李 沖， 許立忠

(燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 秦皇島，066004)

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壓電諧波電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)非線性主共振分析*

李 沖， 許立忠

(燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 秦皇島，066004)

為了探索壓電諧波電機(jī)的機(jī)械-壓電系統(tǒng)的非線性共振特性，設(shè)計(jì)了一種集壓電驅(qū)動(dòng)、諧波傳動(dòng)和活齒傳動(dòng)為一體的機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)。在非線性壓電和非線性彈性效應(yīng)的基礎(chǔ)上，建立了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)非線性機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程。利用Linz Ted-Poincaré法推導(dǎo)了驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)非線性主共振響應(yīng)方程，得出了主共振幅頻響應(yīng)曲線，分析了不同非線性效應(yīng)對(duì)主共振響應(yīng)的影響，最后通過四階Runge-Kutta數(shù)值法驗(yàn)證了解析解的正確性。結(jié)果表明：在兩種非線性效應(yīng)中，非線性壓電效應(yīng)對(duì)主共振響應(yīng)的影響是主要的；壓電堆主共振出現(xiàn)在偏離固有頻率較遠(yuǎn)處，且隨著頻率改變響應(yīng)值出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象；數(shù)值解與解析解響應(yīng)曲線吻合較好。

壓電電機(jī)； 諧波電機(jī)； 非線性； 主共振； Linz Ted-Poincaré法

引 言

近年來，以形狀記憶合金、電致伸縮、磁致伸縮和壓電主導(dǎo)的智能材料發(fā)展迅速，其中壓電材料成為科研人員關(guān)注的熱點(diǎn)[1]。適應(yīng)于各場(chǎng)合的各類微型驅(qū)動(dòng)裝置層出不窮：Toyama[2]將安裝了球形壓電電機(jī)的相機(jī)用在管狀探測(cè)機(jī)器上；Jeong等[3]研制了一臺(tái)用在微型設(shè)備上的三足式薄狀旋轉(zhuǎn)壓電電機(jī)；趙淳生團(tuán)隊(duì)研發(fā)的直徑為30 mm的壓電超聲電機(jī)用于“嫦娥三號(hào)”光譜儀上，協(xié)助探測(cè)器在月球表面完美著陸[4]。

傳統(tǒng)壓電電機(jī)主要靠摩擦傳遞運(yùn)動(dòng)，且能輸出較大轉(zhuǎn)矩，但也存在接觸面易于磨損、接觸材料造價(jià)高等缺點(diǎn)[5-6]。非接觸式壓電電機(jī)雖避免了定轉(zhuǎn)子間的摩擦，但其承載較低受到制約[7]。壓電諧波電機(jī)彌補(bǔ)了一些不足，德國Oliver Barth設(shè)計(jì)和制造了一種利用諧波齒輪來工作的諧波型壓電電機(jī)[8]，該電機(jī)能夠獲得0.75Nm輸出轉(zhuǎn)矩。辛洪兵等[9]提出了一種含有位移放大機(jī)構(gòu)的壓電諧波電機(jī)。Chen等[10]利用20個(gè)壓電堆研制了一臺(tái)類似于諧波電機(jī)的工作在徑向彎曲模態(tài)的壓電超聲電機(jī)。李霞等[11]提出了一種新型壓電諧波電機(jī)，該電機(jī)通過波發(fā)生器產(chǎn)生周期性運(yùn)動(dòng)，使柔輪產(chǎn)生周期性變形，從而實(shí)現(xiàn)電機(jī)低速轉(zhuǎn)動(dòng)。以上諧波電機(jī)大都采用了傳統(tǒng)諧波齒輪傳動(dòng)，因而對(duì)柔輪材料的抗疲勞強(qiáng)度、加工等提出了較高要求。

