駱勇鵬， 黃方林， 魯四平， 韓建平

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院 長沙,410075) (2.蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院 蘭州,730050)

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不確定性參數(shù)識別的模態(tài)區(qū)間逆響應(yīng)面法

駱勇鵬1， 黃方林1， 魯四平1， 韓建平2

(1.中南大學(xué)土木工程學(xué)院 長沙,410075) (2.蘭州理工大學(xué)土木工程學(xué)院 蘭州,730050)

結(jié)合模態(tài)區(qū)間分析及響應(yīng)面的相關(guān)理論，提出一種新的不確定性參數(shù)識別方法，即模態(tài)區(qū)間逆響應(yīng)面法。首先，以有界區(qū)間數(shù)來量化結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性，通過合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計確定樣本數(shù)據(jù)；然后，以響應(yīng)為輸入，設(shè)計參數(shù)為輸出，采用逐步回歸分析構(gòu)造設(shè)計參數(shù)與結(jié)構(gòu)響應(yīng)的模態(tài)區(qū)間逆響應(yīng)面模型，進(jìn)而直接在模態(tài)區(qū)間逆響應(yīng)面模型上進(jìn)行模態(tài)區(qū)間運(yùn)算,即可識別材料參數(shù)的變異性區(qū)間；最后，采用一組鋼板模態(tài)實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證所提方法的可行性及可靠性。結(jié)果表明：所提方法可準(zhǔn)確識別鋼板材料參數(shù)的取值區(qū)間，有效地解決多重變量區(qū)間運(yùn)算存在的區(qū)間過估計問題，識別過程避免區(qū)間迭代優(yōu)化，具有較高的計算效率。

參數(shù)識別； 模態(tài)區(qū)間分析； 響應(yīng)面； 不確定性

引 言

工程結(jié)構(gòu)總是不同程度地存在各種各樣的誤差和不確定性，如構(gòu)件幾何容差、材料參數(shù)的固有隨機(jī)特性、邊界條件變異及測試誤差等。通常這些誤差和不確定性較小，但結(jié)合在一起就可能導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的動力特性產(chǎn)生較大的偏差或不可預(yù)知性，從而影響到結(jié)構(gòu)的可靠性和安全性評判。因此，如何準(zhǔn)確量化這些不確定性是至關(guān)重要的[1-2]?，F(xiàn)有解決不確定性問題的常用方法有概率統(tǒng)計分析、模糊分析及區(qū)間分析。概率統(tǒng)計分析通常假設(shè)不確定性參數(shù)等為隨機(jī)變量，且滿足某種概率分布假設(shè)，通過構(gòu)建一個反問題來求得結(jié)構(gòu)參數(shù)的概率統(tǒng)計特征，如隨機(jī)模型修正方法[3-4]。模糊分析是利用模糊數(shù)學(xué)理論來研究不確定性問題，主要用來解決工程分析中的模糊性信息問題[5]。不管是隸屬度函數(shù)還是概率分布函數(shù)的確定都需要大量的樣本信息。然而對于實(shí)際問題，其參數(shù)樣本往往是有限的，無法對不確定性參數(shù)的概率分布進(jìn)行假設(shè)[6]，限制了這些方法在實(shí)際工程中的應(yīng)用。

實(shí)際工程中，雖然不確定量的統(tǒng)計信息難以獲得，但卻較容易確定其確定性的邊界，因此用有界區(qū)間數(shù)來描述不確定量是一種方便且可行的方法。近些年采用區(qū)間分析(interval analysis，簡稱IA)常用于解決不確定性問題，如含不確定性參數(shù)的靜動力分析[6]、有限元模型修正及確認(rèn)[7]和機(jī)械故障診斷[8]等領(lǐng)域。

