王芳

專題精講 實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題是指以現(xiàn)實(shí)生活為背景，突出體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)和發(fā)展創(chuàng)新能力的一類問(wèn)題.此類問(wèn)題內(nèi)容新穎，形式多樣，解法靈活、巧妙，一直是中考命題的熱點(diǎn).常涵蓋方程、函數(shù)、不等式以及三角形、四邊形等知識(shí)，著重考查同學(xué)們的閱讀、收集和處理信息、知識(shí)應(yīng)用和問(wèn)題轉(zhuǎn)化、語(yǔ)言表述和數(shù)理推導(dǎo)等多種能力，其本質(zhì)特征就是通過(guò)題中所給信息進(jìn)行分析后。創(chuàng)造性地去發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新，最后解決問(wèn)題。

實(shí)際應(yīng)用題一般涉及生活生產(chǎn)、環(huán)境保護(hù)、節(jié)能減排、國(guó)情國(guó)策、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)、社會(huì)熱點(diǎn)、新聞事件等題材，取材新穎，立意巧妙.解題時(shí)需通過(guò)分析、抽象構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.中考中的實(shí)際應(yīng)用題主要涉及以下幾個(gè)方面：（1）列方程（組）型；（2）列不等式型；（3）建立函數(shù)模型.解決此類問(wèn)題的策略通常分為四個(gè)步驟：第一，要認(rèn)真閱讀，讀懂關(guān)鍵詞語(yǔ)，審清題意；第二，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，尋找數(shù)量關(guān)系，確立數(shù)學(xué)模型；第三，靈活利用多種數(shù)學(xué)方法，認(rèn)真解答；第四，要對(duì)求得的解進(jìn)行深入討論或者驗(yàn)證其準(zhǔn)確性.其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型。 重點(diǎn)題型例析

一.列方程（組）解應(yīng)用題

列方程（組）時(shí)應(yīng)把握四個(gè)重要環(huán)節(jié)：一是認(rèn)真審題，弄清題意，找出等量關(guān)系；二是根據(jù)問(wèn)題所求，適當(dāng)設(shè)出未知數(shù)，通常直接設(shè)未知數(shù)，有時(shí)間接設(shè)未知數(shù)：三是根據(jù)相等關(guān)系列出方程，解方程；四是檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義.

例1（2015·海南）小明想從“天貓”某網(wǎng)店購(gòu)買(mǎi)計(jì)算器，經(jīng)查詢，某品牌A型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)比B型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)多10元，5臺(tái)A型號(hào)的計(jì)算器與7臺(tái)曰型號(hào)的計(jì)算器的價(jià)錢(qián)相同，A、B兩種型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)分別是多少？

解析：設(shè)A型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)為X元，則日型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)是（x-lO）元，依據(jù)“5臺(tái)A型號(hào)的計(jì)算器與7臺(tái)日型號(hào)的計(jì)算器的價(jià)錢(qián)相同”列出方程并解答.

依題意得5x=7（x-lO），解得x=35.所以35-10=25（元）.

答：A型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)為35元，B型號(hào)計(jì)算器的單價(jià)是25元.

點(diǎn)撥：解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思.根據(jù)題目給出的條件.找出等量關(guān)系.除了列方程求解外.還可以設(shè)兩個(gè)未知數(shù)列方程組求解.

例2 （2015·巴彥淖爾）我市某超市舉行店慶活動(dòng)，對(duì)甲、乙兩種商品實(shí)行打折銷售，打折前，購(gòu)買(mǎi)2件甲商品和3件乙商品需要180元，購(gòu)買(mǎi)1件甲商品和4件乙商品需要200元.而店慶期間，購(gòu)買(mǎi)10件甲商品和10件乙商品僅需520元，這比打折前少花多少錢(qián)？

解析：設(shè)甲商品單價(jià)為z元，乙商品單價(jià)為y元，根據(jù)購(gòu)買(mǎi)2件甲商品和3件乙商品需用180元，購(gòu)買(mǎi)1件甲商品和4件乙商品需用200元，列出方程組，求出兩種商品的單價(jià).進(jìn)而解決問(wèn)題.

購(gòu)買(mǎi)10件甲商品和10件乙商品打折前需花費(fèi)lOx（24+44）=680（元），而打折后實(shí)際需要520元。

這比打折前少花160元.

點(diǎn)撥：本題采用間接設(shè)元法，通過(guò)列方程組求出甲、乙兩種商品的單價(jià)來(lái)解決問(wèn)題.

例3（2015·連云港）在某市組織的大型商業(yè)演出活動(dòng)中，對(duì)團(tuán)體購(gòu)買(mǎi)門(mén)票實(shí)行優(yōu)惠，決定在原定票價(jià)基礎(chǔ)上每張降價(jià)80元.這樣按原定票價(jià)需花費(fèi)6 000元購(gòu)買(mǎi)的門(mén)票張數(shù)，現(xiàn)在只花費(fèi)了4800元.

