朱維兵　晏靜江

摘要：有限元法已廣泛應用于工程實際的各領域中，已成為強有力的數(shù)值計算工具。本文結合筆者在實踐教學中的經驗和思考，從教學目的、教學模式和教學內容的選擇、教學方法的改進以及考核方式等方面進行了探討和總結，著力增強學生學習有限元法課程的興趣，提高教學效果，培養(yǎng)采用有限元法解決實際工程設計問題的能力。

Abstract： Widely used in various fields of engineering practice， finite element method has become a powerful numerical tool. This article， combined with the practical teaching experience and thinking of the author， the teaching objective， the choice of teaching mode and teaching content， teaching method improvement， and the appraisal way are discussed and summarized. The course objective focuses on enhancing students interest in learning the finite element method， and improving the quality of teaching， training students ability of solving engineering problem with finite element software.

關鍵詞：有限元法；教學方法；工程實踐

Key words： finite element method；teaching method；engineering practice

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2016）30-0111-03

0 引言

有限元法起源于50年代中期，是求解各種復雜數(shù)學問題最有效的數(shù)值計算方法之一，是在求解彈性力學問題的基礎上發(fā)展起來的，可以分析固體力學、流體力學、傳熱學、電磁學等領域的復雜工程問題[1]。目前，有限元法已經發(fā)展成為一種在工程設計中廣泛應用的分析方法。有限元法課程是為西華大學機械類專業(yè)碩士研究生開設的一門重要專業(yè)選修課，主要介紹有限元法的起源、基本思想和應用領域；有限元分析軟件的發(fā)展歷程、功能和計算分析步驟，用有限元法分析的工程問題；利用彈性力學求解平面問題原理，介紹有限元法的基本原理，包括單元插值函數(shù)的構造、單元分析、整體分析、載荷施加與約束簡化；軸對稱問題的有限元法；等參單元的優(yōu)缺點及應用；基于穩(wěn)態(tài)傳熱原理的加權余量有限元法；同時結合工程結構實際分析應用，為學生進一步學習或實際應用及參加科研項目工作打下基礎。經過多年的教學實踐，積累了一些體會和認識，現(xiàn)就課程的教學目的、教學模式和教學內容的選擇、教學方法的改進以及考核方式等方面進行了探討和總結。

1 明確教學目的

西華大學機械類碩士生有限元法課程的教學目的，是從數(shù)學力學基礎、有限元軟件、工程應用幾個方面開展教學工作，使學生從較高層次（數(shù)力原理）上掌握有限元方法的基本原理，熟練使用有限元分析軟件，具備初步分析工程設計問題的能力；給學生提供一個自主建模分析的優(yōu)良環(huán)境；以培養(yǎng)研究生的綜合素質和創(chuàng)新能力。結合工程實際，精選和設計具有代表性的課堂Project，在國際上先進的有限元分析軟件平臺（如ANSYS）上，進行幾何建模、單元劃分、約束處理、外載處理、參數(shù)設定、計算設定以及結果分析等環(huán)節(jié)的教學。

2 選擇合理的教學內容和教學模式

開設有限元法課程，在介紹抽象的有限元分析理論和方法的同時，必須與實際工程問題分析相結合。教學效果取決于在教學過程中如何找到平衡點，提高教學效果的關鍵在于教學內容的廣度、深度和適應度的把握。

關于有限元法課程的教學模式，一般有兩種：側重于分析理論的教學和學習，目的是培養(yǎng)理論研究能力；側重于工程實際應用的教學和學習，目的是培養(yǎng)工程技術應用能力，教學內容偏重于有限元分析模型的建立、單元類型選擇及網格劃分、載荷施加、邊界條件簡化處理、收斂方法選擇及計算結果分析和應用等[2]。第一種模式比較適合研究型或研究教學型大學采用，可在本科高年級或研究生基礎知識學習階段開設此課程，而第二種模式則適合教學研究型或教學型大學的本科和碩士生。西華大學機械類碩士生的培養(yǎng)目標是培養(yǎng)具有較強工程實踐能力和創(chuàng)新能力的高層次、復合型工程技術和工程管理人才，所以我們選用第二種教學模式。無論選擇哪種教學模式都必須注意，有限元法課程要根據(jù)學生的實際情況，處理好理論教學與工程實踐應用的輕重關系。鑒于西華大學大多數(shù)機械類碩士生沒有彈性力學的基礎知識，因此課程的教學主要從以下幾個方面使學生得到訓練。

