陳建， 田野， 孫曉穎

(1.吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院，吉林，長春 130022;2.燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北，秦皇島 066004)

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基于稀疏譜匹配的高分辨DOA估計方法

陳建1， 田野2， 孫曉穎1

(1.吉林大學(xué) 通信工程學(xué)院，吉林，長春 130022;2.燕山大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北，秦皇島 066004)

針對迭代加權(quán)最小二乘類稀疏重構(gòu)算法性能易受過完備基條件數(shù)影響的缺陷，提出了一種基于稀疏譜匹配的高分辨DOA估計新方法. 對過完備基進(jìn)行奇異值分解，采用TSVD方法剔除較小奇異值對應(yīng)的特征向量，獲得一個良態(tài)矩陣，并用此矩陣替代的過完備基矩陣，采用lp范數(shù)約束正則化FOCUSS算法進(jìn)行稀疏重構(gòu)，解決了因網(wǎng)絡(luò)劃分過細(xì)造成的過完備基條件數(shù)過大帶來的病態(tài)問題，并用粗、細(xì)兩步網(wǎng)格劃分來降低算法的復(fù)雜度. 仿真結(jié)果表明，相對于MFOCUSS方法，本文方法不僅具有較低的計算復(fù)雜度，而且具有更高的分辨率和噪聲魯棒性.

DOA；稀疏重構(gòu)；過完備基；FOCUSS；奇異值分解

高分辨波達(dá)方向(direction of arrival， DOA)估計是陣列信號處理領(lǐng)域的主要研究內(nèi)容之一. 自20世紀(jì)60年代以來，為了克服傳統(tǒng)波束成形方法難以突破瑞利限的限制，學(xué)者們提出了大量有效的高分辨DOA估計方法，以CAPON方法、MUSIC和ESPRIT為代表[1].

近年來，隨著壓縮感知理論體系[2]的出現(xiàn)和不斷完善，作為其核心理論的稀疏信號重構(gòu)引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并已廣泛應(yīng)用于雷達(dá)、無線傳感器網(wǎng)絡(luò)、圖像處理、生物傳感、光譜分析以及信道均衡等領(lǐng)域[3]，針對這類機制的波達(dá)方向估計以分辨率高、噪聲魯棒性強等方面的優(yōu)勢也日益受到人們的重視. 稀疏信號重構(gòu)過程本質(zhì)上可表征為l0范數(shù)下的優(yōu)化問題，然而由于l0范數(shù)問題已被證明是NP難問題[4]，因此文獻(xiàn)[5-7]利用l1范數(shù)替代l0范數(shù)進(jìn)行稀疏重構(gòu)，并開拓了l1-SVD、NSW-l1等經(jīng)典稀疏DOA估計方法. 為了進(jìn)一步逼近l0范數(shù)，Goroditsky等[8]提出了一種迭代加權(quán)最小范數(shù)算法(FOCUSS)，該算法將l1范數(shù)約束擴展為lp(0

針對上述問題，本文提出了一種新的基于稀疏空間譜匹配的高分辨率DOA估計方法，該方法通過對過完備基矩陣進(jìn)行奇異值分解，利用TSVD(truncated SVD)方法剔除較小奇異值的影響，利用較大特征值對應(yīng)的特征向量構(gòu)建一個良態(tài)的矩陣，并用此矩陣替代過完備基，利用lp范數(shù)約束正則化FOCUSS算法進(jìn)行稀疏重構(gòu)，通過對信源功率的估計實現(xiàn)波達(dá)角的估計，解決了網(wǎng)格細(xì)劃分下過完備基條件數(shù)過大帶來的病態(tài)問題，并采用粗、細(xì)兩步網(wǎng)格劃分策略降低算法復(fù)雜度. 計算機仿真結(jié)果驗證了所提算法的有效性.

1 稀疏信號模型

假設(shè)有K個遠(yuǎn)場不相關(guān)窄帶信號從不同的入射方向θk(k=1，2，…，K)入射到M(M>K)元均勻線陣上，陣元間距為d(d≤λ/2，λ為信源波長). 以第一個陣元為相位參考點，高斯白噪聲背景下陣列輸出可表示為

(1)

式中：s(t)=[s1(t) s2(t) … sK(t)]H為0均值信號向量；n(t)為0均值，方差為σ2的噪聲向量；t=1，2，…，T，T為快拍數(shù)；A(θ)為M×K的陣列流型矩陣，它的第k列代表第k個信號的導(dǎo)向矢量為

(2)

式中：f為載波頻率；c為傳播速度.