不確定性的來源可分為4類：測試不確定性、計算不確定性、模型不確定性及參數(shù)不確定性[1]。不同種類的不確定性問題應(yīng)予以區(qū)別對待。筆者主要研究結(jié)構(gòu)參數(shù)不確定性的量化問題。受條件限制，結(jié)構(gòu)參數(shù)的真值往往難以直接測定，此時根據(jù)結(jié)構(gòu)響應(yīng)變化量反向量化參數(shù)的不確定性是解決該問題的一個好方法。筆者結(jié)合逆響應(yīng)面及模態(tài)區(qū)間分析(modal interval analysis，簡稱MIA)的相關(guān)理論，提出一種基于模態(tài)區(qū)間逆響應(yīng)面(modal interval inverse response surface，簡稱MIIRS)的不確定性參數(shù)識別方法。該方法避免了區(qū)間迭代優(yōu)化過程且有效解決區(qū)間過估計問題，有效地提高計算效率和識別精度。最后，以一組鋼板的不確定性材料參數(shù)識別為例，驗(yàn)證所提方法的可行性及可靠性。

1 MIA簡介

MIA是將IA和模態(tài)邏輯相結(jié)合，利用模態(tài)謂詞邏輯對區(qū)間進(jìn)行語義學(xué)解釋，從而進(jìn)行符合模態(tài)邏輯語義解釋的區(qū)間分析[9-10]。

以顯式函數(shù)f(X)和g(X)為例，說明MIA方法在解決多重變量區(qū)間擴(kuò)張問題上的優(yōu)勢。式(1)和(2)兩個函數(shù)在數(shù)學(xué)上來說是一樣，僅表達(dá)方式不同?，F(xiàn)分別采用IA和MIA方法求解兩個函數(shù)在參數(shù)空間x1=[1,2]，x2=[3,4]上的取值范圍。已知函數(shù)的精確解為[19, 40]。

(1)

(2)

f(X)和g(X)的IA計算結(jié)果分別為[13，46]和[19, 40]。從計算結(jié)果可知，函數(shù)g(X)的計算結(jié)果與精確解一致，而函數(shù)f(X)的計算結(jié)果大于精確解，出現(xiàn)了區(qū)間擴(kuò)張的問題。這是由于在函數(shù)中多次出現(xiàn)的變量存在相關(guān)性，且其單調(diào)性不一致所導(dǎo)致的。

采用MIA再次計算兩個函數(shù)的取值區(qū)間。首先分別確定函數(shù)對多重事件x1和x2的單調(diào)性，接著根據(jù)強(qiáng)制最優(yōu)理論，將單調(diào)趨勢與其所對應(yīng)的多重事件變量的單調(diào)趨勢相反的獨(dú)立子事件變量變成對偶形式，如式(3)和式(4)所示，最后直接進(jìn)行模態(tài)區(qū)間運(yùn)算。

(3)

(4)

f(X)和g(X)的MIA計算結(jié)果均為[19, 40]，與精確解一致。結(jié)果表明，MIA可以有效改善IA在處理多重事件時存在的區(qū)間擴(kuò)張問題。

2 不確定性參數(shù)識別過程

筆者結(jié)合模態(tài)區(qū)間分析及逆響應(yīng)面法[11]的相關(guān)理論，提出一種新的不確定性參數(shù)識別方法，即MIIRS法。該識別方法主要包括：實(shí)驗(yàn)設(shè)計、區(qū)間逆響應(yīng)面建模、精度檢驗(yàn)、MIIRS建模及模態(tài)區(qū)間運(yùn)算5大部分，其流程如圖1所示。由于模態(tài)區(qū)間運(yùn)算已在第1節(jié)進(jìn)行介紹，以下僅對前4部分進(jìn)行論述。

圖1 基于模態(tài)區(qū)間逆響應(yīng)面的不確定性參數(shù)識別流程Fig.1 The flow chart of uncertain parameter identification based on MIIRS

