張云鵬， 高術寧， 劉淑琴， 李紅偉， 薛博文

(山東大學 電氣工程學院，山東 濟南 250061)

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軸向電磁軸承多自由度承載力理論與實驗研究

張云鵬， 高術寧， 劉淑琴， 李紅偉， 薛博文

(山東大學 電氣工程學院，山東 濟南 250061)

為了實現(xiàn)磁懸浮軸承系統(tǒng)的微型化，對軸向電磁軸承的多自由度承載力進行理論與實驗研究?；谳S向磁軸承氣隙磁通空間分布，利用分割磁場法建立磁路模型，由虛位移法得到軸向和徑向承載力的數(shù)學表達式。借助有限元仿真軟件，得到軸向磁軸承氣隙磁感應強度與磁場空間分布。在搭建的磁軸承三維力學測量平臺上，實驗測量了軸向磁軸承的軸向與徑向承載力，分析總結(jié)了多自由度承載力隨電流、軸向位移和徑向位移的變化規(guī)律，結(jié)合理論與仿真結(jié)果，分析了結(jié)構參數(shù)變化導致氣隙磁場分布變化，進而改變軸向與徑向承載力的物理機理，為軸向磁軸承實現(xiàn)多自由度懸浮研究提供了參考依據(jù)。

磁軸承; 等效磁路;軸向力; 徑向力; 有限元法

0 引 言

磁懸浮軸承又簡稱磁軸承，是利用定轉(zhuǎn)子之間的磁力相互作用，支承轉(zhuǎn)子懸浮于空間設定位置的一種機電裝置。因具有無機械磨損、噪音小、壽命長、無需潤滑等優(yōu)點，廣泛適用于高速、真空、超潔凈和核電等場合[1-3]。近年來，在人工心臟、飛輪儲能、航天航空等特殊領域的應用，對其體積、重量和功率損耗都提出了苛刻要求，低功耗和微型化成為磁懸浮軸承研究與發(fā)展的重要方向[4-6]。

傳統(tǒng)的磁懸浮系統(tǒng)由兩組徑向磁軸承和一組軸向磁軸承組成，控制除沿軸向轉(zhuǎn)動以外的五個自由度，每組磁軸承通過各個自由度上的位移傳感器、控制器和功率放大器等器件，提供各個自由度懸浮所需的磁力，支撐轉(zhuǎn)子的五自由度懸浮，因此結(jié)構較為復雜，難以微型化。由某一自由度磁軸承提供多自由度懸浮力，實現(xiàn)對其他自由度懸浮支撐，能夠提高磁懸浮系統(tǒng)的集成度，降低系統(tǒng)功耗，成為磁懸浮技術發(fā)展的新趨勢[7-11]。文獻[12]利用軸向一側(cè)主動磁軸承與另一側(cè)永磁軸承實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子的五自由度懸浮。文獻[13]在心臟泵中利用軸向兩端混合磁軸承，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子軸向主動懸浮，徑向利用磁軸承徑向被動懸浮與液力懸浮相輔助的方法，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子五自由度懸浮。這類結(jié)構中軸向磁軸承除提供與磁極面垂直的軸向承載力外，同時提供與磁極面平行的徑向承載力，實現(xiàn)轉(zhuǎn)子軸向與徑向的多自由度懸浮，從而降低功耗和簡化系統(tǒng)結(jié)構。要保證磁懸浮系統(tǒng)在多個自由度上高精度穩(wěn)定懸浮，需要對軸向磁軸承的軸向和徑向多個自由度承載力隨結(jié)構參數(shù)的變化規(guī)律進行深入研究。

目前，軸向磁軸承承載力的研究主要集中在軸向力的研究[2-3]，對徑向力研究較少。文獻[15-16]利用磁路分析和實驗的方法，研究了軸向永磁軸承的徑向承載力與結(jié)構參數(shù)之間的關系。文獻[17-18]利用磁路分析、有限元仿真等方法，對軸向混合磁軸承徑向磁力進行了研究，得出徑向磁力的解析表達式。以上文獻側(cè)重于承載力隨某一參數(shù)變化規(guī)律的研究，而軸向磁軸承在工作時其承載力主要由控制電流、軸向氣隙和徑向位移的三個參數(shù)決定，因此需要對多個參數(shù)耦合變化時，軸向磁軸軸向力和徑向力的變化規(guī)律做全面分析。

為了研究軸向磁軸承的軸向力和徑向力隨各參數(shù)的變化規(guī)律，本文基于軸向磁軸承的磁路模型，利用虛位移法求解了軸向和徑向承載力的數(shù)學表達式，借助有限元仿真軟件，得到氣隙處磁感應強度與磁場空間分布，在搭建的軸向磁軸承三維移動及力學測量平臺上，實驗測量并總結(jié)了軸向磁軸承的徑向力和軸向力隨徑向位移、軸向位移和電流的變化規(guī)律，并結(jié)合理論和仿真結(jié)果，分析軸向和徑向承載力變化的物理機理。