(3)

(4)

基于式(4)，構(gòu)造陣列輸出信號的協(xié)方差矩陣

(5)

式中：E{·}表示數(shù)學(xué)期望；(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置；Rs=E{ s′(t)s′H(t)}=diag[P1P2… PN]為K稀疏的信號協(xié)方差矩陣；IM為M×M的單位矩陣.

2 稀疏DOA估計算法

直接利用文獻(xiàn)[5-7，9]中的稀疏重構(gòu)算法求解式(3)或式(5)的欠定方程組即可得到DOA估計，然而在信源數(shù)或快拍數(shù)較多的情況下，上述算法的實時性難以保證. 為此，本文對式(5)表示的陣列協(xié)方差矩陣進(jìn)行向量化處理，表示為

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

式中λ(>0)為權(quán)衡稀疏性和噪聲影響的正則化參數(shù)，可通過修正l-curve準(zhǔn)則確定[11]. 參數(shù)p的選擇要考慮收斂速度和稀疏性，參數(shù)p在0.8～1.0之間選擇被證明是收斂速度和稀疏解精確度之間的一個折中選擇. 利用式(8)～(11)，通過多次迭代可實現(xiàn)對N×1的K稀疏功率矩陣P的估計，由于P與N個可能的入射角度一一對應(yīng)，從而實現(xiàn)了信源波達(dá)角的估計.

(12)

本文算法步驟為：

② 采用粗網(wǎng)格(1°～2°)劃分并利用式(8)更新迭代結(jié)果；

大量仿真實驗顯示，ε=0.01是一個很好的選擇. 同時當(dāng)預(yù)設(shè)迭代次數(shù)達(dá)到15即可滿足重構(gòu)后的稀疏性要求.

本文所提算法涉及的計算復(fù)雜度主要包括三部分，陣列協(xié)方差矩陣Rx的構(gòu)建需要的乘法次數(shù)為O(M2T)，對過完備基進(jìn)行SVD分解需要O(MN2)，基于FOCUSS的稀疏信號重構(gòu)過程需要O(k(M3+M2N))，其中k代表迭代次數(shù)，本文中k=15即可滿足稀疏性要求. 而基于MFOCUSS的稀疏信號重構(gòu)算法的主要計算復(fù)雜度分別為O(k(M3+M2N+MNT)). 通常假定M?N，M

3 仿真實驗

在下面的仿真實驗中，考慮一個由7個陣元組成的均勻線陣陣列ULA，陣元間距為0.5倍波長，在窄帶復(fù)正弦信號和加性高斯白噪聲背景下.

仿真實驗1：考慮兩個窄帶非相關(guān)信源DOA估計情況，入射角度分別為θ1=5°，θ2=20°，SNR為10 dB，快拍數(shù)為200. 圖1為以1°在[-90°，90°]范圍內(nèi)進(jìn)行空間粗網(wǎng)格劃分后的空間譜估計結(jié)果，圖2為以0.2°在[0°，30°]范圍內(nèi)進(jìn)行空間局部細(xì)網(wǎng)格劃分后的空間譜估計結(jié)果.

從圖1和圖2可以看出，在網(wǎng)格粗劃分下，MUSIC，MFOCUSS和本文方法均具有較好的估計結(jié)果，而在局部網(wǎng)格細(xì)劃分下，由于過完備基條件數(shù)過大，MFOCUSS算法出現(xiàn)了較大的估計偏差，而MUSIC方法和本文方法則具有較好的穩(wěn)健性.

仿真實驗2：考慮兩個鄰近窄帶非相關(guān)信源DOA估計情況，入射角度分別為θ1=10°，θ2=15°，快拍數(shù)為200，以1°在[-90°，90°]范圍內(nèi)進(jìn)行空間網(wǎng)格劃分. 圖3和圖4分別為SNR為10 dB和SNR為0 dB條件下不同算法的空間譜輸出結(jié)果. 從圖3和圖4可以看出在SNR為10 dB條件下除CAPON方法外，均能有效地分辨兩個信源，而在SNR為0 dB條件下只有本文方法能有效地分辨兩個信源，即本文所提算法具有更高的分辨率.