2.1 有限元法基本原理及計算步驟

有限元法的基本思想，用簡單問題代替復雜問題：首先將連續(xù)分布結構離散成數(shù)目有限的有限單元。各單元僅在有限個結合點處相聯(lián)，用單元組合體近似代替原來的連續(xù)結構。在結點上引入等效結載荷代替作用在單元上的實際動載荷。對每個單元，選擇簡單的位移模式來近似地表達單元位移的分布規(guī)律，并按彈性力學的變分原理建立單元結點力與結點位移的關系，即單元分析，最后把所有單元的這種關系集合起來，得到以所有結點位移為未知量的動力學方程組。給定初始條件和邊界條件，就可求解動力學方程。

對于不同數(shù)學模型和物理性質問題，具有相同的基本分析步驟，但是具體公式和運算求解方法是不相同的?；静襟E一般為：定義問題及求解域；離散求解域；狀態(tài)變量及控制方法的確定，將微分方程轉化為等價的泛函形式；構造單元合適的近似解，即建立單元矩陣；整體總裝求解；求解聯(lián)立方程組和結果分析、應用。

2.2 有限元軟件的使用

早在60年代，國內外眾多機構就開始開發(fā)有限元算法和分析程序，但真正比較成熟的有限元軟件誕生于70年代初期，而近30年則是有限元軟件商品化的快速發(fā)展階段。目前有通用有限元分析軟件（如ANSYS、MARC、ADINA等）、專用有限元分析軟件（如ADAMS等）和嵌套在CAD/CAE/CAM系統(tǒng)中的有限元分析模塊（如嵌套在I-DEAS、Pro/ENGINEER、UNIGRAPHICS等系統(tǒng)中的有限元分析模塊）。目前主流有限元軟件的發(fā)展特點主要表現(xiàn)在：與CAD三維建模軟件無縫集成，強大的自動網格劃分能力，由求解線性問題領域發(fā)展到非線性領域，由求解結構場發(fā)展到多耦合場，程序具有二次開發(fā)功能。ANSYS有限元分析軟件通用性好，是融結構、流體、電場、磁場、溫度場、聲場和醫(yī)學工程分析于一體的通用分析軟件，擅長于多物理場、線性和非線性問題的工程問題分析，在機械、材料成型、汽車、橋梁和建筑等領域應用最廣。

本課程先介紹ANSYS有限元分析軟件的基本使用方法，然后通過后續(xù)的工程實例分析練習，使學生掌握軟件的基本使用及分析問題簡化、三維建模、單元劃分、載荷施加、約束的簡化、分析、感興趣結果的輸出、結果的理解判斷與應用的一般步驟，熟悉有限元分析的整個過程。

2.3 典型工程分析案例剖析

近年來，隨著工程設計、科學研究等要求的不斷提高以及計算機運算能力的快速發(fā)展，有限元分析方法已成為解決復雜工程問題的重要分析手段，主要表現(xiàn)在：提高設計產品和工程的可靠性；在產品設計階段發(fā)現(xiàn)潛在的問題并加以改進；經過模擬分析計算，采用優(yōu)化設計方法，降低產品設計成本；縮短產品開發(fā)周期；模擬物理試驗，減少試驗次數(shù)，從而降低試驗經費。

結合實際工程問題，介紹典型的工程分析案例，加深學生對有限元方法在實際工程應用中的感性認識。工程案例主要包括：結構設計分析，主要包括靜、動態(tài)分析，結構拓撲優(yōu)化設計，振動模態(tài)分析，齒輪接觸應力分析，液壓單體沖激振動分析，曲屈和失穩(wěn)分析等；熱分析，主要包括柱塞密封摩擦副熱傳導分析、對流散熱分析和熱輻射分析等；流體分析，主要包括機械密封端面流場分析、熱固耦合分析等。

3 改進教學方法

3.1 學習興趣的激發(fā)

西方教育家夸美紐斯說：“興趣是創(chuàng)造一個歡樂光明的教學途徑之一?！奔ぐl(fā)學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，是“以學生為主體”的現(xiàn)代教學理念的落腳點[3]。我們在講授有限元法課程緒論時，通過公元3世紀，我國數(shù)學家劉徽提出的用割元法求圓周長的方法即是有限元基本思想的體現(xiàn)，以及“曹沖稱象”典故所反應的離散逼近思想等，使學生對“有限元法”有感性認知，激發(fā)學習興趣。同時，對發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題也有感性認識。

有限元法在實際工程分析中的典型應用，也可以激發(fā)學生的學習興趣。例如，1952年，Clough建立了由一維梁與桁架組拼成的delta翼模型來模擬結構的振動和顫振分析；1990年，波音公司對新型客機B-777進行無紙化設計，僅用三年多時間，就成功開發(fā)了新一代波音客機，這是設計、制造史上劃時代的成就，有限元分析起了相當重要的作用。此外，利用有限元分析軟件，可以建立人體三維骨骼和肌肉等器官模型，并能夠模擬其生物力學特性。對模型進行仿真，可模擬拉伸、彎曲、扭轉和疲勞等力學性能，從而掌握在不同工況下的變形、應力、應變分布及極限破壞等情況。這些都是“有限元法”的典型工程應用案例。

