張欣欣， 武海軍， 黃風(fēng)雷

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室， 北京 100081)

?

考慮剪脹效應(yīng)的混凝土動態(tài)柱形空腔膨脹理論

張欣欣， 武海軍， 黃風(fēng)雷

(北京理工大學(xué) 爆炸科學(xué)與技術(shù)國家重點實驗室， 北京 100081)

同時考慮混凝土的壓縮和擴(kuò)容特性，建立了動態(tài)柱形空腔膨脹理論，其中完整的靶體響應(yīng)為密實區(qū)-擴(kuò)容區(qū)-開裂區(qū)-彈性區(qū)，在擴(kuò)容區(qū)采用擴(kuò)容方程，使用該理論得到了空腔表面應(yīng)力與膨脹速度的表達(dá)式，并使用該式計算得到彈體侵深和加速度. 研究結(jié)果表明，運用該理論建立的剛性侵徹方程，其計算結(jié)果與實驗結(jié)果具有良好的一致性，模型可以較好描述不同頭部形狀尖卵形彈體的侵徹能力以及加速度變化趨勢.

混凝土；動態(tài)柱形空腔膨脹理論；剪脹效應(yīng)；侵徹

空腔膨脹理論為一種最基本的理論方法用來求解侵徹過程中彈體表面的受力情況. 空腔膨脹理論最初由R.F.Bishop，R.Hill等[1]提出，他們于1945年建立了準(zhǔn)靜態(tài)空腔膨脹理論，用于研究錐形頭部沖桿的受力. 隨后，F(xiàn)orrestal等[2-3]根據(jù)柱形空腔膨脹對不同形狀彈體侵徹地質(zhì)類靶體進(jìn)行研究，得到了彈體頭部受力與侵徹速度之間的關(guān)系.

Thomas Gabet等[4]和Xuan Hong Vu等[5]分別采用不同的加載路徑對混凝土實際變形進(jìn)行實驗，由實驗結(jié)果可得，混凝土材料在靜水壓加載情況下，所受各向應(yīng)力均相等，材料一直呈現(xiàn)壓縮狀態(tài)，但在三軸加載時，隨著偏應(yīng)力的出現(xiàn)并逐漸增大混凝土材料會由壓縮轉(zhuǎn)向膨脹狀態(tài). Tao He等[6]和Guo X J等[7]分別建立了考慮混凝土剪脹效應(yīng)的動態(tài)球形和柱形空腔膨脹模型，該模型采用彈性-開裂-密實分區(qū)，并且在密實區(qū)引入擴(kuò)容方程，使用該模型計算得到的侵深值和實驗結(jié)果較符合，表明模型具有一定合理性.

由文獻(xiàn)[8-11]可得，在較高靜水壓加載下，混凝土靶體擴(kuò)容特性消失，只呈現(xiàn)壓縮狀態(tài). 本文在上述研究基礎(chǔ)上，同時考慮混凝土材料的壓縮和擴(kuò)容特性，建立了動態(tài)柱形空腔膨脹模型，將靶體分為密實區(qū)、擴(kuò)容區(qū)、開裂區(qū)以及彈性區(qū)，在擴(kuò)容區(qū)采用擴(kuò)容方程，在密實區(qū)采用壓縮方程，得到了空腔表面徑向應(yīng)力和膨脹速度的擬合表達(dá)式，利用侵徹公式對尖卵形彈體的侵深及加速度進(jìn)行計算并與實驗值作對比.

1 基本方程

在Euler坐標(biāo)系下，柱形空腔膨脹的質(zhì)量守恒和動量守恒方程[12]分別為

(1)

(2)

式中：ρ為混凝土材料密度；v為質(zhì)點速度；r為徑向坐標(biāo)；t為時間；σr，σθ，σz分別為3個主應(yīng)力，并且假設(shè)在彈性區(qū)和開裂區(qū)σz=ν(σr+σθ)，在擴(kuò)容區(qū)和密實區(qū)σz=σθ.

質(zhì)量和動量守恒形式的Hugoniot間斷條件[9]為

(3)

(4)

式中：ρ+、ρ-分別為波前、波后介質(zhì)的密度；v+、v-分別為波前、波后介質(zhì)的質(zhì)點速度；cn為波陣面速度；σ+、σ-分別為波前、波后介質(zhì)中的正應(yīng)力.

2 動態(tài)柱形空腔膨脹理論

考慮混凝土的剪脹效應(yīng)，形成新的空腔膨脹理論. 該模型具有彈性區(qū)、開裂區(qū)、擴(kuò)容區(qū)以及密實區(qū). 當(dāng)空腔膨脹速度超過一定值時，密實區(qū)出現(xiàn)，開裂區(qū)消失.

2.1 彈性區(qū)

彈性區(qū)的混凝土材料可以用經(jīng)典的Hooke定律描述，柱坐標(biāo)下徑向和周向應(yīng)力為

(5)

(6)

(7)

式中c1為彈性區(qū)與開裂區(qū)的界面?zhèn)鞑ニ俣?

