姜慶榮 聶傳虎

測電源電動勢和內(nèi)阻實驗在高中階段是高考的一個重點內(nèi)容，而該實驗的一個難點就是對實驗的結(jié)論進行誤差分析.誤差分析的方法有很多，各種教輔材料中主流的誤差分析法主要有三種：（1）解析法，（2）等效電源法，（3）圖像法.下面先對這三種誤差分析的方法做簡單的說明.

一、幾種常見的誤差分析法

1.解析法

將實際數(shù)據(jù)所聯(lián)立的方程組解得的電源電動勢和內(nèi)阻與真實值進行比較.

此法要求學(xué)生具有較好的解復(fù)雜的二元一次方程組的能力.數(shù)學(xué)功底較差的同學(xué)即使知道誤差分析的原理，也可能無法完成對復(fù)雜二元一次方程的求解.

2.等效電源法

將電表和電源的組合看成是等效電源，再分析等效電源的電動勢和內(nèi)阻與真實電動勢和內(nèi)阻之間的關(guān)系，從而進行誤差分析.該方法看上去比較簡單，實際對學(xué)生的要求很高，其缺陷在于，學(xué)生在將電源與電壓表并聯(lián)時如何正確看待等效電源的斷路電壓以及并聯(lián)等效內(nèi)阻時存在較大的思維障礙.

3.圖象法

先作出理論的U-I圖象，然后根據(jù)實際的實驗電路的誤差來源，通過描點法作出實際的U-I圖象，然后比較理論圖與實際圖之間的差別，由圖象的截距和斜率來判斷測量值和真實值之間的差異.這種方法比較直觀，對于熟練掌握誤差來源以及圖象功底比較扎實的學(xué)生來講，此法較為簡單.但對于中等或以下水平的學(xué)生來講，這種方法是比較難以理解的，而且用這種方法只能定性進行誤差分析，至于誤差是為多少的定量問題，這種方法就無法解決了.

二、函數(shù)對比法的應(yīng)用

本文將對一種直接誤差分析法進行研究，筆者稱之為“函數(shù)對比法”.測電源電動勢和內(nèi)阻的基本實驗方案有伏安法、伏阻法、安阻法等.每種方法都必須測出兩個變量，然后根據(jù)閉合電路歐姆定律列出關(guān)于這兩個變量的一次函數(shù)方程.所謂函數(shù)對比法，即：將考慮系統(tǒng)誤差和不考慮系統(tǒng)誤差的兩個方程進行對照（主要是方程系數(shù)的對照），得到測量值和理論值之間的關(guān)系，從而對系統(tǒng)誤差作更深入的定量研究.筆者就“測電源電動勢和內(nèi)阻”的實驗的幾種不同的實驗方案，采用函數(shù)對比法進行誤差分析研究.

1.實驗方案1的誤差分析

實驗方案1（即伏安法的一種連接方式）的實驗電路圖如圖1所示，理想情況下，閉合電路歐姆定律可寫成

U=E-Ir（1）

其中U指路端電壓，I指干路電流，若用不考慮系統(tǒng)誤差的U、I組建方程組，解出的當(dāng)然是真實的E和r.但是由于電流表分壓，電壓表測得的并不是真實的路端電壓，可用U測表示，電流表讀數(shù)用I測表示.根據(jù)閉合電路歐姆定律，考慮系統(tǒng)誤差后的的方程應(yīng)為

U測=E-I測（r+RA）（2）

將（2）式與（1）式進行對照，不難發(fā)現(xiàn)有U測、I測組建的方程組解得的值應(yīng)為E測=E和r測=r+RA.所以采用這種連接方式所測出的電源電動勢是正確的，而電源的內(nèi)阻則測大了.

2.實驗方案2的誤差分析

若采用圖2的連接方式（伏安法的另一種連接方式），我們不妨也來做個嘗試.此時電壓表測的是準(zhǔn)確的路端電壓，但由于電壓表的分流，電流表測得的值小于真實的干路電流.則實際情況下閉合電路歐姆定律的表達式應(yīng)為：

U測=E-（I測+U測RV）r（3）

U測=E-I測r-U測RVr（4）

U測（1+rRV）=E-I測r（5）

U測=RVRV+rE-I測（6）

將（6）式與（1）式進行對比，可知由U測、I測組建方程組所得的解應(yīng)為E測=RVRV+rE和r測=rRVRV+r.所以采用此種連接方式測得的電動勢偏小了，電源內(nèi)阻也偏小了.

