☉廣東省中山市華僑中學(xué)　陳春濤

從一道錯題看章節(jié)起始課對數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的影響

☉廣東省中山市華僑中學(xué)陳春濤

數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的思維過程.它主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設(shè)計運算程序、求得運算結(jié)果［1］.它是在“運算能力”基礎(chǔ)上的進一步發(fā)展.教育部考試中心（1999）指出：運算能力包括理解運算，會根據(jù)法則、公式和運算律正確地進行運算，能根據(jù)題目條件尋求合理、簡捷的運算途徑，運算熟練、準確、迅速［2］.數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)應(yīng)該是運用運算能力解決問題的思維過程.它是六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是開展其他數(shù)學(xué)學(xué)習的基礎(chǔ).

下面以一道題目的常見錯誤為例，談一談?wù)鹿?jié)起始課教學(xué)對數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的影響.

一、題目與解答

二、錯誤解答展示

（X）第⑧步：不考慮字母a的取值情況，取到了+2或±3這些數(shù)，導(dǎo)致原式無意義.

除此以外，還有少部分學(xué)生未能理解運算，未化簡分式，直接將后面的a值代入計算.這類錯誤暫未列入研究.

三、錯因思考

綜合分析會發(fā)現(xiàn)學(xué)生主要有五大類錯誤.（1）符號不清.如第V、VII、VIII類錯誤.（2）算理不明.如第II、III類錯誤.（3）概念不透.如第IX類錯誤.（4）技巧不熟.如第I、VI類錯誤.（5）綜合不夠.如第IV、X類錯誤.這五類錯誤就像五個關(guān)口一樣，制約著學(xué)生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的形成.而且，五類錯誤分別對應(yīng)了數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)培養(yǎng)的六大方面：理解運算對象（符號關(guān)、概念關(guān)）、掌握運算法則（算理關(guān)）、探究運算方向（綜合關(guān)）、選擇運算方法（技巧關(guān)）、設(shè)計運算程序（綜合關(guān)）、求得運算結(jié)果，只有“過好五關(guān)”、斬得“六將（數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)六大方面）”，才可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)得到有效培養(yǎng).

這些錯誤絕非一朝一夕可以形成的，它與每節(jié)課四基目標落實不夠有關(guān)系，特別是與對每章節(jié)的第一節(jié)課（以下簡稱起始課）的學(xué)習不夠扎實有關(guān)系.

四、追根溯源

1.過好符號關(guān)：以有理數(shù)、整式的加減章節(jié)起始課為例

有理數(shù)一節(jié)的起始課中有這樣一段歸納“如果一個問題中出現(xiàn)相反意義的量，我們可以用正數(shù)和負數(shù)分別表示它們”.這句話明確地告訴我們：初中的數(shù)（運算對象）由兩部分構(gòu)成，即符號和“數(shù)值（即絕對值）”，小學(xué)時的所有運算只是“數(shù)值”的運算，初中則必須先考慮符號.后續(xù)的教學(xué)內(nèi)容也體現(xiàn)了這一點：有理數(shù)的分類可從符號與絕對值兩個角度分類；數(shù)軸要確定原點，分出左負右正；加減計算時注意符號不同的數(shù)可以互相抵消一部分（或全部）；乘除運算先確定符號“同號得正，異號得負”；乘方只有符號法則；加減混合算式要看作代數(shù)和形式……可以說，整個有理數(shù)學(xué)習的過程就是不斷強化這一認識的過程.

在整式加減這一章，“符號與它后面的數(shù)字是一個整體”這一認識得到了更進一步的加強.在起始課中有這樣一句話“字母和數(shù)一樣可以參與計算”，單項式的概念中，系數(shù)都是包含前面的符號的，多項式中有關(guān)“項”的概念也特別舉例說明“v-2.5中常數(shù)項是-2.5”.總之，兩個章節(jié)的起始課在講述相關(guān)概念時，最核心的認識都是“理解運算對象”，讓學(xué)生理解“符號與它后面的數(shù)字（或式子）是一個整體”，只有深刻認識這個特點，在計算中牢記“先確定符號、后確定絕對值”，才會避免符號出錯.

