陳幼玲

教師在課堂教學(xué)過程中要努力引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程?！俺Ｒ姷臄?shù)量關(guān)系”是蘇教版四下中新增加的教學(xué)內(nèi)容。學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，要能在具體情境中了解常見的數(shù)量關(guān)系，并學(xué)會(huì)用所學(xué)數(shù)量關(guān)系解決簡單的實(shí)際問題。現(xiàn)以“常見的數(shù)量關(guān)系”教學(xué)為例，闡述如何引導(dǎo)學(xué)生在建模過程中感悟數(shù)學(xué)思想。

一、在模型準(zhǔn)備中初步感知模型思想

提出問題是數(shù)學(xué)建模的起點(diǎn)，有了明確問題，學(xué)生建模才能有的放矢。模型準(zhǔn)備時(shí)，教師要根據(jù)實(shí)際問題的特征和建模目的，呈現(xiàn)貼近學(xué)生生活實(shí)際的學(xué)習(xí)素材，盡量做到形象具體，并引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題情境進(jìn)行必要簡化，有效引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題，甚至對(duì)問題作出必要和合理的猜想與假設(shè)，使學(xué)生能從熟悉的或已具備的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)經(jīng)驗(yàn)入手，為學(xué)生順利構(gòu)建數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

教學(xué)時(shí)，教師先出示教學(xué)掛圖，引導(dǎo)學(xué)生分析圖中的信息。學(xué)生很快從圖中發(fā)現(xiàn)每支鋼筆12元，每本練習(xí)本3元；要買4支鋼筆和5本練習(xí)本。根據(jù)圖中的信息填寫表格（表1）后，教師要求學(xué)生觀察表格中第一列的信息并說出它們的相同點(diǎn)，從而認(rèn)識(shí)單價(jià)就是每個(gè)物品的價(jià)錢。當(dāng)學(xué)生聯(lián)系生活舉例說出一些商品的單價(jià)（如包子的單價(jià)是每個(gè)2元，一瓶綠茶的單價(jià)是每瓶3元）時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生自主讀、寫出來（2元/個(gè)，讀作2元每個(gè)，表示每個(gè)包子2元；3元/瓶，讀作3元每瓶，表示每瓶綠茶3元）；當(dāng)學(xué)生了解表格中第二列信息表示商品數(shù)量、第三列信息表示商品總價(jià)（購買某種商品一共要用的錢）時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生分別算出兩種商品各自的總價(jià)。學(xué)生為解決實(shí)際問題而認(rèn)識(shí)單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)三種數(shù)量，并在解決問題的過程中自然地產(chǎn)生數(shù)學(xué)問題——這三種量之間有沒有什么關(guān)系？如果有關(guān)系，有什么關(guān)系？甚至有些思維活躍的學(xué)生就會(huì)在大腦中出現(xiàn)這樣的猜想或假設(shè)——這里的單價(jià)和數(shù)量相乘后是不是等于總價(jià)？這樣，學(xué)生就能在計(jì)算總價(jià)的過程中為順利構(gòu)建數(shù)學(xué)模型做好充分準(zhǔn)備，同時(shí)從中初步感悟數(shù)學(xué)模型思想。

二、在模型的建立中充分感悟模型思想

模型建立的過程，往往是學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、抽象和概括的活動(dòng)過程。在這個(gè)過程中，學(xué)生會(huì)使用文字或者其他數(shù)學(xué)符號(hào)嘗試表示數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律。換句話說，小學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程就是嘗試把生活情境“數(shù)學(xué)化”的過程，就是他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中嘗試獲得某種帶有“模型”意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過程。這個(gè)過程可以在教師的適當(dāng)引領(lǐng)下完成，也可以在學(xué)生的自主探究中完成。