1 軸向磁軸承結(jié)構與磁路模型

軸向磁軸承主要由定子鐵心，轉(zhuǎn)子鐵心和定子線圈組成，如圖1所示。當定子線圈通電流后，產(chǎn)生磁通，依次通過轉(zhuǎn)子鐵心、氣隙和定子鐵心形成磁通回路。

圖1 軸向磁軸承結(jié)構與氣隙磁導空間分布模型Fig.1 Distribution model of axial magnetic bearing air gap permeance

圖2 軸向磁軸承等效磁路Fig.2 Equivalent magnetic circuit of axial magnetic bearing

2 軸向磁軸承多自由度承載力計算

2.1 氣隙磁導與磁通計算

由磁路模型及磁導計算公式[19]，得到內(nèi)外磁極間氣隙磁導與結(jié)構參數(shù)之間的函數(shù)關系為

(1)

(2)

式中：Gi，Go分別為內(nèi)側(cè)與外側(cè)磁極間磁導；R1為內(nèi)側(cè)磁極半徑；R2與R3分別外側(cè)磁極內(nèi)徑和外徑；g為軸向氣隙長度；Δr為轉(zhuǎn)子徑向位移。忽略鐵心磁阻，軸向磁軸承磁路總磁導為

(3)

軸向磁軸承工作時磁路磁動勢由電磁線圈提供，磁動勢為Hm=Ni，其中，N為線圈匝數(shù)，i為線圈電流。磁路中的總磁通為

(4)

2.2 軸向與徑向承載力解析表達

傳統(tǒng)軸向磁軸承承載力計算中，只考慮其軸向承載力，在忽略鐵心磁阻和徑向位移對軸向力影響時，磁軸承的軸向承載力Fz與電流i的平方成正比，與軸向氣隙g的平方成反比，即

Fz∝i2/g2。

(5)

式(5)在工程中被廣泛應用于磁軸承的設計與控制[2-3]。在軸向磁軸承支撐轉(zhuǎn)子多自由度懸浮系統(tǒng)中，需要同時考慮轉(zhuǎn)子的軸向力和徑向力。因為承載力是電流i和氣隙g的函數(shù)以外，還是徑向位移Δr的函數(shù)，因此用Fz(g,Δr,i)和Fr(g,Δr,i)分別表示軸向磁軸承的軸向力和徑向力。

(6)

其中:Fmi=fiNI，F(xiàn)mo=foNI,fi,fo分別為內(nèi)外側(cè)氣隙的磁阻系數(shù)。

根據(jù)虛位移法[19],對氣隙磁場能量求偏導，得到混合磁軸承的軸向力和徑向力為

(7)

將式(1)～式(3)、式(6)帶入式(7)得到軸向力Fz(g,Δr,i)和徑向力Fr(g,Δr,i)的表達式為

(8)

(9)

3 有限元仿真與實驗

利用有限元軟件構建軸向磁軸承三維模型如圖3所示。軸向磁軸承的主要參數(shù)如表1所示。在不同電流i、徑向位移g和軸向位移Δr下，利用有限元方法對其進行電磁場仿真，得到磁軸承氣隙磁感應強度數(shù)值與空間分布。

表1 軸向磁軸承結(jié)構參數(shù)

圖3 軸向磁軸承有限元仿真模型Fig.3 Finite element simulation model of axial magnetic bearing

圖4為氣隙處的磁感應強度隨空間位置變化關系，圖4(a)和圖4(b)分別為發(fā)生徑向位移方向上的磁感應強度軸向分量Bz和徑向分量Br的分布情況。圖中橫坐標r=0處表示定子軸心位置。由圖可知，當轉(zhuǎn)子徑向位移Δr=0時，氣隙磁場呈軸對稱分布，磁感應強度軸向分量Bz與徑向分量Br均關于軸心位置(r=0 mm處)對稱分布，因此定轉(zhuǎn)子之間只有軸向力Fz，徑向力Fr為零。當徑向位移Δr不為零時，氣隙磁場不再軸對稱分布。由圖4(a)知，磁極處的Bz值基本保持不變，而最大值區(qū)域減小，這是由于徑向位移使磁極正對面積減小引起的。由圖4(b)知，隨著徑向位移增大，磁極邊緣處徑向分量Br增大，氣隙磁通中徑向分量部分增加，產(chǎn)生徑向力。

圖4 氣隙磁感應強度沿徑向空間分布Fig.4 Spatial distribution of magnetic flux density

圖5 軸向磁軸承承載力測量裝置圖Fig.5 Magnetic force measurement system for axial magnetic bearing

