陳超倩， 曹偉， 王聰， 魏英杰

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江，哈爾濱 150001)

?

超空泡航行體最優(yōu)控制建模與仿真

陳超倩， 曹偉， 王聰， 魏英杰

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江，哈爾濱 150001)

基于空泡獨(dú)立膨脹原理分析了超空泡航行體在小機(jī)動(dòng)條件下空泡軸線的偏移，詳細(xì)計(jì)算了航行體各部分流體動(dòng)力，建立了超空泡航行體縱向運(yùn)動(dòng)非線性動(dòng)力學(xué)模型. 針對(duì)該模型存在嚴(yán)重的動(dòng)態(tài)耦合與操縱耦合，利用精確線性化方法進(jìn)行了解耦處理，進(jìn)而設(shè)計(jì)了最優(yōu)控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)航行深度的漸進(jìn)跟蹤控制. 仿真結(jié)果表明：該控制系統(tǒng)能夠有效地跟蹤深度信號(hào)，具有良好的控制品質(zhì)；航行體能穩(wěn)定在空泡內(nèi)而不與空泡壁面接觸.

流體力學(xué)；超空泡；滑行力；非線性；最優(yōu)控制

超空泡航行體由于空泡的包裹而顯著降低了水下運(yùn)動(dòng)的阻力，因而具有明顯的速度優(yōu)勢(shì)[1-2]. 同時(shí)，超空泡技術(shù)所引起的浮力缺失、尾拍、強(qiáng)非線性等復(fù)雜特性給超空泡航行體的機(jī)動(dòng)及穩(wěn)定控制帶來(lái)了極大的困難[3]. 目前，國(guó)內(nèi)外針對(duì)超空泡航行體非線性動(dòng)力學(xué)建模及控制方面已有部分研究成果發(fā)表. Dzieiski和Kurdila等[4]對(duì)超空泡航行體縱平面內(nèi)控制的基準(zhǔn)問(wèn)題進(jìn)行了研究；Qiang等[5]等基于文獻(xiàn)[4]的模型，采用反步法設(shè)計(jì)了狀態(tài)反饋控制器，對(duì)超空泡航行體進(jìn)行了穩(wěn)定控制研究；Vanek等[6]改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]中的模型，考慮了空泡的記憶效應(yīng)，利用反饋線性化方法與極點(diǎn)配置法，設(shè)計(jì)了雙閉環(huán)控制系統(tǒng)，實(shí)現(xiàn)了跟蹤控制.

本文首先在文獻(xiàn)[4]給出的動(dòng)力學(xué)模型基礎(chǔ)上，考慮了空化器攻角及重力場(chǎng)對(duì)空泡形態(tài)的影響，從而建立了更加精確的超空泡航行體非線性動(dòng)力學(xué)模型. 針對(duì)該模型本身的強(qiáng)非線性以及存在動(dòng)態(tài)耦合與操縱耦合的特點(diǎn)，采用精確線性化方法對(duì)其進(jìn)行輸入輸出解耦，進(jìn)而根據(jù)最優(yōu)控制理論，以跟蹤誤差為優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)計(jì)了非線性深度跟蹤控制器，獲得了較滿意的仿真結(jié)果，對(duì)將來(lái)超空泡航行體的實(shí)際應(yīng)用具有一定的工程意義.

1 超空泡航行體數(shù)學(xué)模型

本文主要研究超空泡航行體巡航階段縱平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng). 做如下基本假設(shè)：航行體在水平方向的推力與阻力始終保持平衡，直航速度近似看作勻速；航行體為理想剛體且質(zhì)量與質(zhì)心位置保持恒定；航行體在縱平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)為小角度機(jī)動(dòng).

在超空泡狀態(tài)下，由于航行體大部分表面被空泡包裹而幾乎失去了浮力作用. 保持航行體穩(wěn)定及對(duì)其進(jìn)行控制所需的流體動(dòng)力主要由頭部空化器、尾翼的沾濕部分及尾部滑行力提供. 如圖1所示，超空泡航行體在巡航段主要受力有：空化器所受升力Fc，尾翼所受升力Ff，航行體尾部與空泡壁接觸所形成的滑行力Fp，以及質(zhì)心處所受重力Fg.

1.1 空泡形態(tài)預(yù)測(cè)及流體動(dòng)力計(jì)算

對(duì)空泡形態(tài)的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)是超空泡航行體流體動(dòng)力計(jì)算的基礎(chǔ). 空泡在重力的作用下會(huì)發(fā)生一定程度的“上漂”，空化器攻角的變化也會(huì)使空泡軸線產(chǎn)生偏移. Logvinovich基于獨(dú)立膨脹原理及大量的試驗(yàn)給出了空泡形態(tài)的半理論半經(jīng)驗(yàn)預(yù)測(cè)公式及其修正式[7].