（1）求每張門(mén)票的原定票價(jià).

（2）根據(jù)實(shí)際情況，活動(dòng)組織單位決定對(duì)于個(gè)人購(gòu)票也采取優(yōu)惠政策，原定票價(jià)經(jīng)過(guò)連續(xù)二次降價(jià)后降為324元，求平均每次降價(jià)的百分率.

（2）設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為y，根據(jù)題意得400（1-y）²=324，解得y1=0.1，y2=1.9（不合題意，舍去）.

所以平均每次降價(jià)10%.

點(diǎn)撥：本題考查了一元二次方程與分式方程的應(yīng)用，其中第（1）問(wèn)列分式方程解決問(wèn)題，不要忘記檢驗(yàn)，第（2）問(wèn)列一元二次方程解決問(wèn)題，注意舍去不符合實(shí)際意義的根.

二.列一元一次不等式解應(yīng)用題

列一元一次不等式解應(yīng)用題一般步驟如下：（1）審題，抓住問(wèn)題中的關(guān)鍵詞（句），找出不等關(guān)系；（2）設(shè)一個(gè)未知數(shù)，這個(gè)未知數(shù)一般是與所求問(wèn)題有直接關(guān)系的量；（3）用含有未知數(shù)的式子表示出不等關(guān)系的各個(gè)量，列出不等式；（4）求出不等式的解集（或求出不等式的整數(shù)解）；（5）根據(jù)不等式的解集（或整數(shù)解）解決問(wèn)題。

例4（2015·廣西）已知購(gòu)買(mǎi)1個(gè)足球和1個(gè)籃球共需130元，購(gòu)買(mǎi)2個(gè)足球和1個(gè)籃球共需180元.

（1）求每個(gè)足球和每個(gè)籃球的售價(jià).

（2）如果某校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)這兩種球共54個(gè).總費(fèi)用不超過(guò)4000元，最多可買(mǎi)多少個(gè)籃球？

點(diǎn)撥：本題考查二元一次方程組及不等式的應(yīng)用.其中列二元一次方程組求出籃球、足球的單價(jià)是列不等式的關(guān)鍵.列不等式解決問(wèn)題，要正確求出不等式的解集，并確定整數(shù)解.

例5（2015·山西）某蔬菜經(jīng)營(yíng)戶從蔬菜批發(fā)市場(chǎng)批發(fā)蔬菜進(jìn)行零售，部分蔬菜批發(fā)價(jià)格與零售價(jià)格如表1.

該經(jīng)營(yíng)戶用l 520元批發(fā)西紅柿和西蘭花，要想當(dāng)天全部售完后所賺錢(qián)數(shù)不少于1050元，則該經(jīng)營(yíng)戶最多能批發(fā)西紅柿多少千克？

點(diǎn)撥：解決本題的關(guān)鍵是從表格中獲取信息.抓住“賺錢(qián)數(shù)不少于1050元”這一關(guān)鍵句列不等式.

建立函數(shù)關(guān)系式解決應(yīng)用題的一般步驟：（1）設(shè)定實(shí)際問(wèn)題中的變量；（2）建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系式，如一次函數(shù)、二次函數(shù)；（3）確定自變量的取值范圍，保證自變量具有實(shí)際意義；（4）借助函數(shù)的性質(zhì)（如增減性、最值等）解決問(wèn)題.

例6（2015-無(wú)錫）某工廠以80元/箱的價(jià)格購(gòu)進(jìn)60箱原材料.準(zhǔn)備由甲、乙兩車間全部用于生產(chǎn)A產(chǎn)品.甲車間用每箱原材料可生產(chǎn)出A產(chǎn)品12千克，需耗水4噸：乙車間通過(guò)節(jié)能改造，用每箱原材料可生產(chǎn)出的A產(chǎn)品比甲車間少2千克，但耗水量是甲車間的一半.已知A產(chǎn)品售價(jià)為30元/千克，水價(jià)為5元/噸.如果要求這兩車間生產(chǎn)這批產(chǎn)品的總耗水量不得超過(guò)200噸，那么該廠如何分配兩車間的生產(chǎn)任務(wù)，才能使這次生產(chǎn)所獲取的利潤(rùn)w最大？最大利潤(rùn)是多少？（注：利潤(rùn)=產(chǎn)品總售價(jià)一購(gòu)買(mǎi)原材料成本一水費(fèi)）

解析：設(shè)甲車間用x箱原材料生產(chǎn)A產(chǎn)品，則乙車間用（60-x）箱原材料生產(chǎn)A產(chǎn)品.

由題意得4x+2（60-x）≤200，解得x≤40.

w=30[12x+lO（60-x）]-80x60-5[4x+2（60一x）]=50x+12600.

50>0，

隨X的增大而增大

當(dāng)x=40時(shí)，W取得最大值，為14600元.