4 承載力與磁軸承參數(shù)關系

當軸向磁軸承工作時，軸向力Fz(g, Δr,i)和徑向力Fr(g, Δr,i)是電流i、軸向氣隙g和徑向位移Δr的函數(shù)，下面通過理論計算與實驗結(jié)果，分別討論軸向力和徑向力隨i，g，Δr的變化關系。

4.1 軸向力Fz和徑向力Fr隨電流i變化關系

圖6為軸向力Fz隨電流i的變化關系，其中軸向氣隙g=0.5 mm，圖7為不同徑向位移下徑向力Fr隨電流i的變化關系，實驗與理論值對比表明，在不同軸向氣隙和徑向位移下，軸向磁軸承的軸向力和徑向力均與電流i的平方成正比關系，與磁路理論的計算結(jié)果一致。

根據(jù)傳統(tǒng)磁軸承理論，軸向磁軸承軸向力的表達式為[3]

Fz。

(10)

其中B為氣隙磁場磁感應強度，A為磁極面積，μ0為真空磁導率。圖8為通過仿真得到的內(nèi)外側(cè)磁極中心處磁感應強度軸向分量Bz隨電流i的變化關系，當電流i增大時，內(nèi)外側(cè)磁極間磁感應強度增大，兩者成線性關系。因此根據(jù)式(10)可知，承載力與電流的平方成正比關系。

圖6 軸向力Fz隨電流i變化關系Fig.6 Axial force Fz dependence on current i

圖7 徑向力Fr隨電流i變化關系Fig.7 Radial force Fr dependence on current i

4.2 軸向力Fz隨軸向氣隙g變化關系

當徑向位移為零時，由式(8)得軸向力表達式為

(11)

圖8 氣隙磁感應強度隨電流變化關系Fig.8 Magnetic flux density B dependence on current i

圖9 無徑向位移時軸向力隨軸向氣隙變化關系Fig.9 Axial force dependence on axial air gap without radial displacement

當存在徑向位移時，由式(8)可知，其中第一項與1/g2成正比，第二項與1/(Δr+2g)2成正比。當徑向位移Δr=1 mm時，軸向力隨軸向氣隙的變化關系如圖10，根據(jù)式(8)與Fz1/g2分別進行擬合，由圖可知，當存在徑向位移時，軸向力隨軸向氣隙的增加而迅速單調(diào)減小，相比Fz1/g2曲線，式(9)結(jié)果更加接近實驗測量值。

圖11為通過仿真得到的內(nèi)外磁極氣隙中心處磁感應強度軸向分量Bz隨軸向氣隙倒數(shù)1/g的變化關系，由圖可知磁感應強度軸向分量Bz正比于軸向氣隙倒數(shù)1/g，即Bz1/g，根據(jù)式(10)，軸向力與軸向氣隙g的平方成反比。而隨著徑向位移增大，磁軸承磁極正對面積減小，漏磁和邊緣磁通在總磁通中所占比例增加，導致軸向力Fz與軸向氣隙g的變化規(guī)律略偏離Fz1/g2。

4.3 徑向力Fr隨軸向氣隙g變化關系

圖12為電流i=1.4 A，徑向位移Δr=1 mm時，徑向力Fr隨軸向氣隙g的變化關系。根據(jù)式(9)，徑向力隨著軸向氣隙g的增大而減小，圖中Fr1/g2曲線作為對比，由圖可知，實驗測量值與式(9)曲線基本一致，與Fr1/g2曲線偏離較大。

圖10 存在徑向位移時軸向力隨軸向氣隙變化關系Fig.10 Axial force dependence on axial air gap with radial displacement

通過歸一化后，在相同條件(i=1.4 A，Δr=1 mm)下，軸向力與徑向力隨軸向氣隙的變化關系如圖13所示。由圖可知，隨軸向氣隙增大，軸向力和徑向力均減小，軸向力較徑向力減小得更快。

4.4 軸向力Fz隨徑向位移Δr變化關系

軸向力與徑向位移的關系如圖13所示，實驗測量之與式(8)曲線一致，說明式(8)能夠描述軸向承載力與徑向位移之間的關系，但表達式較為復雜。式(8)忽略高階項后得

(12)

圖12 徑向力Fr隨軸向氣隙g的變化關系Fig.12 Radial force factor Fr dependence on axial air-gap g

圖13 歸一化的軸向力與徑向力隨軸向氣隙g的變化關系Fig.13 Normalized axial forceand radial force dependence on axial air-gapg

根據(jù)圖4(a)中磁場有限元仿真結(jié)果可知，隨徑向位移增加，在內(nèi)側(cè)磁極與外側(cè)磁極處氣隙磁感應強度軸向分量Bz基本不變。而隨著徑向位移增加，磁極正對面積減小。因此根據(jù)式(10)，軸向力隨徑向位移增加而減小，主要是由于徑向位移增大使磁極正對面積A減小引起的。