3.2 注重實踐

有限元法涉及彈性力學、泛函分析、矩陣運算和數(shù)值計算方法等，其中不乏有抽象、復雜晦澀的公式。因此，單純講解有限元分析理論，就會因為繁瑣的公式推導，使學生對其有“望而生畏”的感覺。通過介紹有限元法在實際工程分析中的應用，不但可加深其對基本原理的理解，而且可使其真正體會到有限元法解決工程分析問題的能力，激發(fā)學習興趣，從而培養(yǎng)其利用有限元法分析具體問題的能力，提高課教學質量。以往在教學過程中會花絕大部分課時講解理論基礎知識。

目前“有限元法”的教學資源比較缺乏，常用簡單平面問題及桿梁結構很難讓學生掌握結構簡化、有限單元選擇與網格劃分、邊界約束處理與載荷施加、計算結果分析等具體環(huán)節(jié)，缺少利用有限元技術解決實際工程問題的例子。為此，筆者結合承擔的多項項目的研究，對所研究的典型機械密封、鉆井篩箱、液壓單體以及機載設備安裝架等結構進行簡化處理，將案例分析引入到教學環(huán)節(jié)。通過介紹分析問題的來源及工程背景、篩箱動態(tài)特性分析、液壓單體沖激振動分析、安裝架拓撲優(yōu)化、機械密封流固耦合分析等，激發(fā)學生的興趣和求知欲。同時，通過后續(xù)的實際工程分析操作，讓學生掌握有限元分析的基本步驟，初步具備利用有限元軟件分析實際工程問題的能力。

3.3 多種教學手段結合

利用網絡資源、引進多媒體和現(xiàn)代利用信息技術進行教學手段和教學方法的改革，進行多媒體課件的研制工作，完成了《有限元法分析》課程的多媒體課件，所用素材內容豐富、經典生動，學生反映良好，使用方便省時高效；使教師授課空間由二維的黑板擴展到了更真實、自然的多維空間，為改革傳統(tǒng)的教學方法和教學手段提供了新的發(fā)展機遇。利用校園網提供的網絡教學平臺，為學生提供了教學課件、學習指導、復習思考題、練習題等大量的學習資源，節(jié)省了學時，提高了教學效率和教學質量，也培養(yǎng)了學生的自學能力。最后通過完成簡單工程問題的實際分析以達到熟練操作軟件的目的。

3.4 改革考核方式

本課程考核的重點是有限元基本原理及其在實際工程分析中的應用?？紤]到課程教學內容的應用性強，課程的考核力求體現(xiàn)綜合性、應用性和多樣性，重點考核學生運用所學有限元原理、分析方法解決實際工程問題的能力。結合西華大學機械類研究生專業(yè)特點，精選出難度適中、具有代表性的實際工程分析問題，要求學生利用ANSYS軟件自主完成有限元建模和分析計算，并撰寫簡單的工程分析報告。此部分內容側重考核學生獨立思考、工程分析和動手等綜合能力，單純依靠筆試難以實現(xiàn)。另外，課程考核中還包含要求學生根據(jù)所學專業(yè)、專長或根據(jù)導師科研的要求，選擇實際工程問題，撰寫出利用有限元軟件分析的初步技術路線。學生最終成績的評定將根據(jù)大作業(yè)、上機操作以及筆試等情況并按一定比例綜合評定。

4 結語

課程教學改革的關鍵在于更新教學理念。實踐新的教學理念，就必須從精選教學內容，改革教學方法和手段以及注重工程實際應用等方面著手。針對有限元法課程應用性強的特點，筆者根據(jù)西華大學機械類碩士生的培養(yǎng)目標，結合承擔的多項項目的研究成果，探索將最新分析成果融入教學內容，通過典型機械密封、鉆井篩箱、液壓單體以及機載安裝架等實際的工程分析案例剖析，提高了學生的學習積極性，增強了學生對有限元方法在實際工程應用中的感性認識，培養(yǎng)學生具備初步分析工程設計問題的能力，為后續(xù)的專業(yè)課程學習打下了良好的基礎。

參考文獻：

[1]王勖成.有限單元法[M].北京：清華大學出版社，2003.

[2]安治國.機械有限元分析課程教學方法研究[J].青春歲月，2010（18）：56.

[3]吳翊.啟發(fā)式教學再認識[J].中國大學教學，2011（1）：67-68.