答：甲車間用40箱原材料生產(chǎn)A產(chǎn)品，乙車間用20箱原材料生產(chǎn)A產(chǎn)品，可使工廠所獲利潤(rùn)最大.最大利潤(rùn)為14600元.

點(diǎn)撥：本題考查一次函數(shù)及不等式的綜合應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是建立利潤(rùn)與原材料箱數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，并借助一次函數(shù)的增減性確定最大利潤(rùn).

例7（2015·泉州）某校在基地參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)中.帶隊(duì)老師考問(wèn)學(xué)生：基地計(jì)劃新建一個(gè)矩形的生物園地，一邊靠舊墻（墻足夠長(zhǎng)），另外三邊用總長(zhǎng)69m的不銹鋼柵欄圍成，與墻平行的一邊留一個(gè)寬為3 m的出入口，如圖1所示，如何設(shè)計(jì)才能使園地的面積最大？下面是兩位學(xué)生爭(zhēng)議的情境：

點(diǎn)撥：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.其中在確定自變量取值范圍時(shí)要結(jié)合題目中的圖形，找到關(guān)于x的不等式.

綜合歸納：（1）列方程（組）解應(yīng)用題，以列二元一次方程組和分式方程為命題重點(diǎn)，其中列二元一次方程通常與列不等式綜合考查，這類問(wèn)題一般涉及兩問(wèn)，第一問(wèn)列方程組求解，第二問(wèn)列不等式組求解.解決這類問(wèn)題應(yīng)認(rèn)真審題，找出問(wèn)題中的相等關(guān)系和不等關(guān)系，設(shè)出合適的未知數(shù)，列出方程、不等式.

（2）函數(shù)應(yīng)用題因其綜合了方程、不等式等內(nèi)容，容易與現(xiàn)實(shí)生活中的重大事件聯(lián)系起來(lái)以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，近年來(lái)一直是中考命題的熱點(diǎn).求解的基本思路是建立函數(shù)關(guān)系式，確定自變量的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題.

中考命題預(yù)測(cè)

1.華聯(lián)超市將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品如果按50元銷售，就能賣(mài)出500個(gè)，而這種商品每漲價(jià)1元，其銷售就減少10個(gè)，如果你是超市經(jīng)理，為了賺得8000元的利潤(rùn)，你覺(jué)得售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？

2.一次會(huì)議上，參加會(huì)議的每?jī)蓚€(gè)人都互相握手一次，有人統(tǒng)計(jì)一共握手了66次.問(wèn)：這次會(huì)議到會(huì)的有多少人？

3.某中學(xué)為落實(shí)市教育局提出的“全員育人，創(chuàng)辦特色學(xué)?！钡臅?huì)議精神，決心打造“書(shū)香校園”，計(jì)劃用不超過(guò)1900本科技類書(shū)籍和1620本人文類書(shū)籍，組建中、小型兩類圖書(shū)角共30個(gè).已知組建一個(gè)中型圖書(shū)角需科技類書(shū)籍80本，人文類書(shū)籍50本；組建一個(gè)小型圖書(shū)角需科技類書(shū)籍30本，人文類書(shū)籍60本.

（1）符合題意的組建方案有幾種？請(qǐng)你幫學(xué)校設(shè)計(jì)出來(lái).

（2）若組建一個(gè)中型圖書(shū)角的費(fèi)用是860元.組建一個(gè)小型圖書(shū)角的費(fèi)用是570元，試說(shuō)明（1）中哪種方案費(fèi)用最低，最低費(fèi)用是多少元？

4.某體育用品專賣(mài)店銷售7個(gè)籃球和9個(gè)排球的總利潤(rùn)為355元，銷售10個(gè)籃球和20個(gè)排球的總利潤(rùn)為650元.

（1）求每個(gè)籃球和每個(gè)排球的銷售利潤(rùn).

（2）已知每個(gè)籃球的進(jìn)價(jià)為200元，每個(gè)排球的進(jìn)價(jià)為160元，若該專賣(mài)店計(jì)劃用不超過(guò)17400元購(gòu)進(jìn)籃球和排球共100個(gè)，且要求籃球數(shù)量不少于排球數(shù)量的一半，請(qǐng)你為專賣(mài)店設(shè)計(jì)符合要求的進(jìn)貨方案.

5.某廠制作甲、乙兩種環(huán)保包裝盒.已知同樣用6m材料制成甲盒的個(gè)數(shù)比制成乙盒的個(gè)數(shù)少2個(gè)，且制成一個(gè)甲盒比制成一個(gè)乙盒需要多用20%的材料.

（1）求制作每個(gè)甲盒、乙盒各用多少米材料.

（2）如果制作甲、乙兩種包裝盒共3000個(gè)，且甲盒的數(shù)量不少于乙盒數(shù)量的2倍.那么請(qǐng)寫(xiě)出所需要材料的總長(zhǎng)度L（m）與甲盒數(shù)量n（個(gè)）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出最少需要多少米材料。