仿真實驗3：為了驗證本文所提算法能處理的最大信源個數(shù)，在7個陣元下考慮6個窄帶非相關(guān)信源DOA估計情況，入射角度分別為θ1=-50°，θ2=-30°，θ3=-10°，θ4=10°，θ5=30°，θ6=50°，SNR為10 dB，快拍數(shù)為200. 從圖5可以看出，本文所提算法和經(jīng)典的CAPON方法和MUSIC方法一樣，在M個陣元下可以有效地估計M-1個信源.

仿真實驗4：分別考慮不同SNR和快拍數(shù)對MFOCUSS和本文算法估計性能的影響. 實驗中，入射角度分別為θ1=-10°，θ2=20°，為保證MFOCUSS算法的有效性，以0.1°在[-90°，90°]范圍內(nèi)進(jìn)行空間網(wǎng)格劃分，而本文算法在1°粗網(wǎng)格劃分后以0.1°在[-15°，25°]范圍內(nèi)進(jìn)行局部細(xì)網(wǎng)格劃分. 圖6為快拍數(shù)T=500，信噪比由-10～15 dB時的DOA估計均方根誤差隨SNR變化結(jié)果. 圖7為SNR為0 dB，快拍數(shù)由100～600時的DOA估計均方根誤差隨快拍數(shù)變化結(jié)果. 從圖6和圖7可以看出，本文算法在信噪比小于5 dB或快拍數(shù)大于300條件下具有明顯優(yōu)于MFOCUSS算法的估計性能，同時值得注意的是本文算法可以進(jìn)行局部精細(xì)搜索，因此將具有更高的估計精度和較低的復(fù)雜度.

4 結(jié) 論

針對網(wǎng)格細(xì)劃分下過完備基條件數(shù)過大對迭代加權(quán)最小范數(shù)類算法的嚴(yán)重影響，在此基礎(chǔ)上提出了一種新的基于空間譜匹配與正則化FOCUSS相結(jié)合的稀疏DOA估計方法. 該方法通過對陣列協(xié)方差矩陣向量化和采用粗、細(xì)兩步網(wǎng)格劃分策略降低算法復(fù)雜度，通過奇異值分解及剔除小奇異值項，解決了網(wǎng)格細(xì)劃分下過完備基條件數(shù)過大時極易受到噪聲干擾的問題，算法性能將急劇下降甚至失效，易受噪聲干擾的問題帶來的病態(tài)問題. 最后利用正則化FOCUSS算法進(jìn)行稀疏重構(gòu)獲得信源DOA參數(shù). 本文方法與經(jīng)典子空間方法相比，具有更高的分辨率，而與MFOCUSS典型稀疏信號重建算法相比，除具有更高的分辨率外，還具有更好的估計精度和噪聲魯棒性，是一種穩(wěn)健的高分辨DOA估計算法.

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(責(zé)任編輯：李兵)

High Resolution Direction-of-Arrival Estimation Based on Sparse Spectral Fitting

CHEN Jian1， TIAN Ye2， SUN Xiao-ying1

(1.College of Communication and Engineering， Jilin University， Changchun， Jilin 130012， China;2. School of Information Science and Engineering， Yanshan University， Qinhuangdao， Hebei 066004，China)

In this paper， a novel high-resolution direction-of-arrival estimation method was presented based on sparse spectral fitting to overcome the drawback that the performance of iterative re-weighted least squares algorithm could be impacted with the overcomplete basis matrix condition number. A singular value decomposition (SVD) was employed to handle the overcomplete basis， adopting the truncated SVD (TSVD) method to remove those singular vectors that corresponded with smaller singular value and obtain a well-conditioned matrix， and using this matrix to replace the overcomplete basis matrix. Then a regularized FOCUSS algorithm withlpnorm constraint was applied for sparse signal reconstruction to resolve ill-posed problem when the overcomplete basis matrix condition number got too large， and coarse-refined space grid separation was used to decrease the computational complexity. Simulation results show that compared with MFOCUSS algorithm， the proposed method can not only reduce computational complexity， but also hold much higher resolution and robustness to noise.

direction of arrival; sparse signal reconstruction; overcomplete basis; FOCUSS； singular value decomposition(SVD)

2014-04-25

國家自然科學(xué)基金資助項目(61171137)

陳建(1977—)，男，講師，E-mail:chenjian@jlu.edu.cn; 田野(1985—)，男，博士生，E-mail:tianfield@126.com；孫曉穎(1969—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:sunxy@jlu.edu.cn.

TN 911.7

A

1001-0645(2016)10-1043-05

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.10.011