筆者提出了一種不同類型的機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)[12]。與傳統(tǒng)壓電諧波電機(jī)相比，該電機(jī)集壓電驅(qū)動(dòng)、活齒傳動(dòng)和諧波傳動(dòng)于一體，通過活齒嚙合取代柔輪來驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)子，這是活齒系統(tǒng)在壓電電機(jī)中的創(chuàng)新應(yīng)用。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)對(duì)電機(jī)的正常運(yùn)轉(zhuǎn)起著至關(guān)重要的作用，然而由于非線性壓電效應(yīng)和材料非線性彈性效應(yīng)的存在，使得系統(tǒng)的輸出也呈現(xiàn)非線性特性。在電機(jī)工作過程中，非線性主共振會(huì)使壓電堆的輸出位移和輸出力發(fā)生局部變化，進(jìn)而使波發(fā)生器產(chǎn)生的諧波不規(guī)范，使得活齒受力的規(guī)律打亂，最終影響電機(jī)的輸出效率和轉(zhuǎn)矩，同時(shí)會(huì)出現(xiàn)電機(jī)間歇性停轉(zhuǎn)或者轉(zhuǎn)速不穩(wěn)定等問題。筆者通過Linz Ted-Poincaré解析法和四階Runge-Kutta數(shù)值法對(duì)非線性主共振進(jìn)行求解和驗(yàn)證。

1 機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)工作原理

機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)如圖1所示，電機(jī)由驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和傳動(dòng)系統(tǒng)構(gòu)成。其中：驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)包括2個(gè)壓電堆、2個(gè)彈性體和擺動(dòng)體等；傳動(dòng)系統(tǒng)包括波發(fā)生器、中心輪、活齒架和30個(gè)活齒等。電機(jī)利用互為90°方位的兩壓電堆作驅(qū)動(dòng)源。初始時(shí)刻，各零件相互接觸；當(dāng)給兩向壓電堆接入帶正偏置相位差π/2的余弦信號(hào)后，壓電堆開始軸向伸縮變形，彈性力帶動(dòng)彈性體運(yùn)動(dòng)，同時(shí)使擺動(dòng)體朝彈簧方向移動(dòng)；當(dāng)壓電堆零電壓時(shí)，擺動(dòng)體在彈簧作用下復(fù)位。同理，在擺動(dòng)體兩方向往復(fù)擺動(dòng)下，波發(fā)生器側(cè)面產(chǎn)生連續(xù)諧波，諧波力推動(dòng)活齒運(yùn)動(dòng)進(jìn)而帶動(dòng)活齒架轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖1 機(jī)電集成壓電諧波電機(jī)Fig.1 An electromechanical integrated harmonic piezo-motor

2 非線性機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程

考慮非線性時(shí)壓電應(yīng)變方程[13]為

(1)

其中：d33為壓電應(yīng)變常數(shù)(m/V)；lp為壓電片厚度(mm)；U為驅(qū)動(dòng)信號(hào)，U=Up-p[1+cos(ωt)]/2，Up-p為信號(hào)峰峰值(V)；ω為驅(qū)動(dòng)頻率(rad/s)；d333為非線性壓電系數(shù)。

根據(jù)力和應(yīng)變的關(guān)系式σp=Fp/Ap和廣義胡克定律σp=c33S3，可得壓電堆末端非線性輸出力為

(2)

其中：c33為彈性剛度系數(shù)；Ap為壓電堆橫截面積。

考慮壓電材料的非線性彈性效應(yīng)，引入非量綱小參數(shù)ε1，則無激勵(lì)時(shí)壓電堆的非線性軸向應(yīng)力為

(3)

其中：εy為無激勵(lì)時(shí)壓電堆軸向應(yīng)變，且εy=?v/?y。

對(duì)壓電堆施加激勵(lì)信號(hào)時(shí)，設(shè)小參數(shù)ε2=lp/lnp，則壓電堆總的內(nèi)力為

(4)

