浙江省桐鄉(xiāng)市洲泉中學(xué) 錢子榮

談變式教學(xué)在初中數(shù)學(xué)習(xí)題中的運(yùn)用

浙江省桐鄉(xiāng)市洲泉中學(xué) 錢子榮

提高課堂效率，減輕學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，是每一個(gè)一線教師的迫切追求；發(fā)展思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生探索、創(chuàng)造、創(chuàng)新能力，追求有效地?cái)?shù)學(xué)課堂教學(xué)是新課標(biāo)要求的重要體現(xiàn)；而變式教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題和解決問題的能力，是思維訓(xùn)練以及能力培養(yǎng)的重要途徑，為此，在當(dāng)今全面實(shí)施新課程、深化教育改革的新時(shí)期，重新審視數(shù)學(xué)變式教學(xué)，闡明其原理、方法等精神實(shí)質(zhì)，具有重要而深遠(yuǎn)的現(xiàn)實(shí)意義.

變式 變式教學(xué) 習(xí)題

變式是創(chuàng)新的重要途徑，是模仿與創(chuàng)新的中介，是一種重要的思想方法.通過變式進(jìn)行教學(xué)，展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成的完整認(rèn)知過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題和解決問題的能力，是思維訓(xùn)練以及能力培養(yǎng)的重要途徑.

例題、習(xí)題教學(xué)是把知識(shí)、技能和方法聯(lián)系起來的主要紐帶，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分.當(dāng)學(xué)生掌握問題的基本解法后，教師可引導(dǎo)他們對(duì)問題進(jìn)行多角度、多層次的思考，通過變式提出新問題或獲得同一問題的多種結(jié)果.

例題、習(xí)題變式包括一題多解(證)、一題多變、多題一解(一法多用)等.

一、一題多解(證)

一題多解(證)變式就是對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，啟發(fā)學(xué)生探索不同的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新意識(shí).

例一個(gè)六邊形如圖1，已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A+∠C+∠E的度數(shù).

圖1

圖2

解法2：連接AC、AE、CE，如圖2，

解法3：向兩個(gè)方向分別延長(zhǎng)AB，CD，EF三條邊，構(gòu)成△PQR，如圖3，

圖3

圖4

解法4：連接AE、FC，如圖4，

解法5：延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)P，連接EB，如圖5，

同上證法可得：

圖5

一題多解變式需要豐富的知識(shí)經(jīng)驗(yàn).對(duì)于同一個(gè)問題通過多種方法來證明（求解），不但熟知數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，而且增強(qiáng)了學(xué)生思維的靈活性、深刻性、廣闊性、變通性；通過幾種方法的比較，感受到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美、和諧美，只有這樣的審美感受，才能真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到：已掌握的通法并不是惟一的解題方法，還可以根據(jù)題目的特點(diǎn)，改變考慮問題的角度，去尋找更簡(jiǎn)捷、巧妙的方法；在平時(shí)的學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)中，應(yīng)廣開思路、發(fā)散思維、探求問題的多種解法，從而使四基得到訓(xùn)練、能力得到增強(qiáng)、智力得到開發(fā)；多種方法的靈活運(yùn)用能讓學(xué)生產(chǎn)生“海闊憑魚躍，天高任鳥飛”的感覺.

二、一題多變

一題多變，就是對(duì)某個(gè)題目進(jìn)行多角度、多層次的條件、結(jié)論的變換，使一個(gè)題變?yōu)橐活愊嗨祁}，達(dá)到融會(huì)貫通的目的.一題多變有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，形成良好的思維品質(zhì).一題多變主要有條件變式、逆向變式、結(jié)論變式、拓廣變式等.

1.條件變式.

所謂條件變式，就是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)某一題目的條件適當(dāng)變化，得到一組變式題，通過對(duì)這組變式題的分析、解決，讓學(xué)生掌握某類問題的題型結(jié)構(gòu)，深入認(rèn)識(shí)問題的本質(zhì)，提高解題能力.

例已知：如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC，CD上的點(diǎn)，AE⊥BF.求證：AE=BF.

圖1

圖2

本題證明并不難，在學(xué)生證好本題之后，嘗試將該題作如下變化：

變式1：如圖2，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是BC，CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AE⊥BF.求證：AE=BF.

變式2：如圖3，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是CB，DC延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AE⊥BF.求證：AE=BF.

變式3：將圖1中的線段BF向上平移，如圖4，其余條件不變.求證：AE=HK

圖3

變式4：將圖4中的線段AE向左平

移，如圖5，其余條件不變．求證：EF=HK.

圖4

圖5

作如上變式設(shè)問后，創(chuàng)設(shè)了學(xué)生活動(dòng)的情境，在動(dòng)中提高學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力，這不僅加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的深層次理解，更對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和創(chuàng)造性有著重要作用.

2.結(jié)論變式.