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計

合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計關(guān)系到能否擬合到高精度的MIIRS。常用的實(shí)驗(yàn)設(shè)計方法有均勻設(shè)計、中心復(fù)合設(shè)計(central composite design，簡稱CCD)、D-最優(yōu)化設(shè)計等。由于輸入變量是不方便直接給定的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，因此在MIIRS建模過程中采用與響應(yīng)面法相同的實(shí)驗(yàn)設(shè)計方法來確定實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，然后計算各試驗(yàn)點(diǎn)所對應(yīng)的響應(yīng)獲得樣本數(shù)據(jù)。然而值得注意的是，當(dāng)設(shè)計參數(shù)較少，結(jié)構(gòu)響應(yīng)較多時，采用傳統(tǒng)試驗(yàn)設(shè)計方法確定的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)會少于MIIRS建模需識別的回歸系數(shù)的個數(shù)，從而導(dǎo)致回歸方程無法求解，此時需要增加設(shè)計點(diǎn)的個數(shù)。

本研究采用的實(shí)驗(yàn)設(shè)計方法為CCD，其設(shè)計點(diǎn)由2k析因設(shè)計添加2k個坐標(biāo)軸點(diǎn)和nc個中心點(diǎn)所組成[12]。四輸入二輸出的二階MIIRS所需識別的回歸系數(shù)個數(shù)M及實(shí)驗(yàn)設(shè)計所確定的設(shè)計點(diǎn)個數(shù)N如表1所示。從表1中可知，CCD和D-最優(yōu)設(shè)計分別至少需要增加6個和9個設(shè)計點(diǎn)。

表1 設(shè)計點(diǎn)及回歸系數(shù)的個數(shù)

Tab.1 The number of design points and regression coefficient

方法設(shè)計點(diǎn)個數(shù)NCCDD-最優(yōu)設(shè)計回歸系數(shù)個數(shù)M計算公式2k+2k+nc12k+1()k+2()1+2m+mm-1()2樣本數(shù)9615

2.2 區(qū)間逆響應(yīng)面建模

在MIIRS建模前，需先擬合區(qū)間逆響應(yīng)面模型。區(qū)間逆響應(yīng)面與響應(yīng)面類似，根據(jù)實(shí)際工程的復(fù)雜程度等因素可采用多項(xiàng)式、高斯過程模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型及冪函數(shù)等形式。式(5)為常用的完全二階區(qū)間逆響應(yīng)面的表達(dá)式。

(5)

為了節(jié)約后期MIIRS建模過程中，多重事件變量及其子變量單調(diào)性判斷的計算成本，采用逐步回歸分析方法[13]建立區(qū)間逆響應(yīng)面模型。該方法在引入或剔除一個變量時均要進(jìn)行F檢驗(yàn)，以保證在引人新變量前回歸方程中只含有對X影響顯著的變量，而不顯著的變量已被剔除。

2.3 精度檢驗(yàn)

2.4 MIIRS建模及量化過程

為避免區(qū)間運(yùn)算過程導(dǎo)致區(qū)間過估計的問題，引入MIA方法。在進(jìn)行模態(tài)區(qū)間運(yùn)算前，先采用強(qiáng)制最優(yōu)理論對區(qū)間逆響應(yīng)面模型進(jìn)行“對偶”變換。

強(qiáng)制最優(yōu)理論[8,10]為：設(shè)X為區(qū)間矢量，f R定義在X′上，并且對多重事件變量完全單調(diào)，設(shè)XD是X的擴(kuò)展矢量，每個多重事件變量的子事件變量都作為XD中一個獨(dú)立的子事件，如果任意獨(dú)立子事件變量單調(diào)趨勢與其所對應(yīng)的多重事件變量的單調(diào)趨勢相反，則需將此變量變成對偶形式，則有

(6)

經(jīng)過以上步驟，可以得到改進(jìn)后的區(qū)間逆響應(yīng)面模型，即MIIRS。最后直接在MIIRS的表達(dá)式上進(jìn)行模態(tài)區(qū)間運(yùn)算，即可達(dá)到不確定性參數(shù)識別的目的。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