其中：lnp為壓電堆總長度；Fp0，F(xiàn)p1，F(xiàn)p2為常系數(shù)。

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示，壓電堆截面為5 mm×5 mm的矩形截面，彈性體OD梁和DB梁為6 mm×6 mm的矩形截面，而擺動(dòng)體為直徑為8 mm的圓截面。ε1和ε2都是小參數(shù)，令ε=ε1=ε2，對(duì)圖2(a)中微元dy的受力在y向應(yīng)用牛頓定律，可得壓電堆軸向振動(dòng)的非線性機(jī)電耦合動(dòng)力學(xué)方程為

(5)

其中：ρp為壓電堆密度。

圖2 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamics model of driving system

在圖2(b,c)中，彈性體OD梁、DB梁及擺動(dòng)體受到來自壓電堆的非線性激振力分別為

(6)

由于OD梁和DB梁的長度與截面高度之比分別為1.83(<5)和5.83(>5)，故OD梁選用Timoshenko梁模型，而DB梁選用Euler-Bernoulli梁模型。同理，擺動(dòng)體為Euler-Bernoulli梁模型?？傻?/p>

(7)

其中：ρ為彈性體密度；S1為彈性體截面面積；EI，EIT為彈性體和擺動(dòng)體抗彎剛度。

將各動(dòng)態(tài)位移v(y,t)=φ(y)qp(t)，y1(x1,t)=φ(x1)qOD(t)，y2(x2,t)=η(x2)qDB(t)，u(y,t)=ψ(y)qs(t)代入式(5)和式(7)，并寫成矩陣形式，得驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)方程為

(8)

其中：φ(y)，φ(x1)，η(x1)和ψ(y)分別為壓電堆、OD梁、DB梁和擺動(dòng)體的模態(tài)函數(shù)；Q為廣義坐標(biāo)列陣，Q=[qpqODqDBqs]T；F0，F(xiàn)1和F2分別為零次、一次和二次諧波激振力；B1，B2，B3為方程系數(shù)，Bi=[b1ib2ib3ib4i]。

3 非線性主共振響應(yīng)

利用Linz Ted-Poincaré法對(duì)式(8)求解。Linz Ted-Poincare法是一種求解非線性方程的近似解析法，其基本思想認(rèn)為非線性系統(tǒng)的頻率并不等于派生系統(tǒng)的固有頻率，而是關(guān)于小參數(shù)的函數(shù)，應(yīng)將非線性頻率寫成小參數(shù)的冪級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)的系數(shù)根據(jù)周期運(yùn)動(dòng)規(guī)律而定。

假設(shè)系統(tǒng)激勵(lì)頻率ω接近固有頻率ω0，引入頻方差εσ=ω2-ω02，將原系統(tǒng)的解展成ε的冪級(jí)數(shù)，構(gòu)成非線性系統(tǒng)的周期解Q(t,ε)

(9)

將頻方差和式(9)代入耦合動(dòng)力學(xué)方程(8)，并令ε的同次冪系數(shù)相等，導(dǎo)出以下近似方程組

(10)

F0+F1cosωt+F2cos2ωt

(11)

(12)

δ0為初始位移，初始速度為0，一次和二次初始位移和速度均取0。設(shè)零次近似方程式(10)的解為

(13)

由初始條件得M0=δ0，將式(13)代入式(1)得

(14)

為避免式(14)中出現(xiàn)久期項(xiàng)，必須令cosωt和sinωt的系數(shù)為0，同時(shí)代入頻方差，可得

(15)

求解上式，可得N0=0，式(15)可化簡為

(16)

當(dāng)F1=0時(shí)，式(16)對(duì)應(yīng)的曲線是主共振幅頻響應(yīng)的骨架線，它決定了幅頻響應(yīng)曲線的基本形狀。

驅(qū)動(dòng)部分主共振響應(yīng)一次非線性近似解為

將式(13)和式(17)代入二次近似方程式(12)，令cosωt的系數(shù)為0，可得

(18)

二次近似方程解為

(19)

忽略二階以上高階項(xiàng)，求出驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主共振非線性近似解為

(20)

因此，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)各構(gòu)件主共振響應(yīng)位移為

(21)