常微分方程具有通解:

(8)

2.2 開裂區(qū)

在開裂區(qū)中，環(huán)向應(yīng)力σθ=0，采用相似變換，

(9)

其中c2為開裂區(qū)與擴(kuò)容區(qū)的界面?zhèn)鞑ニ俣?，守恒方?1)(2)變?yōu)?/p>

(10)

由于開裂區(qū)和彈性區(qū)之間質(zhì)點速度連續(xù)，可得邊界條件為

(11)

徑向應(yīng)力在開裂區(qū)與擴(kuò)容區(qū)的界面應(yīng)當(dāng)滿足庫倫屈服準(zhǔn)則為

(12)

2.3 擴(kuò)容區(qū)

在擴(kuò)容區(qū)使用擴(kuò)容方程為[6]

(13)

在擴(kuò)容區(qū)材料滿足Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則，

(14)

積分式(13)，并且取邊界條件v(c2t，t)=v3，可得式(15). 其中v3為擴(kuò)容區(qū)和開裂區(qū)交界處擴(kuò)容區(qū)一側(cè)的質(zhì)點速度.

(15)

(16)

2.4 密實區(qū)

在密實區(qū)采用Tresca屈服準(zhǔn)則，

(17)

在密實區(qū)的壓縮方程為

(18)

式中：η為體積應(yīng)變；Klock為密實段體積模量；plock為密實區(qū)初始壓力；ηlock為密實區(qū)初始體積應(yīng)變；τm為最大剪切強(qiáng)度.

由式(17)和式(18)聯(lián)立，并引入相似變換

(19)

則式(1)(2)可以變換為

(20)

(21)

式中

3 動態(tài)柱形空腔膨脹數(shù)值計算結(jié)果

對于文獻(xiàn)[13]中無約束抗壓強(qiáng)度分別為23 MPa和39 MPa的混凝土，采用文獻(xiàn)[14]中所提出的簡化HJC本構(gòu)模型參數(shù)，并根據(jù)本文推導(dǎo)的柱形空腔膨脹理論公式，運用Matlab程序?qū)涨慌蛎涍^程中的徑向應(yīng)力和質(zhì)點速度的關(guān)系進(jìn)行數(shù)值計算，計算結(jié)果如圖1和圖2所示.

由上述計算結(jié)果可以分別得到柱形空腔表面徑向應(yīng)力和膨脹速度的擬合表達(dá)式

(22)

對于文獻(xiàn)[13]中無約束抗壓強(qiáng)度分別為23 MPa和39 MPa的混凝土，計算得到的柱形空腔膨脹擬合系數(shù)如表1所示.

表1 混凝土動態(tài)空腔膨脹壓力擬合參數(shù)

4 不同頭部形狀彈體侵深及加速度計算

利用上述柱形空腔膨脹擬合參數(shù)以及文獻(xiàn)[15]中的侵徹方程對文獻(xiàn)[13]中CRH=6的卵形彈體侵徹混凝土靶的侵深和加速度進(jìn)行計算，結(jié)果如下所示. 圖3和圖4分別為彈體侵徹23 MPa和39 MPa混凝土?xí)r的侵深計算結(jié)果，由結(jié)果可得，使用本文柱形空腔膨脹理論模型得到的侵深值和實驗值較為吻合，誤差均在10%以內(nèi)，并且當(dāng)混凝土的強(qiáng)度為39 MPa時，使用本文中的模型要明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[13]中的理論模型. 圖5，圖6分別為初速為313 m/s和449 m/s的彈體侵徹39 MPa混凝土的加速度-時間歷程曲線，由結(jié)果可得，使用本文理論模型計算得到的加速度曲線和實驗數(shù)據(jù)的一致性較好. 因此，本文所提模型可以較好地描述CRH=6卵形彈體的侵徹能力以及加速度變化趨勢.

圖7為文獻(xiàn)[16]中頭部形狀系數(shù)CRH=8彈體侵徹48 MPa混凝土的侵深計算結(jié)果. 圖8為文獻(xiàn)[16]中頭部形狀系數(shù)CRH=12彈體侵徹113 MPa混凝土的侵深計算結(jié)果.

由圖7和圖8可得，使用本文柱形空腔膨脹理論模型得到的侵深值和實驗值基本吻合，表明該模型具有一定的合理性.

綜上所述，本文所提模型可以較好描述和預(yù)測不同頭部形狀尖卵形彈體侵徹不同強(qiáng)度混凝土的侵徹能力和加速度，同時對于本文所提尖卵形彈體，柱形空腔膨脹模型相比球形空腔膨脹模型具有更好的適用性.

5 結(jié) 論

建立了考慮剪脹效應(yīng)的混凝土動態(tài)柱形空腔膨脹理論，使用該理論得到了空腔表面應(yīng)力與膨脹速度的表達(dá)式以及卵形彈體的侵徹受力方程. 研究結(jié)果表明，運用該理論建立的剛性侵徹方程，其計算結(jié)果與實驗結(jié)果具有良好的一致性，模型可以較好描述尖卵形彈體的侵徹能力以及加速度變化趨勢，同時對于上述尖卵形彈體，柱形空腔膨脹模型相比球形空腔膨脹模型具有更好的適用性.