(1)

在空化數(shù)σ<0.1，且弗勞德數(shù)Fr較大的條件下，空泡由于重力影響而產(chǎn)生的軸線偏移量hg為[7]

(2)

式中：ζ=x/Lk；x為空泡截面與空化器間的距離；v為航行體速度；g為重力加速度.

空化器偏轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的空泡軸線偏移量hc為[7]

(3)

式中：θ為航行體俯仰角；δc為空化器偏轉(zhuǎn)角.

空化器主要有兩方面的作用，一方面在航行體達(dá)到一定速度時(shí)誘導(dǎo)生成空泡，另一方面空化器可以作為一個(gè)控制面，與來(lái)流形成適當(dāng)?shù)墓ソ钱a(chǎn)生穩(wěn)定于控制航行體所需的流體動(dòng)力. 本文采用文獻(xiàn)[4]中提供的空化器升力估算公式為

(4)

式中：ρ為水的密度；vy為航行體垂向速度；ωz為俯仰角速度；Lc為空化器與質(zhì)心間的距離.

尾翼只有浸入水中與水有直接接觸的沾濕部分才能產(chǎn)生流體動(dòng)力. 由于空泡與航行體相對(duì)位置的不確定性，實(shí)際航行過(guò)程中尾翼沾濕面積是時(shí)變的. 根據(jù)航行體在縱平面內(nèi)做小角度機(jī)動(dòng)的假設(shè)，可以近似認(rèn)為尾翼沾濕面積為常數(shù). 參照文獻(xiàn)[6]的思路，將尾翼看作一種特殊的楔形空化器，得到其升力估算公式為

(5)

式中：n為尾翼升力與空化器升力的相似系數(shù)；Lf為尾翼與質(zhì)心間的距離；δf為尾翼偏轉(zhuǎn)角.

航行體高速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，航行體尾部會(huì)與空泡壁面發(fā)生碰撞從而產(chǎn)生滑行力. 可以將滑行力簡(jiǎn)化為細(xì)長(zhǎng)體浸入自由液面考慮，采用文獻(xiàn)[8]中的滑行力工程估算公式，同時(shí)考慮重力及空化器偏轉(zhuǎn)的影響，即結(jié)合式(2)(3)，得到滑行力為

(6)

(7)

(8)

式中：L′=Lω/v+hc+hg；h′為相對(duì)浸入深度；αp為浸入角度；L為航行體長(zhǎng)度；R為航行體圓柱段半徑.

1.2 超空泡航行體動(dòng)力學(xué)模型

建立圖1所示固定坐標(biāo)系與航行體坐標(biāo)系，固定坐標(biāo)系的原點(diǎn)E位于垂直平面內(nèi)，豎直向上為正. 航行體坐標(biāo)系原點(diǎn)O與質(zhì)心重合，Ox軸沿航行體中心線指向前方，Oy軸與Ox垂直，當(dāng)航行體水平放置時(shí)，指向上方為正.

基于前文對(duì)超空泡航行體空泡形態(tài)的預(yù)測(cè)及各部分流體動(dòng)力的分析計(jì)算，利用動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理，可得超空泡航行體縱向運(yùn)動(dòng)模型表述如下：

(9)

2 最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)及仿真

2.1 系統(tǒng)開環(huán)特性

圖2為系統(tǒng)零初始狀態(tài)下的開環(huán)響應(yīng)曲線. 從中可以看出，超空泡航行體在無(wú)控狀態(tài)下由于重力的作用，航行深度與俯仰角無(wú)限制地增加，航行深度在數(shù)值上接近均勻增加，俯仰角在不斷變大的同時(shí)出現(xiàn)持續(xù)振蕩，過(guò)大的俯仰角最終將導(dǎo)致航行體的傾覆. 垂向速度與俯仰角速度基本保持等幅振蕩. 滑行力是超空泡航行體所受流體動(dòng)力當(dāng)中最復(fù)雜的一種，從圖2(e)中可知，初始時(shí)刻整個(gè)航行體完全處于空泡之中而未產(chǎn)生滑行力，隨后由于重力的作用，航行體尾部下沉并穿透空泡下壁面浸入水中而產(chǎn)生向上的滑行力. 滑行力隨尾部浸入深度的增加而迅速變大，導(dǎo)致航行體被彈回空泡中并繼續(xù)向上擺動(dòng)與空泡上壁面接觸產(chǎn)生反向的滑行力. 航行體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中尾部不斷擺動(dòng)，與空泡的上下壁面反復(fù)發(fā)生碰撞，滑行力呈現(xiàn)出周期性的振蕩.