研究單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)這三種量之間的關(guān)系時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生先仔細(xì)觀察表格，再思考兩種文具的總價(jià)各自是怎樣計(jì)算的，并嘗試用式子表示出來。學(xué)生通過想一想、說一說和寫一寫后，發(fā)現(xiàn)每種文具的總價(jià)都是用表中的第一個(gè)信息與第二個(gè)信息相乘的結(jié)果，即“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量”，并由此及彼地發(fā)現(xiàn)“數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)”和“單價(jià)=總價(jià)÷數(shù)量”，從而明白只要知道三種量中的兩種量，就能根據(jù)數(shù)量關(guān)系求出第三個(gè)量。探究速度、時(shí)間和路程三者之間的關(guān)系時(shí)，教師先出示一組信息：一列和諧號(hào)列車每小時(shí)行260千米，李冬騎自行車每分行200米。自主閱讀后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)它們分別表示1時(shí)或1分（單位時(shí)間）內(nèi)所行的路程，從而認(rèn)識(shí)了速度。學(xué)生再聯(lián)系生活說一些常見的速度例子（如兔子每秒跑6米，小明每秒跑5米）后，學(xué)會(huì)讀寫速度（6米/秒，讀作6米每秒，表示兔子每秒跑6米；300米/分，讀作300米每分，表示小明每分行300米）、計(jì)算各自所行的路程，并填寫表格（表2），并在小組交流中發(fā)現(xiàn)路程都可以用“路程=速度×?xí)r間”表示，進(jìn)而觸類旁通地聯(lián)想到“速度=路程÷時(shí)間”和“時(shí)間=路程÷速度”這兩個(gè)數(shù)量關(guān)系。最后，教師引導(dǎo)學(xué)生分組嘗試用線段圖表示這兩題的條件和問題，并討論線段圖的相同點(diǎn)，從中發(fā)現(xiàn)圖中每段表示一份，3段便是3份，問題都是求總數(shù)，從而溝通了兩個(gè)數(shù)量之間的聯(lián)系，構(gòu)建統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型——每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)。

史寧中教授認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的本質(zhì)是在認(rèn)識(shí)數(shù)量的同時(shí)認(rèn)識(shí)數(shù)量之間的關(guān)系?！笔聦?shí)上，如果我們從建模角度看這兩組數(shù)量關(guān)系，它們都屬于“乘法模型”，也就是“每份數(shù)×數(shù)量=總數(shù)”關(guān)系的具體化。它們中的第一個(gè)數(shù)量關(guān)系是學(xué)生在教師引導(dǎo)下的建構(gòu)，第二個(gè)數(shù)量關(guān)系是學(xué)生的自主建構(gòu)，扶放結(jié)合，最終形成統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生在經(jīng)歷建模的過程中對(duì)數(shù)學(xué)模型思想的感悟越來越充分。

三、在模型應(yīng)用中靈活感悟模型思想

對(duì)小學(xué)生而言，他們進(jìn)行建模的目的之一就是根據(jù)模型解決實(shí)際問題，并嘗試用結(jié)果去解釋它在現(xiàn)實(shí)問題中的意義，也就是模型應(yīng)用。所謂模型應(yīng)用，就是學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)模型后嘗試把數(shù)學(xué)模型還原為具體可感知的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，從而鞏固甚至靈活應(yīng)用所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。但在應(yīng)用模型解決實(shí)際問題的過程中，教師首先要引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)學(xué)模型的含義，并將模型解答與現(xiàn)實(shí)問題之間進(jìn)行對(duì)照檢驗(yàn)，并根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對(duì)解答進(jìn)行完善和優(yōu)化。這對(duì)學(xué)生靈活感悟模型思想能起到畫龍點(diǎn)睛的作用。

應(yīng)用模型時(shí)，教師首先出示一組基本題讓學(xué)生簡單應(yīng)用：（1）一種自動(dòng)鉛筆的售價(jià)為4元/支，買3支多少錢？（2）小明從家步行到公交車站要3分鐘，如果他步行速度為60米/分，那么，他家到公交站臺(tái)有多少米？學(xué)生分析已知條件和要求的問題，思考用什么數(shù)量關(guān)系列式計(jì)算后，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：（3）獅子奔跑的速度是16米/秒，求它2秒、4秒、10秒和30秒跑的路程各是多少？（4）李老師用840元買運(yùn)動(dòng)服，買2套、4套、8套和10套服裝時(shí)的單價(jià)各是多少元？學(xué)生邊填邊想數(shù)量關(guān)系式及自己的發(fā)現(xiàn)。最后，教師出示課本中的一組習(xí)題：（5）李師傅每小時(shí)加工24個(gè)零件，8小時(shí)加工多少個(gè)？（6）李師傅每小時(shí)加工24個(gè)零件，加工192個(gè)零件用多少小時(shí)？（7）李師傅8小時(shí)加工192個(gè)零件，平均每小時(shí)加工多少個(gè)零件？引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型解決簡單的實(shí)際問題，這有助于學(xué)生鞏固所建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型；向?qū)W生滲透“工作總量=工作時(shí)間×工作效率”的數(shù)量關(guān)系的過程就是幫助學(xué)生拓展模型的過程，有助于學(xué)生了解相似數(shù)量關(guān)系在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有很多，需要自己及時(shí)總結(jié)、舉一反三，才能達(dá)到靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的目的，才能更好地解決問題。

（作者單位：福建省古田縣第二小學(xué)）