王磊 王鋒

專題精講

代數(shù)與幾何的綜合問題是指以代數(shù)知識與幾何知識相互交融渾然一體的一類綜合題，這類問題通常以幾何圖形（或將圖形坐標化）及函數(shù)圖象為背景，輔助于圖形的運動與變換（平移、旋轉、對稱）手段，融入函數(shù)（包括銳角三角函數(shù)）、方程、不等式等代數(shù)的核心知識，來綜合考查同學們運用所學的基礎知識和基本技能、掌握的數(shù)學思想方法進行分析問題、解決問題的能力，題型大致可分為：（1）圖形、坐標綜合問題；（2）圖形與代數(shù)式的綜合問題；（3）函數(shù)圖象中的幾何圖形問題；（4）方程、不等式與幾何綜合問題等，

解決代數(shù)與幾何綜合問題的基本思路：

第一，要認真審題，弄清問題的條件與結論，盡可能分析轉化問題中的顯性條件，挖掘問題中的隱含條件，

第二，充分關注幾何圖形的結構特征，發(fā)揮幾何直觀的導航作用，對復雜圖形我們要慧眼識圖，從中發(fā)現(xiàn)并分離出能夠幫助解決問題的基本圖形，或添加適當?shù)妮o助線構造基本圖形，以便運用基本圖形的性質(zhì)去解決問題，

第三，根據(jù)綜合題設計的結論分步探究的特點，我們要學會從題目中尋找代數(shù)與幾何這兩部分知識的結合點，進行“肢解”，轉化為簡單的代數(shù)或幾何問題，發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口，從而“化整為零，各個擊破”。

最后，要充分發(fā)揮數(shù)學思想和方法的引領作用，分析與綜合、分類討論、函數(shù)思想、方程思想、數(shù)形結合、歸納與猜想等都是解決這類問題有效的數(shù)學思想和方法，特別是數(shù)形結合思想——由形導數(shù)、以數(shù)促形，可以架起連接代數(shù)與幾何的橋梁，實現(xiàn)數(shù)與形之間的相互轉化，幫助我們另辟蹊徑，曲徑通幽。

近年來，全國多數(shù)地區(qū)的“代數(shù)與幾何的綜合問題”大部分是以“解答題”的形式出現(xiàn)在中考試卷的最后兩三道題中，難度較大，從近三年河南省中考試卷來看更是如此，2016年我們既要注意通過探究線段長度滿足的數(shù)量關系判斷構成的特殊形狀的幾何圖形（如等腰三角形、矩形、菱形、正方形）的開放型問題或有關幾何圖形的周長與面積的最值問題，更要關注坐標系中幾何圖形的問題以及以三種函數(shù)圖象為背景與幾何圖形融合于一體，判斷點、直角三角形、等腰三角形或特殊四邊形的存在性問題，

重點題型例析

一，圖形、坐標綜合問題

將常見的幾何圖形巧妙地放置于平面直角坐標系中，將圖形坐標化，通過點的坐標來體現(xiàn)圖形中線段的長度，或給出圖形中線段的長度來確定圖形頂點的坐標或滿足某種條件的特征點的坐標，并輔助于圖形的折疊、平移、旋轉等變換手段，構造的一類“坐標幾何問題”——運用坐標描述圖形的位置和運動，把幾何和代數(shù)知識完美地糅合在一起，解決這類問題要掌握圖形變換的基本特征，關注動點與定點之間形成的特殊關系，挖掘幾何圖形的性質(zhì)，進而運用三角形的全等或相似、勾股定理、函數(shù)的性質(zhì)等知識點，或構造方程進行求解，

點撥：本題源于人教版《數(shù)學》八年級下冊第十八章《平行四邊形》復習題十八第69頁“拓廣探索”的第14題，是將課本中正方形放置到平面直角坐標系的第一象限內(nèi)，并附設正方形的邊長，把中點E變成X軸上邊OA上一個動點P，并添加課本中結論作為條件的背景下，來探究點的坐標、線段的長度和四邊形面積的最值，其中通過作垂線構造直角三角形再證明兩個直角三角形全等，仍然為我們解題提供了重要的解題思路，

本題考查直角三角形、正方形的性質(zhì)及全等、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，滲透了待定系數(shù)法（求直線OB的解析式）、配方法（求面積的最值）、函數(shù)思想，第（2）問是一個難點，不易實現(xiàn)有效轉化即用t來表示出點M、N的橫坐標，進而用X_M。來表示出線段MN的長度，導致思維受阻，突破這一問題的關鍵，是充分運用圖形的性質(zhì)，用已知量和未知量表示出相關點的坐標，特別要注意平行于坐標軸的直線上點的坐標特征（平行于X軸的直線上兩點的距離等于它們的橫坐標之差的絕對值，平行于y軸的直線上兩點的距離等于它們的縱坐標之差的絕對值），第（3）問求四邊形面積時，利用了“對角線互相垂直的四邊形”的性質(zhì)——其面積可以利用“對角線乘積的一半”來求（實際上是菱形面積公式的推廣），利用二次函數(shù)研究極值，既可以用頂點坐標公式來求也可以用配方法來求，對于二次項系數(shù)為分數(shù)，配方時同學們?nèi)菀壮霈F(xiàn)失誤，同學們要高度重視，

三.圖形與代數(shù)式的溫和問題

這類問題通過給出一組具有某種特定關系的數(shù)、式、幾何圖形或給出與圖形有關的操作變化過程，要求通過觀察、分析、推理發(fā)現(xiàn)其中蘊涵的數(shù)學規(guī)律，進而歸納或猜想出一般性的

點撥：當一個問題涉及相當多的乃至無窮多的情形時，可從問題的簡單情形求解人手，如本題，抓住圖形結構的形成過程，求出前三次操作時相應的矩形的面積數(shù)值，然后通過分析所得的面積的數(shù)據(jù)的特點找出隱含的共同規(guī)律，進而歸納猜想出問題的答案，這是我們解決此類問題常用的思考策略，本題主要考查了勾股定理、矩形的面積公式和相似多邊形的件質(zhì)。