其中：D(x,t)為各構(gòu)件響應(yīng)位移，D(x,t)=[vy1y2u]T；Ф(x,t)為各構(gòu)件模態(tài)函數(shù)，具體形式由文獻(xiàn)[12]可得，且Ф(x,t)=[φ(y)φ(x1)η(x2)ψ(y)]T。

4 算例求解與分析

4.1 幅頻特性分析

當(dāng)激勵(lì)信號(hào)峰峰值Up-p>0且激勵(lì)頻率ω接近固有頻率ω0時(shí)，系統(tǒng)在壓電激振力下產(chǎn)生共振。驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的線性固有頻率在文獻(xiàn)[12]中進(jìn)行了求解，一階線性主共振頻率為213 785 rad/s。取小參數(shù)ε=0.2，初始位移激勵(lì)δ0=6×10-4m，將表1參數(shù)代入式(16)，分別選擇Up-p=0和Up-p=150 V時(shí)的F1值作驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主共振幅頻特性曲線，分別用虛線和實(shí)線表示，見圖3。圖中F1=0時(shí)的曲線為頻響曲線的骨架線，骨架線左側(cè)相當(dāng)于與外激勵(lì)同相，右側(cè)相當(dāng)于與外激勵(lì)反相。分析圖3得出以下結(jié)論。

圖3 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)幅頻響應(yīng)Fig.3 Amplitude-frequency responses of the driving system

1) 在壓電堆幅頻響應(yīng)中，非線性共振不出現(xiàn)在ω=ω0及其附近，而是出現(xiàn)在偏離ω0較遠(yuǎn)處。當(dāng)ω恒定時(shí)，對(duì)應(yīng)的振幅可以取到3個(gè)值，這即是非線性系統(tǒng)中的跳躍現(xiàn)象。幅頻響應(yīng)中的骨架線主導(dǎo)了頻響曲線的形狀，反映了不同激勵(lì)下振幅與激勵(lì)頻率的關(guān)系，且F1越大時(shí)頻響曲線偏離骨架線越遠(yuǎn)。

2) 在OD梁、DB梁和擺動(dòng)體幅頻響應(yīng)中，骨架線變成了穩(wěn)定在ω0處的一條直線，骨架線兩側(cè)的共振曲線對(duì)稱分布，這是因?yàn)樵隈詈蟿?dòng)力學(xué)方程中影響骨架線走勢(shì)的b23，b33和b43均為0，OD梁、DB梁和擺動(dòng)體的非線性來自通入激勵(lì)時(shí)產(chǎn)生的非線性壓電效應(yīng)，不受材料非線性彈性效應(yīng)的影響。由圖3可看出，OD梁、DB梁和擺動(dòng)體激勵(lì)力依次減弱。

4.2 主共振響應(yīng)分析

將表1所示的驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)代入式(21)，求得主共振非線性與線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)如圖4所示。其中壓電堆存在非線性彈性和非線性壓電效應(yīng)，故按照同時(shí)存在兩種非線性效應(yīng)、只存在非線性彈性效應(yīng)或非線性壓電效應(yīng)、線性4種情況進(jìn)行對(duì)比分析；OD梁、DB梁和擺動(dòng)體只存在壓電非線性效應(yīng)，故只對(duì)存在非線性壓電效應(yīng)和線性時(shí)進(jìn)行對(duì)比。由圖可知以下幾點(diǎn)。

表1 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)

圖4 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主共振位移響應(yīng)Fig.4 Amplitude-frequency responses of driving system

1) 由于激勵(lì)信號(hào)是帶有偏置的余弦信號(hào)，故各構(gòu)件位移響應(yīng)中曲線的平衡位置偏離零點(diǎn)，在各構(gòu)件中DB梁的平均振幅最大。

2) 各構(gòu)件非線性與線性響應(yīng)曲線基本吻合，振幅存在差異，且都是線性振幅大于非線性振幅，這是因?yàn)榉蔷€性效應(yīng)的存在使得激勵(lì)力效果減弱，類似于軟彈簧系統(tǒng)。

