筅江蘇省徐州第一中學(xué)　杜芬

小議復(fù)習(xí)教學(xué)中不等式綜合問題探索

筅江蘇省徐州第一中學(xué)杜芬

函數(shù)、數(shù)列、不等式考題是高考的傳統(tǒng)項目，經(jīng)久不衰，常考常新，尤其是函數(shù)與數(shù)列相結(jié)合，數(shù)列與不等式相結(jié)合，函數(shù)、數(shù)列、不等式三者相結(jié)合的題都有一定的難度，綜合性較強，但不偏、不怪，思路廣、方法多，具有較強的區(qū)分層次和選拔功能.從近幾年各地試卷壓軸題的取材情況來看，歸結(jié)起來可分為三大類，即函數(shù)與不等式型，遞推數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法型，以及解析幾何型，而且它們明顯呈“三足鼎立”的態(tài)勢.若以數(shù)列為載體進(jìn)行壓軸問題的考查，則最后一題都是以點列為載體設(shè)制有關(guān)數(shù)列的問題，重點考查了遞推數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、不等式，它們新穎別致、神奇美妙，而且解題方法獨特，別有洞天.高中數(shù)學(xué)要求的三大能力——思維能力、運算能力和分析解決問題的能力都在這些壓軸題的考查中得到了充分的、立體的、集中的體現(xiàn).這些試題難度較大、綜合性強，本文對不等式相關(guān)的綜合性問題進(jìn)行分類，引導(dǎo)學(xué)生對不同類型的題目進(jìn)行總結(jié)和剖析.

定義：若函數(shù)f（x）在x∈I時的值域為開區(qū)間（a，b），則稱b為f（x）的上確界，a為f（x）的下確界.

恒成立相關(guān)性質(zhì)：

（1）不等式f（x）

（2）不等式f（x）>k在x∈I時恒成立圳f（x）min>k，x∈I，或f（x）的下確界大于或等于k.

存在性相關(guān)性質(zhì)：

（3）不等式f（x）

（4）不等式f（x）>k在x∈I時有解圳f（x）max>k，x∈I，或f（x）的上確界大于k.

一、恒成立問題

不等式綜合問題中最常見的是“恒成立”綜合試題，通常以函數(shù)為載體給出，通過函數(shù)的性質(zhì)、圖像等研究函數(shù)的最值，不等式在其中主要扮演了“橋梁的作用”，相對于一個變量，兩個變量的恒成立成為綜合性問題中更需要理解和掌握的.

例1已知兩個函數(shù)f（x）＝8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+ 4x，其中k是常數(shù).

（1）對任意x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（2）存在x∈［-3，3］，都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范圍；

（3）對任意的x1，x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍.

解析：（1）設(shè)h（x）=g（x）-f（x）=2x3-3x2-12x+k，于是問題就轉(zhuǎn)化為x∈［-3，3］時，h（x）≥0恒成立，故h（x）min≥0.令h′（x）=6x2-6x-12=0，得x=-1或x=2，所以h（x）在［-3，-1］和［2，3］上是增函數(shù)，在［-1，2］上是減函數(shù).h（-1）= 7+k，h（2）=-20+k，h（-3）=k-45，h（3）=k-9.h（x）min=k-45，由k-45≥0得k≥45.

（2）由題意知，存在x∈［-3，3］，使得f（x）≤g（x）成立，即h（x）=g（x）-f（x）≥0在［-3，3］內(nèi)有解，故h（x）max≥0，由（1）知，h（x）max=k+7，于是k≥-7.

（3）本題屬于雙變量恒成立問題，對任意的x1、x2∈［-3，3］，都有f（x1）≤g（x2）成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，x1、x2的取值在［-3，3］上具有任意性，因而使原不等式恒成立的條件是f（x）max≤g（x）min，x∈［-3，3］，f（x）max=f（3）=120-k，g（x）min=g（-3）=-21，即120-k≤-21，解得k≥141.

說明：第（1）（2）問均為單變量恒成立問題，可以利用函數(shù)性質(zhì)或參變分離的方式解決，對于第（3）問，筆者認(rèn)為雙變量恒成立或存在性問題，教師首先要正確加以引導(dǎo)學(xué)生的理解，用恰當(dāng)?shù)念惐热ダ斫怆p變量恒成立是問題解決的關(guān)鍵.

二、存在性問題

圖1　

例2設(shè)f（x）=ax3+bx2+cx的極小值為-8，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖像經(jīng)過（-2，0）、2兩點，如圖1所示.

（1）求f（x）的解析式；

（2）若對x∈［-3，3］都有f（x）≥m2-14m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

解析：（1）因為f′（x）=3ax2+2bx+c，且y=f′（x）的圖像經(jīng)過（-2，0）、兩點，所以，所以f（x）=ax3+2ax2-4ax，由圖像可知函數(shù)y=f（x）在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在2上單調(diào)遞減，故（fx）=（f-2）=-8，解得a=-1，極小值所以（fx）=-x3-2x2+4x.

（2）要使對x∈［-3，3］都有f（x）≥m2-14m恒成立，只需f（x）min≥m2-14m即可.由（1）可知函數(shù)y=f（x）在［-3，-2）上單調(diào)遞減，在2上單調(diào)遞增，在3上單調(diào)遞減，且f（-2）=-8，f（3）=-33-2×32+4×3=-33<-8，所以f（x）min=f（3）=-33，-33≥m2-14m圯3≤m≤11，故所求實數(shù)m的取值范圍為｛m|3≤m≤11｝.