[1] Bishop R F， Hill R, Mott N F. The theory of indentation and hardness[C]∥Proceeding of the Physical Society. London, England: [s.n.]， 1945:147-155.

[2] Forrestal M J， Longcope D B， Norwood F R. A model to estimate forces on conical penetrators into dry porous rock[J]. J Appl Mech, 1981，103(1):25-29 .

[3] Longcope D B， Forrestal M J. Closed-form approximations for forces on conical penetrators into dry porous rock[J]. J. Appl. Mech, 1981，48(4):971-972.

[4] Gabet T， Malécot Y， Daudeville L. Triaxial behaviour of concrete under high stresses: Influence of the loading path on compaction and limit states[J]. Cement and Concrete Research， 2008，38(3):403-412.

[5] Vua X H， Malecota Y， Daudevillea L，et al. Experimental analysis of concrete behavior under high confinement: Effect of the saturation ratio[J]. International Journal of Solids and Structures， 2009，46(5):1105-1120.

[6] He Tao， Wen Heming， Guo Xiaojun. A spherical cavity expansion model for penetration of ogival-nosed projectiles into concrete targets with shear-dilatancy[J]. Acta Mechanica Sinica， December， 2011，27(6):1001-1012.

[7] Guo Xiaojun， He Tao， Wen Heming. Cylindrical cavity expansion penetration model for concrete targets with shear dilatancy[J]. J. Eng. Mech.， 2013，139(9):1260-1267.

[8] Nikolaevskij V N. Mechanics of porous and fractured media[M].[S.l.]: World Scientific Press, 1990.

[9] Vermeer P A. de Borst R. Non-associated plasticity for soils[J]. Concrete and Rock, 1984,29:1-64.

[10] 閃雨，武海軍，黃風(fēng)雷.彈體侵徹混凝土側(cè)壁摩擦阻力研究[J].北京理工大學(xué)學(xué)報，2012，32(1):12-27.

Shan Yu， Wu Haijun， Huang Fenglei. Study on the behavior of projectile shank friction penetrating into concrete[J]. Transactions of Beijing Institute ofTechnology， 2012，32(1):12-17. (in Chinese)

[11] 馬兆芳，段卓平，歐卓成，等.尾裙對彈體斜侵徹混凝土薄靶彈道的影響規(guī)律研究[J].北京理工大學(xué)學(xué)報，2015，35(6):576-579.

Ma Zhaofang， Duan Zhuoping， Ou Zhuocheng， et al. Investigation on the influence rules of the tapered tail projectile penetration into thin concrete target[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology， 2015，35(6):576-579. (in Chinese)

[12] Li J C， Ma G W， Yu M H. Penetration analysis for geo-material based on unified strength criterion[J]. Int J Impact Engng，2008，35:1154-1163.

[13] Forrestal M J， Frew D J， Hickerson J P， et al. Penetration of concrete targets with deceleration-time measurements[J]. Int J Impact Eng， 2003,28:479-497.

[14] Holmquist T J， Johnson G R， Cook W H. A computational constitutive model for concrete subjected to large strains， high strain rates， and high pressures[C]∥Proceedings of the 14th International Symposium on Ballistics. Québec， Canada: [s.n.]， 1993.

[15] Wang Y N， Wu H J， Huang F L， et al. Analysis of rigid motion for penetration of concrete[C]∥Proceedings of the 7th International Conference on Shock & Impact Loads on Structures. Beijing: [s.n.], 2007：627-638.

[16] Hansson H. Warhead penetration in concrete protective structures[D]. Sweden: Royal Institute of Technology， 2011.

(責(zé)任編輯：劉雨)

Theory of Dynamic Cylindrical Cavity Expansion of Concrete with Shear-Dilatancy

ZHANG Xin-xin， WU Hai-jun， HUANG Feng-lei

(State Key Laboratory of Explosion Science and Technology， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081， China)

Considering the compression as well as the dilatation of the concrete, a theory of dynamic cylindrical cavity expansion was proposed, where the complete response of target included densification region, dilatation region, crack region, elastic region, and the dilatant-kinematic relation was used in the dilatation region. A relation between the cavity stress and the expansion speed was got based on the theory, and according to the relation both the depth of penetration and the acceleration were calculated. The research indicates that the calculated results based on the theory fit well with the experiment data, and the model can predict the penetration ability and the acceleration of the projectile with CRH=6 well.

concrete; dynamic cylindrical cavity expansion; shear-dilatancy; penetration

2015-06-15

國家自然科學(xué)基金資助項目(11390362，11572048)；國家部委基礎(chǔ)科研項目(B1020132071)

張欣欣(1987—)，男，博士生，E-mail:xxwade2020@163.com；武海軍(1974—)，男，教授，博士生導(dǎo)師，E-mail:wuhj@bit.edu.cn.

O 385

A

1001-0645(2016)10-1006-05

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.10.004