǎng)學(xué)生求真務(wù)實的品格，使其成為有著理性思維的人.階段性考試是教學(xué)檢測的一種重要形式，分析考試結(jié)果（現(xiàn)象）、反思教學(xué)得失、剖析問題根源（成因），進而明確教學(xué)方向與改進教學(xué)措施.下面筆者以本校高三學(xué)生（統(tǒng)一）參加校段考及市統(tǒng)考所反映出來的問題為例，結(jié)合教學(xué)實踐談?wù)劷虒W(xué)理解與感悟.

一、案例呈現(xiàn)與剖析

例1已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù).設(shè)集合M=｛0，1，2，…，q-1｝，集合A=｛x|x=x1+x2q+…+xnqn-1，xi∈M，i=1，2，…，n｝.

（Ⅰ）當(dāng)q=2，n=3時，用列舉法表示集合A；

（Ⅱ）設(shè)s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，其中ai，bi∈M，i=1，2，…，n，證明：若an

本題作為“不等式”模塊段考題，取自2014年高考天津卷理科第19題，主要考查集合的含義與表示、等比數(shù)列的前n項和公式、不等式的證明等知識，考查運算求解能力、分析問題和解決問題的能力.第（Ⅰ）問把n和q的值代入，用列舉法表示出集合A，第（Ⅱ）問s與t作差，根據(jù)an

解：（Ⅰ）當(dāng)q=2，n=3時，M=｛0，1｝，A=｛x|x=x1+x2·2+ x3·22，xi∈M，i=1，2，3｝，可得A=｛0，1，2，3，4，5，6，7｝.

（Ⅱ）證明：由s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，ai，bi∈M，i=1，2，…，n及an

大部分學(xué)生及部分教師對第（Ⅱ）問給出以下解答（以下簡稱錯證）：

由s，t∈A，s=a1+a2q+…+anqn-1，t=b1+b2q+…+bnqn-1，ai，bi∈M，i=1，2，…，n及an

點評：上述錯證的著眼點與關(guān)鍵為“an

本題的本質(zhì)是數(shù)的進制，設(shè)k是大于1的整數(shù)，那么，任一個正整數(shù)N總可以寫成N=ankn+an-1kn-1+…+a1k+a0，其中0

例2已知平面內(nèi)一動點P到點F（1，0）的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.

（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；

（Ⅱ）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l1，l2，設(shè)l1與軌跡C相交于點A，B，l2與軌跡C相交于點D，E，求的最小值.

本題作為“不等式”模塊段考題，取自2011年高考湖南卷文科第21題.考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法，考查分析問題與解決問題的能力.第（Ⅰ）問只要按照直接法求曲線方程即可，第（Ⅱ）問使用其中一條直線的斜率為參數(shù)，建立點A，B，D，E的坐標與參數(shù)k的關(guān)系，然后用點的坐標表示數(shù)量積，建立起這個數(shù)量積（目標）關(guān)于k的函數(shù)，求出函數(shù)的最值.命題組提供的答案如下：

（Ⅱ）由題意知，直線l1的斜率存在且不為0，設(shè)為k，則l1的方程為y=k（x-1）.

圖1　

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1，x2是上述方程的兩個實根，于是

因為l1⊥l2，所以l2的斜率為-.設(shè)D（x3，y3），E（x4，

y4）.同理可得+8=16，當(dāng)且僅當(dāng)k2=，即k=±1時取最小值16.

大部分學(xué)生對第（Ⅰ）問的解答為：由題意可知，平面內(nèi)一動點P到點F（1，0）的距離與點P到x=-1的距離相等，所以點P的軌跡是以點F為焦點、直線x=-1為準線的拋物線y2=4x.對于第（Ⅱ）問嘗試將A，B，D，E四點分別用k表示，（計算煩瑣）無疾而終.