說明：本題中涉及了導(dǎo)數(shù)，試題難度雖然不大，但是運用了數(shù)形結(jié)合的思想方法，是一道培養(yǎng)能力的好題.我們可以看到以函數(shù)為載體，結(jié)合不等式相關(guān)“橋梁”作用，成為不等式背景下的綜合性問題的典型考查方向，這樣的試題既是熱點也是一個小小的難度.科學(xué)方法的掌握立足于平時的學(xué)習(xí)，在知識的形成、聯(lián)系和應(yīng)用中養(yǎng)成科學(xué)的態(tài)度，平時解題，切忌就題論題，要多方法、多方位、多角度尋求解題途徑，在可行方案中求異、求簡、求新、求巧.要“借題發(fā)揮”將相似的數(shù)學(xué)情景或相關(guān)的數(shù)學(xué)知識羅列在一起，創(chuàng)造一個可以類比、啟發(fā)的智能環(huán)境，拓開思路，使思維過程發(fā)生連鎖反應(yīng)，得出相關(guān)的思路和方法，逐步總結(jié)出規(guī)律性的東西.

三、遞歸數(shù)列的結(jié)合

不等式與數(shù)列的結(jié)合是典型的熱點和難點問題.對于數(shù)列的研究，本質(zhì)而言其實依舊是特殊的函數(shù)角度的思考，結(jié)合不等式進(jìn)行處理.

例3已知定義域為［0，1］的函數(shù)f（x）同時滿足：①f（1）=3；②f（x）≥2恒成立；③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，則有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2.

（1）試求f（x）的最值；

解析：（1）函數(shù)（fx）的最大值是3，最小值是2（.過程略）

用戶在使用時，首先呈現(xiàn)的是登錄/注冊頁面，成功登錄后進(jìn)入健康檔案主界面。該模塊負(fù)責(zé)管理患者的頭像、姓名、身高、體重、年齡、疾病史、體檢信息等個人基本信息。

（2）在條件③中，令x1=即故當(dāng)n∈N*時，有=，即f

（3）對一切x∈［0，1］都有（fx）<2x+2，總存在n∈N，使得，根據(jù)（1）（2）可知（fx）≤f且2x+2>2·，故有（fx）<2x+2.

綜上所述，對任意x∈［0，1］，（fx）<2x+2恒成立.

說明：觀察是認(rèn)識的開始，是解決問題的基礎(chǔ)，可以說科學(xué)上的發(fā)現(xiàn)大多起源于觀察，一般地，通過觀察可尋找研究對象的特點和規(guī)律，同時觀察也是進(jìn)行比較、類比、聯(lián)想和歸納的基礎(chǔ)，在本題中，我們將傳統(tǒng)的、典型的解法進(jìn)行延拓、整合和創(chuàng)新"-2這種形式平時遇到的比較少，但在數(shù)列中，我們經(jīng)常遇到.根據(jù)類比，我們得到f，然后進(jìn)行迭代，顯得一氣呵成.解題過程中要把題目所給的信息與基礎(chǔ)知識和抽象思維有機地結(jié)合起來，形成規(guī)律性的解題思路和策略，從而使解題規(guī)律化、簡明化.

四、導(dǎo)數(shù)與不等式

引入了導(dǎo)數(shù)工具后，很多以往不能解決的不等式的證明變得輕而易舉了，導(dǎo)數(shù)工具的使用，將不等式一些證明問題演變成了函數(shù)構(gòu)造及最值的處理，這是導(dǎo)數(shù)工具性作用的良好體現(xiàn).

例4設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）2-ln（1+x）2.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（3）關(guān)于x的方程f（x）=x2+x+a在［0，2］上恰有兩個相異實根，求a的取值范圍.

解析：（1）函數(shù)定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞），因為f′（x）=2，由f′（x）>0，得-20，由f′（x）<0，得x<-2或-1

（3）方程（fx）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）2=0.記g（x）= x-a+1-ln（1+x）2，則g′（x）=1-由g′（x）>0，得x<-1或x>1，由g′（x）<0，得-1

說明：導(dǎo)數(shù)是解決不等式證明問題的利器，從最經(jīng)典的不等式證明入手：0

總之，“授之以魚，不如授之以漁”，合理地思考問題解決的方式、積累各種數(shù)學(xué)思想才能讓學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得成就.筆者以為，從做題中尋找問題、從問題中進(jìn)行反思、從反思中提煉歸納，找尋這些問題所反映的知識鏈接和整合處的收獲，目的就是提高解題訓(xùn)練的有效性，從而達(dá)到高效低耗的目的；也就是說，通過解答有限道數(shù)學(xué)題目以獲得解答無限道數(shù)學(xué)問題的解題智慧、解題技能與解題方法，要在做中學(xué)，學(xué)中思，思后悟.

1.趙棟.數(shù)學(xué)習(xí)題設(shè)計與創(chuàng)造性思維培養(yǎng)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2012（7）.

2.金鳳明.庖丁解牛與數(shù)學(xué)解題［J］.上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2008（4）.

3.殷康康.不等式教學(xué)中以形輔數(shù)的運用與思考［J］.中學(xué)教研，2013（3）.F