根據(jù)以上對(duì)開環(huán)運(yùn)動(dòng)特性分析可知，在無(wú)控狀態(tài)下，系統(tǒng)由于沒(méi)有平衡點(diǎn)且存在強(qiáng)非線性項(xiàng)，超空泡航行體的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的，其航行深度與俯仰角均不斷加大，滑行力呈現(xiàn)周期性的振蕩. 因此有必要加入反饋控制，使航行體能夠維持在空泡內(nèi)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng).

2.2 非線性控制器設(shè)計(jì)

基于式(9)所建立的非線性數(shù)學(xué)模型，采用精確線性化方法，通過(guò)適當(dāng)?shù)姆蔷€性狀態(tài)反饋和反饋?zhàn)儞Q，實(shí)現(xiàn)輸入輸出的精確線性化[9]. 首先，將式(9)改寫為

(10)

式中：

通過(guò)求解李導(dǎo)數(shù)可知該MIMO系統(tǒng)的相對(duì)階r1=r2=2，總相對(duì)階為r=r1+r2=4. 重復(fù)對(duì)輸出yi進(jìn)行微分，直至其表達(dá)式中出現(xiàn)控制輸入，可得

(11)

式中：

若A(x)可逆，則取狀態(tài)輸入變換為

(12)

式(12)代入式(11)可得如下簡(jiǎn)單形式方程：

(13)

通過(guò)以上的非線性變換實(shí)現(xiàn)了輸入輸出線性化，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了輸入輸出的解耦，即輸入νi僅對(duì)yi產(chǎn)生影響.

(14)

式中：

(15)

系數(shù)ki的選擇應(yīng)使兩個(gè)解耦子系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的特征多項(xiàng)式的所有根均位于左半復(fù)平面. 將式(15)代入式(14)可得誤差動(dòng)態(tài)方程為

(16)

由于系統(tǒng)完全能控，因此存在狀態(tài)反饋控制器. 選取如下二次型性能指標(biāo)泛函：

(17)

當(dāng)式(17)取最小值時(shí)，可得線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器為

(18)

式中P為滿足Riccati方程的正定對(duì)稱矩陣.

(19)

聯(lián)立式(12)(15)(18)，可得基于反饋線性化的最優(yōu)控制器最終表達(dá)式為

(20)

2.3 控制算法仿真分析

令系統(tǒng)在初始時(shí)刻的航行深度ye=-2 m，俯仰角分別為θ=1°，2°，3°，垂向速度vy=-3 m/s，俯仰角速度ωz=10°/s. 綜合考慮響應(yīng)速度及控制面輸入的飽和等因素，選擇適當(dāng)?shù)目刂破鲄?shù). 采用前述基于反饋線性化的最優(yōu)控制器對(duì)深度信號(hào)yr=-sint-2進(jìn)行深度跟蹤控制仿真，得到仿真結(jié)果如圖3所示.

對(duì)圖3分析可知，當(dāng)航行體存在初始擾動(dòng)的條件下，由于航行體初始垂向速度為負(fù)，因此航行深度在初始階段略小于跟蹤信號(hào). 而后在控制器的調(diào)節(jié)下快速地趨向指定深度信號(hào)，調(diào)節(jié)過(guò)程中超調(diào)較小. 在3種不同初始俯仰角條件下，穩(wěn)態(tài)誤差均小于2%，調(diào)節(jié)時(shí)間小于1.0 s，滿足控制精度的要求，較好地實(shí)現(xiàn)了深度跟蹤任務(wù). 同時(shí)，如圖3(e)與圖3(f)所示，空化器及尾翼流體動(dòng)力所產(chǎn)生的力矩在1.5 s后基本相互抵消，因此俯仰角及俯仰角速度能夠趨向恒定，即航行體的姿態(tài)得到了較好地控制. 此時(shí)深度方向的位移與速度的變化主要依賴空化器、尾翼流體動(dòng)力的垂向分量及重力的共同作用下實(shí)現(xiàn).

系統(tǒng)以空化器及尾翼的偏轉(zhuǎn)作為控制輸入，對(duì)于實(shí)際執(zhí)行機(jī)構(gòu)而言，其可操縱的范圍是有限的. 從圖3(g)與圖3(h)中可以看出，控制面在初始階段由于外部干擾的影響偏轉(zhuǎn)幅度較大，之后控制量迅速下降. 空化器偏轉(zhuǎn)范圍±6°，尾翼偏轉(zhuǎn)范圍±20°，控制面偏轉(zhuǎn)角度均在實(shí)際可以容許的范圍之內(nèi).

圖3(i)為航行體尾部滑行力隨時(shí)間的變化曲線. 分析可知航行體在初始階段產(chǎn)生了較大的滑行力，在控制器的調(diào)節(jié)下滑行力迅速?gòu)姆逯迪陆?，約1 s后滑行力變?yōu)?. 表明此時(shí)航行體尾部與水脫離接觸并完全處于空泡包裹中.