點評：曲線與方程是解析幾何的重要內(nèi)容，概念強調(diào)曲線上點的“純粹性”與方程的解的“完備性”.軌跡方程的常見求法為直接法、定義法、相關(guān)點法（代入法）、參數(shù)法、交軌法等.消除差異“1”是化歸與轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)，學(xué)生的想法是自然的，但轉(zhuǎn)化必須等價，當(dāng)x≥0時，點P到直線x=-1的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1，當(dāng)x＜0時，此規(guī)則不滿足，取而代之，點P到直線x=1的距離比它到y(tǒng)的距離多1，考慮到點F（1，0）在直線x=1上，點P的軌跡為過點F（1，0）且垂直于x=1的直線的一部分，這些內(nèi)容完全是拋物線定義（平面內(nèi)到定點F的距離和它到定直線l（定點F不在定直線l上）的距離的比為常數(shù)1）的解讀.原題等價于動點P到點F（1，0）的距離與它到直線x=±1的距離相等.學(xué)生的錯解可修正為：

解法2：（Ⅰ）原題等價于動點P到點F（1，0）的距離與它到直線x=±1的距離相等.若直線是x=1，則軌跡是一條射線，方程為y=0（x＜0）；若直線是x=-1，則由定義知，軌跡是拋物線，其方程為y2=4x（x≥0）.

對于第（Ⅱ）問，若分別用k表示A，B，D，E，位置關(guān)系有兩種（如保持圖1中A，B位置不變，調(diào)整D，E位置），結(jié)果一樣嗎？運動變化中有無不變性？能用不同的方式求解嗎？考慮到互相垂直的兩個向量的數(shù)量積為0，嘗試化歸與轉(zhuǎn)化為拋物線的焦點弦問題，解法1思路自然清晰.確定直線的條件為直線上的一點與方向或直線上不同的兩點，解法1用直線的斜率來刻畫方向，用焦半徑公式（圓錐曲線的第二定義）來表示曲線上點到焦點距離.還能怎么表示？

（Ⅱ）由題意設(shè)FA，F(xiàn)B，F(xiàn)D，F(xiàn)E的有向線段的長度分別為t1，t2，t3，t4，設(shè)直線l1的方程為與y2=4x聯(lián)立整理得同理得所

解法3：（Ⅱ）以F為極點，x軸為極軸建立極坐標系，則軌跡C的極坐標方程為ρ=則|FA|=所以≥16，當(dāng)且僅當(dāng)θ=時取等號，即k=±1.

解法1為通性通法，需要學(xué)生理解并靈活運用平面向量運算法則，明確解析幾何相關(guān)問題的求解思路，熟悉幾何性質(zhì)及有關(guān)定義，通常計算量較大，需要一定的運算能力，解法2與解法3分別利用直線的參數(shù)方程與拋物線的極坐標方程表示長度，充分展示了參數(shù)t，ρ等幾何量的意義與作用，更具針對性.在該試卷中還有類似問題：已知橢圓C1的焦點與雙曲線C2：-y2=1的焦點相同，且雙曲線C2的漸近線與橢圓C1在第一象限內(nèi)的交點為M若過橢圓C1的左焦點作互相垂直的兩條直線，分別與橢圓C1相交于A、C和點B、D，則四邊形ABCD的面積的最大值與最小值之差為_________.

反復(fù)地暗示引領(lǐng)我們解題要因地制宜，突破思維定式，方法與結(jié)論可拓展到一般情形的圓錐曲線，本文不再贅述.

為什么學(xué)生會出現(xiàn)大面積的錯誤，說明學(xué)生缺乏理性思維.曲線與方程反映了曲線C（滿足某種條件的點的集合或軌跡）上的點與（一元二次）方程的實數(shù)解的一一對應(yīng)關(guān)系，本質(zhì)上為兩個對象的充要條件（等價關(guān)系）的判定與證明.積累的經(jīng)驗、結(jié)論為方法的發(fā)現(xiàn)、操作的實施提供了可靠的直覺，能否“對號入座”還需邏輯比對、思辨來確認.學(xué)生的錯誤根在課堂，教師教學(xué)中不注重概念的分析與理解，案例多從正面灌輸，缺乏反面反思、提煉與提升.對于有關(guān)拋物線的軌跡問題，文獻［2］多處出現(xiàn)，羅列如下（解答略）：

1.（P73例3）點M到點F（4，0）的距離比它到直線l：x+ 6=0的距離小2.求點M的軌跡.