3.實驗方案3的誤差分析

實驗方案3（伏阻法）電路圖如圖3所示.此法的閉合電路歐姆定律的表達式寫成：

U=E-URr（7）

變形得1U=1E+rE·1R（8）

而實際實驗測得的數(shù)據(jù)記為U測和R測，考慮系統(tǒng)誤差后的閉合電路歐姆定律表達式應(yīng)寫成

U測=E-（U測RV+U測R測）r（9）

變形得U測[1+（1RV+1R測）r]=E（10）

將（10）式兩邊取倒數(shù)，再變形有

1U測=1E[1+（1RV+1R測）r]（11）

現(xiàn)在的目的是將（11）式變化成（8）式的形式，從而更好地與（8）式進行對照.

1U測=1E（RV+rRV）+rE·1R測（12）

將（12）式再變形得

1U測=1ERVRV+r+rRVRV+rERVRV+r·1R測（13）

將（13）式與（8）式進行對比不難發(fā)現(xiàn)，用U測和R測得到的解應(yīng)為

E測=ERVRV+r和r測=rRVRV+r.

所以采用實驗方案3所測得電源電動勢和內(nèi)阻均偏小了.

4.實驗方案4的誤差分析

實驗方案4（安阻法）電路圖如圖4所示.此法的閉合電路歐姆定律的表達式寫成：

I=ER+r（14）

變形得1I=1ER+rE（15）

而實際實驗測得的數(shù)據(jù)記為I測和R測，考慮系統(tǒng)誤差后的閉合電路歐姆定律表達式應(yīng)寫成

I測=ER測+r+RA（16）

變形得1I測=1ER測+r+RAE（17）

將（17）式與（15）式進行對比不難發(fā)現(xiàn)，用I測和R測得到的解應(yīng)為

E測=E，r測=r+RA.

所以采用實驗方案4所測得電源電動勢是準(zhǔn)確的和內(nèi)阻均偏大了.

三、“待定系數(shù)法”進行誤差分析的拓展應(yīng)用

題目設(shè)計某實驗小組設(shè)計了測小球運動初速度和加速度的實驗，實驗裝置如圖所示.一平直長木板，表面粗糙程度均勻，長木板末端固定一擋板A，將長木板末端墊起，并保持長木板與水平面的夾角恒定.一輕質(zhì)軟彈簧一端固定于擋板A，自然伸長時彈簧另一端能夠達到D點.長木板B處裝有速度傳感器.現(xiàn)將一小球放在彈簧的前端并輕微壓縮至C點，同時用細線穿過彈簧將小球和擋板A相連接，（CD距離足夠短，可忽略不計），測出BC間的距離為x.現(xiàn)燒斷細線，小球下滑時經(jīng)過B點的速度由速度傳感器測出，記為v，求：

（1）改變速度傳感器所在的位置B點，重復(fù)幾次上述步驟，可得到一組關(guān)于x和v的數(shù)據(jù).現(xiàn)作出v2-x的圖像，如圖所示.直線的斜率為k，縱坐標(biāo)軸的截距為b，則小球脫離彈簧瞬間的速度大小v0=，小球脫離彈簧后的加速度大小a=（結(jié)果用k、b表示）.

（2）若CD間距離不可忽略，但由于疏忽，測量時還是取BC之間的距離為x，從而可能給實驗帶來誤差.若依然按（1）中的思想求v0和a，則測出的v0，a（選填“偏大”、“偏小”或“無誤差”）.

解析（1）小球脫離彈簧后做勻加速直線運動，所以有

v2-v20=2ax得v2=2ax+v20（1）

結(jié)合圖像可知k=2a，b=v20，

所以，a=k2，v0=b.

（2）假設(shè)CD間的距離為x′，CB間的距離用x測表示，小球到達B的速度用v測表示，考慮到實驗誤差，實際的方程應(yīng)寫成

v2測-v20=2a（x測- x′）

變形得v2測=2ax測+（v20-2ax′）（2）

將（2）式與（1）式進行對照可知，加速度的測量是準(zhǔn)確的，初速度的測量偏小了.測得的具體值與真實之間的關(guān)系為：a測=a，v0測=-2ax′+v20.

“待定系數(shù)法”的方法總結(jié)：先根據(jù)實際實驗電路圖寫出實際的方程，再將該方程和原始理論的方程進行系數(shù)的對照，從而得出測量值與真實值之間的關(guān)系.操作的關(guān)鍵在于如何將實際的方程轉(zhuǎn)化成和理論方程類似的形式.這種方法相比于等效電源法和圖象法來講更為嚴謹，不僅可以得出測量結(jié)果偏大偏小的問題，還可以得到具體誤差的大小，是一種比較常規(guī)的、易懂的誤差分析法，此法建立在一定數(shù)學(xué)運算的基礎(chǔ)上，學(xué)生在進行其他實驗的誤差分析時也可以采用類似地思想進行研究.