所謂結(jié)論變式，就是抓住一個(gè)問題的條件，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比，聯(lián)想等發(fā)散思維，將問題的結(jié)論向橫向、縱向拓展，以達(dá)到以點(diǎn)串線、舉一反三、觸類旁通的目的.

例：（2011·遵義）已知拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（3，0），B（4，1）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）如圖1，連接AB，在題（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

圖1

圖2

（3）如圖2，連接AC，E為線段AC上任意一點(diǎn)（不與A、C重合）經(jīng)過A、E、O三點(diǎn)的圓交直線AB于點(diǎn)F，當(dāng)△OEF的面積取得最小值時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)．

變式1：點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中△APB的周長(zhǎng)最短，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

變式3：在拋物線上找一點(diǎn)P，使△APB是以AB為底邊的等腰三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

變式4：連接AC，在直線AC下方的拋物線上找一點(diǎn)P，使S△APC最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

變式5：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)P，使得以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

一題多變其實(shí)就是結(jié)論開放型的習(xí)題，教學(xué)時(shí)應(yīng)經(jīng)常啟發(fā)學(xué)生多角度地引申問題，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)與探索精神.

3.逆向變式.

所謂逆向變式，就是當(dāng)一個(gè)命題得到解決以后，啟發(fā)學(xué)生探求這個(gè)命題的逆命題是否成立，有利于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，提高學(xué)生的創(chuàng)造能力.

例1如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、 F分別在BC、CD上，且∠EAF=45°，求證：BE+DF=EF.

變式：原題其他內(nèi)容不變，把結(jié)論“BE+DF=EF”變?yōu)闂l件，把條件“∠EAF= 45°”變?yōu)榻Y(jié)論，則結(jié)論成立嗎？

例2角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等.

變式1：“到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上”，是真命題嗎？

變式2：“在一個(gè)角的內(nèi)部，到這個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上”，是真命題嗎？

因?yàn)槊}的逆命題與原命題的真假性不一定相同，從思維訓(xùn)練的角度出發(fā)，逆向變式有助于培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題的理解和掌握.

三、一法多用（多題一解）

數(shù)學(xué)中有許多不同的分支，常常出現(xiàn)內(nèi)容上的相互滲透.不同單元的問題雖然形式不同，但這些題目本質(zhì)不變，所以方法與結(jié)果相同.另外，選擇題、填空題、解答題、證明題等不同題型之間的轉(zhuǎn)換，也可列入一法多用（多題一解）的范圍.

1.等價(jià)變式.

所謂等價(jià)變式，就是通過互為逆否命題的轉(zhuǎn)換、不同單元內(nèi)容的表述等手段得到與原命題等價(jià)的變式題組，達(dá)到多題一解、強(qiáng)化方法的目的.

例下列問題雖然位于不同的知識(shí)單元，但都使用同一種方法，即利用一元二次判別式來解題：

變式1：m為何值時(shí)，x2-（m-3）x+8= 0無實(shí)根？

變式2：m為何值時(shí)，f（x）=x2-（m-3）x+8的圖像與x軸無交點(diǎn)？

變式3：m為何值時(shí)，x2-（m-3）x+8≤0的解集是空集？

變式4：m為何值時(shí)，x2-（m-3）x+8不能分解為兩個(gè)一次因式的積？

變式5：m為何值時(shí)，拋物線y=x2+8與直線y=（m-3）x無交點(diǎn)？

上述五個(gè)問題其實(shí)是等價(jià)的，其解題方法相同.通過上面的等價(jià)變式，使學(xué)生明確含參變量的二次方程、二次函數(shù)、二次不等式、二次三項(xiàng)式及二次曲線交點(diǎn)問題之間的內(nèi)在聯(lián)系及相互轉(zhuǎn)化的規(guī)律，開闊知識(shí)視野和解題思路.

2.題型變式.

所謂“題型”，指的是題目的結(jié)構(gòu)形式，也就是在一道題目中，將已知與未知及解題指令中的所有事項(xiàng)相互聯(lián)結(jié)起來的邏輯形式.同一數(shù)學(xué)問題，可以有用不同的表現(xiàn)形式，如填空題、選擇題、判斷題、計(jì)算題、證明題等.同一問題在不同題型之間的轉(zhuǎn)換就是題型變式.

變式3：計(jì)算：sin150.

題型變式有助于學(xué)生透徹理解題目的本質(zhì)屬性，開闊解題思路，提高解題能力.

常言道，要給學(xué)生一杯水，教師就要有一桶水.這就要求我們不斷提高自己的專業(yè)素養(yǎng)和教學(xué)水平.當(dāng)然，教學(xué)方式不能僅局限于變式教學(xué)，而要靈活運(yùn)用各種教法學(xué)法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[1]史寧中主編.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀（2011版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社.2012：6

[2]卜啟虎.反思——高效學(xué)習(xí)方法[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版）.2011（4）：17

[3]朱信化、王鋒.變式中感悟習(xí)題魅力探究中提升創(chuàng)新能力[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（初中版）.2012（7/8）：50