2.（P73練習(xí)2第4題）平面上動點M到定點F（3，0）的距離比M到直線x=-1的距離大2.求動點M滿足的方程，并畫出相應(yīng)的草圖.

3.（P76習(xí)題3-2A組第1題）點M到點F（3，0）的距離等于它到直線的x=-3距離，點M運動的軌跡是什么圖形？你能寫出它的方程嗎？能畫出草圖嗎？

4.（P76習(xí)題3-2A組第5題）點M到點F（2，0）的距離比它到直線x=-3的距離小1.求點M滿足的方程.

例3已知函數(shù)f（x）=

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最大值；

（Ⅱ）若兩不等的正數(shù)m，n滿足mn=nm，函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），求證：f

本題為宿州市2016屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)理科第21題，考查導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與最值、構(gòu)造函數(shù)的方法，考查運算求解能力，通過逆用函數(shù)單調(diào)性將函數(shù)值的關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的關(guān)系，考查利用化歸與轉(zhuǎn)化思想分析解決問題的能力以及綜合分析求解實際問題的能力.命題組提供的答案如下：

（Ⅱ）證法1：不妨設(shè)0

由（Ⅰ）知，函數(shù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，所以要證f姨<0，只要證，即只要證m+n>2e.

因為02e-m.

因為1e，又n>e，f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，所以只要證f（n）

令g（x）=（2e-x）lnx-xln（2e-x）（1

圖2　

大部分學(xué)生能分析出等價目標m+n>2e，也明晰本題為極值點“偏移”問題（如2011年高考遼寧卷理科第21題，2013年高考湖南卷文科第21題等），第（Ⅰ）問中少數(shù)學(xué)生混淆了lnx與lgx，第（Ⅱ）問中不少學(xué)生不清楚對數(shù)的基本功能無法對mn=nm變形化歸，化歸后構(gòu)造函數(shù)應(yīng)盡量把自變量的范圍控制在（1，e），從而確保2e-x為正數(shù)順利實現(xiàn)分式整式化，本題用等價式判斷g′（x）符號相對麻煩，通過重新審視、估測確定用加強式.

點評：函數(shù)的單調(diào)性是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心概念，必修1強調(diào)了單調(diào)性概念的理解，選修2-2強化了導(dǎo)數(shù)是判斷單調(diào)的強有力的工具，以便我們能處理更多較為復(fù)雜的函數(shù)問題.極值點“偏移”是實現(xiàn)函數(shù)圖像由對稱向不對稱跨越，借助單調(diào)性實現(xiàn)化歸的典型問題，在集體備課時進行過專題研討，但個別教師認為該問題難度較大而不深入鉆研領(lǐng)悟，從學(xué)生解答中反映出學(xué)生根基不穩(wěn)，解題方向不明（沒有領(lǐng)悟問題的本質(zhì)），邏輯關(guān)系不清，求異、求簡意識不強等問題.下面給出兩種證法：

證法2對g′（x）（h（x））求導(dǎo)確定其單調(diào)性及符號，進而確定函數(shù)g（x）的單調(diào)性與最值，證法3利用（對數(shù)平均不等式）結(jié)論合理化歸.

二、教學(xué)感悟

1.界定“核心素養(yǎng)”，明晰培養(yǎng)方向

關(guān)注“核心素養(yǎng)”的培育是目前世界各國基礎(chǔ)教育理論研究和實踐變革的重大趨勢.基礎(chǔ)教育課程改革的方向為培養(yǎng)與提升學(xué)生的核心素養(yǎng)，（我國界定的）核心素養(yǎng)是指“學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中逐步形成起來的適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展的人格品質(zhì)與關(guān)鍵能力”［3］什么是素養(yǎng)？素養(yǎng)就是指一個人的素質(zhì)和修養(yǎng)，是個人的才智、能力和內(nèi)在涵養(yǎng)，是才干和道德力量的綜合.素養(yǎng)中存在著某種核心的要素，而并不是具體的某種才能或品德，而是理性和理性精神.當(dāng)一個人建立了理性和理性精神，其才干和品德就會自我提升，素養(yǎng)水平就會越來越高.［4］黑格爾說：“一個志在有大成就的人，他必須知道限制自己，反之，那些什么事都想做的人，其實什么事都不能做成，而終歸于失敗.”一個富有理性的人，恰恰更有希望成為一個情感豐富和有力量的人，因為他能將情感置于理性的控制之下.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》規(guī)定應(yīng)使學(xué)生“具有一定的數(shù)學(xué)視野，逐步認識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值，形成批判性的思維習(xí)慣，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，體會數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，從而進一步樹立辯證唯物主義和歷史唯物主義世界觀”.崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，主要體現(xiàn)在崇尚數(shù)學(xué)的求實、求真、求簡、求新的精神.