文獻(xiàn)[15]在自由-自由邊界條件下，采用錘擊法對33塊鋼板進(jìn)行模態(tài)實(shí)驗(yàn)，得到33塊鋼板的模態(tài)固有頻率值，其固有頻率實(shí)測值及統(tǒng)計特征值如表2所示。表中f1,…,f2分別表示第1階，…，第5階頻率。該組鋼板的名義尺寸為564mm×110mm×1.45mm，初始彈性模量E取值為210 GPa，剪切模量G取值為83 GPa，質(zhì)量密度D為7 860 kg/m3。

表2 固有頻率實(shí)測值及其統(tǒng)計特征值

Tab.2 The measured frequencies and its statistical features

Hz

在實(shí)際工程中，材料參數(shù)取值通常是采用給定的名義值，受測試誤差、制造工藝及環(huán)境條件改變等因素的影響，該名義值與真值不可避免地存在一定的誤差。假設(shè)固有頻率的變異性是由鋼材的材料參數(shù)E和G的不確定性引起的。由于鋼材材料參數(shù)的變異性通常取5%[16]，參考相關(guān)文獻(xiàn)鋼板單軸拉伸實(shí)驗(yàn)結(jié)果，確定E和G的初始取值區(qū)間分別為[200，220]，[76，90]。根據(jù)模態(tài)實(shí)驗(yàn)得到的固有頻率統(tǒng)計特征值，采用所提方法識別不確定材料參數(shù)的取值區(qū)間。

為研究不同輸入?yún)?shù)對識別結(jié)果的影響，以固有頻率為輸入，E和G為輸出，試驗(yàn)設(shè)計分成3種工況，如表3所示。分別采用逐步回歸分析方法擬合3種工況下的區(qū)間逆響應(yīng)面模型。限于篇幅，僅給出工況2的區(qū)間逆響應(yīng)面模型表達(dá)式，如式(7)和(8)所示，式中f1I，f2I，f3I為區(qū)間變量，分別表示前3階固有頻率。兩個區(qū)間逆響應(yīng)面模型的精度檢驗(yàn)值如表4所示。從表中可知，3個檢驗(yàn)準(zhǔn)則計算值基本上為1，表明所擬合的響應(yīng)面模型精度很高，且預(yù)測能力很好，可以用于后續(xù)的區(qū)間估計。

表3 3種工況及實(shí)驗(yàn)點(diǎn)個數(shù)

表4 模型精度檢驗(yàn)值(工況2)

Tab.4 The test values of interval RSM of case 2

E,GR2R2adjR2predE/GPa1.001.001.00G/GPa1.000.990.99

E(X)=16．372 88+15．551 98x1I-5．761 19x2I-

0．281 42x3I+0．123 65x1Ix2I+0．004 53x2Ix3I

(7)

(8)

在得到兩個區(qū)間逆響應(yīng)面模型后，根據(jù)強(qiáng)制最優(yōu)理論進(jìn)行“對偶”變換得到MIIRS。式(9)和式(10)給出了工況2的MIIRS。

(9)

(10)