3 結(jié) 論

在精確線性化方法的基礎(chǔ)上，采用最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)了超空泡航行體縱平面運(yùn)動(dòng)深度跟蹤控制器，通過(guò)數(shù)值仿真得到以下結(jié)論：

① 超空泡航行體在無(wú)控狀態(tài)下的運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的，滑行力周期性地出現(xiàn)加速了航行體的失穩(wěn)，有必要加入主動(dòng)控制以增強(qiáng)航行體的穩(wěn)定性；

② 控制器成功實(shí)現(xiàn)了對(duì)航行體的深度跟蹤，系統(tǒng)響應(yīng)迅速且具有較高的控制精度；

③ 控制面偏轉(zhuǎn)角被較好地限制在可容許范圍內(nèi)，能夠滿足工程實(shí)際要求；

④ 在控制器的調(diào)節(jié)下，航行體在較短時(shí)間內(nèi)過(guò)渡到無(wú)滑行力狀態(tài)，尾部能夠穩(wěn)定在空泡內(nèi)而不與空泡壁面相互碰撞，提高了航行體的穩(wěn)定性，同時(shí)一定程度上降低了尾部的摩擦阻力.

[1] 黃海龍，王聰，黃文虎，等.變攻角圓盤空化器生成自然超空泡數(shù)值模擬[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，28(2)：100-103.

Huang Hailong， Wang Cong， Huang Wenhu, et al. Numerical simulation on natural supercavity based on disk-cavitator with variable attack angle[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology， 2008，28(2):100-103. (in Chinese)

[2] 王復(fù)峰，王國(guó)玉，張敏弟，等.繞帶空化器回轉(zhuǎn)體空化流動(dòng)特性的試驗(yàn)研究[J].北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，33(9):920-924.

Wang Fufeng， Wang Guoyu， Zhang Mindi, et al. Experimental study on cavitating flows around an axisymmetric body with a cavitator[J]. Transactions of Beijing Institute of Technology， 2013，33(9):920-924. (in Chinese)

[3] Escobar S D， Balas G J， Arndt R E A. Planing avoidance control for supercavitating vehicles[C]∥the 2014 American Control Conference. Portland: IEEE， 2014:4979-4984.

[4] Dzieiski J， Kurdila A. A benchmark control problem for supercavitating vehicles and an initial investigation of solutions[J]. Journal of Vibration and Control， 2003，9(7):791-804.

[5] Qiang B， Sun Y， Han Y， et al. Absolute stability control of supercavitating vehicles based on backstepping[C]∥Proceedings of International Conference on Mechatronics and Automation. Tianjin: IEEE， 2014:1918-1923.

[6] Vanek B， Bokor J， Balas G J， et al. Longitudinal motion control of a high-speed supercavitation vehicle[J]. Journal of Vibration and Control， 2007，13(2):159-184.

[7] Logvinovich G V. Hydrodynamics of flow with free boundaries[M]. [S.l.]: Kiev Naukova Dumka， 1969:128.

[8] Vanek B， Bokor J. Theoretical aspects of high-speed supercavitation vehicle control[C]∥Proceedings of The 2006 American Control Conference. Minneapolis: IEEE， 2006:5263-5268.

[9] 賀昱曜，閆茂德.非線性控制理論及應(yīng)用[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2007:105-145.

He Yuyao， Yan Maode. Nonlinear control theory and applications[M]. Xi’an: Xidian University Press， 2007:105-145. (in Chinese)

(責(zé)任編輯：劉雨)

Modeling and Simulating of Supercavitating Vehicles Based on Optimal Control

CHEN Chao-qian， CAO Wei， WANG Cong， WEI Ying-jie

(School of Astronautics， Harbin Institute of Technology， Harbin, Heilongjiang 150001， China)

The deviation of cavitation axis under maneuver conditions was investigated based on the principle of cavity expansion independence. Through computing the hydrodynamic forces acting on supercavitating vehicles, a nonlinear dynamics model of supercavitating vehicles was presented for the longitudinal plane. Regarding the problem of serious dynamic coupling and control coupling characteristics in the nonlinear system, precision linearization method was used to achieve decoupling. Then an optimal controller was designed to realize the progressive tracking in a given depth. The simulation results show that the control system is able to track depth signals effectively and possesses good control performance; supercavitating vehicles can maintain stability in cavity and have no contact with the cavity surface.

fluid mechanics; supercavitation; planing force; nonlinear; optimal control

2015-06-10

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(HIT.NSRIF.2013033)

陳超倩(1987—)，男，博士生，E-mail:chenchaoqian321@163.com.

TJ 630.1

A

1001-0645(2016)10-1031-06

10.15918/j.tbit1001-0645.2016.10.009