2.深化教材理解，發(fā)揮教材功用

例1不僅暴露了學(xué)生思維定式，更反映出學(xué)生閱讀理解的缺陷.未來社會充斥著信息網(wǎng)絡(luò)、多元文化，需要公民掌握先進的科學(xué)技術(shù)，必先掌握文字工具（讀、寫、算的基本能力），一個連文字工具都沒掌握的人，定然無法打開科學(xué)技術(shù)的大門，也無法生存于現(xiàn)代社會.教材是文字表述的典范，理應(yīng)在教學(xué)中發(fā)揮更大的作用.數(shù)學(xué)是思維之科學(xué).陶行知先生說過：“行動生困難，困難生疑問，疑問生假設(shè)，假設(shè)生試驗，試驗生斷語，斷語又生了行動，如此演進于無窮.”設(shè)疑講究方法，問題既不能讓學(xué)生高不可攀，也不能讓學(xué)生唾手可得，而應(yīng)開發(fā)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，讓學(xué)生“跳一跳”開動大腦積極思維，而后獲得正確的結(jié)論.教材作為知識、思想方法的載體，承載著無盡的功能.教師要樹立正確的教材觀，敬畏教材，開發(fā)與利用教材，充分發(fā)揮教材的示范功能.

3.落實終身學(xué)習(xí)，奠定長遠發(fā)展

盡管基礎(chǔ)教育得到了長足的發(fā)展，但凸顯的弊端與社會發(fā)展的矛盾無法調(diào)和，這也是教育改革的必要性與動力.與培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)背道而馳的是教育功利化，師生為了在高考中取得好分數(shù)而想方設(shè)法，如統(tǒng)計分析選考題得分情況，只講授得分高的模塊，反復(fù)進行“點對點”訓(xùn)練；在高考復(fù)習(xí)備考后期針對選擇題、填空題強化特殊技能演練，嘗試低能謀取高分；放棄壓軸題來提高其它題的成功率等，導(dǎo)致學(xué)生試卷得到的分數(shù)無法準確反映出學(xué)生的真實水平.因此，我們要立足當(dāng)下，尋找差距，著眼發(fā)展，在現(xiàn)實與理想的中間地帶做足工作.“學(xué)生的頭腦并不是一個要被填滿的容器，而是一支需被點燃的火把”，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部與整體的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的整體性.如在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等差數(shù)列，則除利用一般與特殊的關(guān)系，用直角三角形或等邊三角形特例求解外，還可謀求構(gòu)造性求解，如從2b=a+c>b聯(lián)想橢圓，借助極坐標來推證.因此，教師要養(yǎng)成勤學(xué)善思的習(xí)慣，才能在教育新形勢下立于不敗之地，才能駕馭課堂，實現(xiàn)以問題為載體，強化探究，讓學(xué)生在體驗中夯實知識基礎(chǔ)，感悟思想方法，學(xué)會理性思維，感悟理性精神，全面提升素養(yǎng).

1.嚴士健，王尚志，主編.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)3（必修）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

2.嚴士健，王尚志，主編.普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)2-1（必修）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2014.

3.鐘啟泉.基于核心素養(yǎng)的課程發(fā)展：挑戰(zhàn)與課題［J］.全球教育展望，2016（1）.

4.鄭杰.教師核心素養(yǎng)的“核心”是理性精神［J］.今日教育，2015（11）.

5.謝建金，董榮森.揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生思維能力——以“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用”教學(xué)設(shè)計為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2016（4）.Z