3) 在壓電堆4種情況比較中，同時(shí)存在兩種非線性時(shí)，與線性振幅差值最大為10.4%；只存在非線性彈性或者非線性壓電時(shí)，與線性振幅差值分別為2.6%和9.1%?？梢姺蔷€性壓電效應(yīng)是非線性彈性效應(yīng)影響力的3.5倍，非線性壓電效應(yīng)對(duì)壓電堆主共振起主導(dǎo)作用，故在對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)其他構(gòu)件分析時(shí)只考慮壓電非線性是合理的。

4)OD梁、DB梁和擺動(dòng)體的非線性振幅與線性振幅之差分別為9.9%，8.5%和3.2%。在驅(qū)動(dòng)部分各構(gòu)件中，按照壓電堆、OD梁、DB梁及擺動(dòng)體的順序，非線性對(duì)振幅的影響依次減弱。

5 數(shù)值驗(yàn)證

利用Matlab的四階Runge-Kutta指令對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程(8)進(jìn)行數(shù)值求解，圖5為通過數(shù)值法得到的壓電堆主共振跳躍現(xiàn)象，圖6為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)各構(gòu)件對(duì)應(yīng)的相圖，圖7為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主共振時(shí)域響應(yīng)數(shù)值解與解析解的對(duì)比。由圖5～圖7得出以下規(guī)律。

1) 隨著激勵(lì)頻率ω的增大，壓電堆主共振響應(yīng)先增大；當(dāng)ω增大到213 768rad/s時(shí)，響應(yīng)值突然向上跳躍；ω繼續(xù)增大，響應(yīng)逐漸減小。數(shù)值模擬驗(yàn)證了非線性中的跳躍現(xiàn)象。

2) 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主共振相圖曲線是由一系列橢圓曲線疊加而成，曲線呈閉合狀，是外加激勵(lì)頻率與固有頻率共同作用形成的周期運(yùn)動(dòng)。各構(gòu)件響應(yīng)的相圖收斂于閉合曲線，可見驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程的解是收斂的，振幅是穩(wěn)定的。

圖5 壓電堆主共振跳躍現(xiàn)象

Fig.5 The jumping phenomenon of the primary resonance for piezoelectric stack

圖6 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)主共振相圖

Fig.6 The phase diagram of the primary resonance for driving system

圖7 解析解與數(shù)值解對(duì)比

Fig.7 Comparison of analytical solution and numerical solution

3) 在解析解與數(shù)值解對(duì)比圖中，壓電堆數(shù)值解比解析解的振幅大3.3%。隨著時(shí)間的增加，數(shù)值解與解析解之間的相位差變大，在0.1ms時(shí)相位差達(dá)到0.17π。OD梁、DB梁及擺動(dòng)體數(shù)值解與解析解響應(yīng)曲線吻合較好，誤差可忽略。

6 結(jié) 論

1) 壓電堆非線性共振出現(xiàn)在偏離ω0較遠(yuǎn)處，而彈性體和擺動(dòng)體共振仍出現(xiàn)在ω0處。

2) 在兩種非線性效應(yīng)中，非線性壓電效應(yīng)對(duì)主共振響應(yīng)的影響是主要的，在對(duì)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)各構(gòu)件主共振分析時(shí)只考慮壓電非線性是合理的。

3) 數(shù)值模擬驗(yàn)證了非線性跳躍現(xiàn)象的存在，主共振響應(yīng)解析解與數(shù)值解吻合較好，驗(yàn)證了本研究理論推導(dǎo)的正確性。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2016.03.027

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51275441)；河北省研究生創(chuàng)新資助項(xiàng)目(00302-6370001)

2015-05-13；

2015-09-08

TH113.1

李沖，男，1988年6月生，博士生。主要研究方向?yàn)樾滦蛪弘婒?qū)動(dòng)及動(dòng)力學(xué)分析。曾發(fā)表《Coupled vibration of driving sections for an electromechanical integrated harmonic piezodrive system》(《AIP Advances》2014，Vol.4，No.3)等論文。

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