圖14 軸向力Fz隨徑向位移r的變化關系圖Fig.14 Axial force Fz dependence on radial displacement Δr

4.5 徑向力Fr隨徑向位移Δr變化關系

根據(jù)式(9)可知，軸向磁軸承的徑向力具有正剛度，可以在有主動控制的情況下實現(xiàn)徑向的被動懸浮，同時徑向力是電流i的函數(shù)，也可以通過控制兩側(cè)軸向磁軸承中的電流i，控制兩側(cè)磁軸承中的徑向力實現(xiàn)徑向主動控制。以上兩種徑向懸浮方式，都需要以軸承徑向力Fr隨徑向位移Δr的變化規(guī)律為基礎。圖15為徑向力隨徑向位移關系，通過實驗測量值與理論值對比，差別主要有：

1)在根據(jù)式(9)，隨徑向位移增加，徑向力先增加然后趨于飽和，其飽和值為

2)在整個范圍內(nèi)，理論值均高于實驗值，這主要是由于磁路模型中沒有考慮內(nèi)外磁極之間的漏磁，定轉(zhuǎn)子磁極間磁感應強度與理論值相比要小。

圖15 徑向力Fr隨徑向位移Δr的變化關系Fig.15 Radial force Fr dependence on radial displacement factor Δr

圖16 徑向剛度隨徑向位移r的變化關系Fig.16 Radial stiffness dependence on radial displacement Δr

5 結(jié) 論

基于軸向磁軸承磁極間磁場的空間分布，通過磁路模型和虛位移法，得到軸向磁軸承軸向和徑向承載力與電流、軸向氣隙和徑向位移關系的數(shù)學解析表達式，為分析軸向磁軸承多自由度懸浮特性提供了理論基礎。

通過有限元仿真得到氣隙處磁感應強度與磁場空間分布，驗證了磁路模型的正確性。設計實驗，改變軸向磁軸承中電流、軸向氣隙和徑向位移參數(shù)，測量磁軸承的軸向力與徑向力，實驗結(jié)果與理論結(jié)果基本一致。

通過理論和實驗，總結(jié)軸向磁軸承軸向力和徑向力隨電流、軸向氣隙和徑向位移的變化規(guī)律：軸向力和徑向力均與電流的平方成正比關系；軸向力隨軸向位移增大而減小，在沒有徑向位移時，與軸向氣隙的平方成反比，當存在徑向位移時偏離平方反比關系；軸向力隨徑向位移增大而減小，近似成線性關系；徑向力隨軸向氣隙增大而減小，隨徑向位移的增大而先增大，然后趨近飽和值，最大值的位置與磁極厚度相近；徑向剛度隨徑向位移的增大而先減小。

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(編輯：劉素菊)

The oretical and experimental research on axial and radial magnetic force of axial magnetic bearing

ZHANG Yun-peng， GAO Shu-ning， LIU Shu-qin， LI Hong-wei， XUE Bo-wen

(School of Electrical Engineering, Shandong University, Jinan 250061, China)

In order to simplify magnetic levitation system supported by axial magnetic bearings, axial and radial magnetic force of axial magnetic bearing is studied in this paper. Based on spatial distribution of magnetic flux in the gap, equivalent circuit model was created and the mathematic formula of axial and radial magnetic force in axial magnetic bearing was deduced by virtual work method. Magnetic flux density and field distribution in the gap of axial magnetic bearing were obtained by finite element method. On three-dimensional force measuring experimental platform, axial and radial magnetic force of axial magnetic bearing was measured. The change law of magnetic force in terms of exciting current i, axial gap g and radial displacement Δr was analyzed and physical mechanism was discussed based on theoretical and simulation results. These results provide reference for research of magnetic suspension system in multi-degree-of-freedom supported by axial magnetic bearings.

magnetic bearing; magnetic equivalent circuit;axial magnetic force; radial magnetic force;finiteelement method

2015-07-29

國家自然科學基金(51105231,11302120)；山東省優(yōu)秀中青年科學家科研獎勵基金(BS2012DX013)；山東大學基本科研業(yè)務費專項資金(2015JC042)

張云鵬(1981—)，男，博士，講師，研究方向為磁軸承理論及應用、磁路設計、電磁場分析;

高術寧(1992—)，男，碩士研究生，研究方向為混合磁軸承及應用、磁路分析；

劉淑琴，張云鵬

10.15938/j.emc.2016.10.008

TM 153

A

1007-449X(2016)10-0055-09

劉淑琴(1958—)，女，教授，博士生導師，研究方向為磁軸承理論及應用、風力發(fā)電；

李紅偉(1979—)，男,博士，講師，研究方向為磁軸承理論及應用、轉(zhuǎn)子動力學；

薛博文(1991—)，男，碩士研究生，研究方向為磁軸承理論與應用、電機理論與設計。