其中：Dual為對偶運(yùn)算。

由表2可知前4階固有頻率的取值區(qū)間，直接在MIIRS上進(jìn)行模態(tài)區(qū)間運(yùn)算，識別E和G的取值區(qū)間。表5給出3種工況下E和G的識別結(jié)果。為便于比較分析，隨機(jī)模型修正的識別結(jié)果[15]也列于表5，其上界和下界的值是根據(jù)修正后的均值及方差計算其95%置信水平下的置信區(qū)間而得。由表5可知，3個工況識別得到材料參數(shù)中值均符合鋼板材料特性，但是工況1識別的材料參數(shù)取值區(qū)間大于其他兩個工況及隨機(jī)模型修正的取值區(qū)間。從圖2～圖4可知，工況3預(yù)測的固有頻率的離散性最小，最接近于實(shí)測固有頻率統(tǒng)計值；工況1預(yù)測的固有頻率的離散性最大。因此可得工況3材料參數(shù)的取值區(qū)間最接近于鋼板材料參數(shù)的實(shí)際取值區(qū)間。3個工況對比結(jié)果可知，輸入個數(shù)對識別結(jié)果有一定的影響，輸入個數(shù)越多，識別精度越高。但是輸入個數(shù)越多，判別多重事件變量的單調(diào)性及確定試驗(yàn)點(diǎn)的計算成本越高，因此建議輸入個數(shù)不宜少于輸出個數(shù)，可取比輸出個數(shù)多1～2個，以避免信息欠定而造成識別精度降低。

表5 不同工況的材料參數(shù)識別結(jié)果

Tab.5 The identified results of the plate material properties based on different case

工況工況1工況2工況3文獻(xiàn)[15]E/GPa[200.96,215.43][201.39,213.72][202.19,213.65][204.50,214.69]G/GPa[80.53,92.61][82.23,88.39][82.21,88.41][80.86,86.74]

圖2 工況1初始、實(shí)測及預(yù)測的前3階固有頻率散點(diǎn)圖Fig.2 Initial, measured and predicted scatter plot of first three frequencies in case one

圖3 工況2初始、實(shí)測及預(yù)測的前3階固有頻率散點(diǎn)圖Fig.3 Initial, measured and predicted scatter plot of first three frequencies in case two

圖4 工況3初始、實(shí)測及預(yù)測的前3階固有頻率散點(diǎn)圖Fig.4 Initial, measured and predicted scatter plot of first three frequencies in case three

與隨機(jī)模型修正方法相比，所提方法僅需在計算構(gòu)造MIIRS所需的樣本數(shù)據(jù)時進(jìn)行少數(shù)的有限元計算，后續(xù)整個不確定性識別過程均不再涉及有限元模型，識別過程不需要迭代優(yōu)化過程。相較于隨機(jī)模型修正方法，為獲得足夠的樣本數(shù)據(jù)而采取上千次的有限元計算，所提方法不僅能夠保證計算精度，且大大地降低了計算花費(fèi)，顯著提高了不確定性參數(shù)的識別效率。

4 結(jié) 論

1) 模態(tài)區(qū)間分析方法可有效解決傳統(tǒng)區(qū)間運(yùn)算導(dǎo)致的區(qū)間過估計問題，所提方法準(zhǔn)確地識別出鋼板材料參數(shù)的變異性區(qū)間，具有較高的識別精度。

2) 在模態(tài)區(qū)間逆響應(yīng)面模型的表達(dá)式上直接進(jìn)行模態(tài)區(qū)間運(yùn)算，避免迭代優(yōu)化過程，顯著提高了計算效率。

3) 輸入(實(shí)測固有頻率)個數(shù)對識別結(jié)果有一定的影響，輸入個數(shù)越多，識別精度越高。同時，輸入個數(shù)越多，判別多重事件單調(diào)性及實(shí)驗(yàn)點(diǎn)確定的計算成本越高，建議輸入個數(shù)不少于輸出個數(shù)，以避免信息欠定造成識別精度降低。

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國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378504)；中南大學(xué)中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目(2015zzts058);貴州省交通廳科技資助項(xiàng)目(2013-122-001)

2015-07-13；

2015-09-02

TH113

駱勇鵬，男，1989年2月生，博士生。主要研究方向?yàn)橛邢拊Ｐ托拚按_認(rèn)、結(jié)構(gòu)損傷識別。曾發(fā)表《基于響應(yīng)面的剛構(gòu)-連續(xù)組合梁橋有限元模型修正》(《工程力學(xué)》2013年第30卷第12期)等論文。

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