例如：化簡-2（a-2）這個式子，有兩種不同的理解：

-2（a-2）=-2·a-2×（-2）=-2a+4；…①

-2（a-2）=-2·a-（-2）×2=-2a-（-4）.…②

第①種變形理解為-2與-2的乘積，將括號中的-2理解為“負2”，運算時符號很清晰，可以直接判斷積的符號.而第②種運算則將括號中的-2理解為“減2”，運算中增添了新的符號，整個計算顯得更復(fù)雜.

2.過好概念關(guān)：以實數(shù)章節(jié)起始課為例

初中學(xué)段的起始課，絕大部分是概念課，在學(xué)生的試卷中，常常發(fā)現(xiàn)因為學(xué)生對概念的理解不夠深入而引起的“弱智”錯誤，這也從側(cè)面反映了章節(jié)起始課的教學(xué)缺位.

概念類起始課的任務(wù)有三：經(jīng)歷本章知識的生成與建構(gòu)過程，整體把握知識間的邏輯結(jié)構(gòu)；了解一些自然生成的數(shù)學(xué)對象和基本概念；感受概念的簡單應(yīng)用［3］.

對于算術(shù)平方根這一節(jié)課而言，除了學(xué)習算術(shù)平方根這一概念，還要對平方根概念的掌握起到“先行組織者”的作用.本內(nèi)容的難點是什么呢？一是對根號的理解.根號只是一種運算符號，學(xué)生卻常理解為它是平方根（或算術(shù)平方根）.二是對符號的確定.學(xué)生常犯這樣的錯誤：或者“16的平方根是4”.這些錯誤也是因為學(xué)生正確“理解運算對象”時，沒能養(yǎng)成先確定符號（偶次方根看根號前面的符號）、后確定絕對值（乘方的逆運算）的習慣.

為了減少這些錯誤，教材在編排這一內(nèi)容時，頗具心思地分成兩步走，首先介紹算術(shù)平方根，主要解決“確定絕對值”的問題；再介紹平方根，解決“確定符號”的問題.可惜的是，課本在編排算術(shù)平方根這一內(nèi)容的過程中，只編寫了“求的值”，卻缺少“求的值”這種類型的題目，即重視了求絕對值，忽略了符號.教師在教學(xué)平方根的起始課時，如果能先讓學(xué)生分辨清“的含義，明確它們的符號屬性，再學(xué)習平方根的內(nèi)容時，出現(xiàn)符號錯誤的機率應(yīng)當會更小一些.前面例題中學(xué)生將“a為3與它的算術(shù)平方根之差”理解為，正是沒能分清平方根與算術(shù)平方根兩個概念的符號屬性.

除此以外，分式的章節(jié)起始課中注意分母不為零，二次根式的起始課中注意被開方數(shù)為非負數(shù)，這些概念中的關(guān)鍵點只有在章節(jié)起始課中得到很好的掌握，后面的學(xué)習才能少出錯.

3.過好算理關(guān)：以有理數(shù)起始課和整式的加減為例

準確計算的基礎(chǔ)是算理要明確.在實際教學(xué)中，我們常常發(fā)現(xiàn)學(xué)生邊做題邊念念有詞地背誦法則，結(jié)果求出來的結(jié)果還是錯的.主要問題就是沒有真正明白算理.

以有理數(shù)的加法為例，異號兩數(shù)的加法是學(xué)生很容易出錯的，如果按照加法法則，計算-7+5時，學(xué)生需要經(jīng)歷以下的思維過程：判斷同號還是異號→算出兩個數(shù)的絕對值→判斷絕對值的大小→取絕對值較大數(shù)的符號→轉(zhuǎn)化為較大減較小的減法形式→注意括號書寫→計算結(jié)果.我們認為很簡單的一個加減計算，如果死扣住法則來開展計算，居然需要七個環(huán)節(jié)全部正確，才能得到正確答案.

如果結(jié)合有理數(shù)的起始課，理解正負數(shù)是具有相反意義的量，可以互相抵銷，應(yīng)用“抵消”的觀點，可以比較容易地理解算理：判斷-7與+5異號可以抵銷→抵銷+5→計算剩下沒有抵銷的部分→得出結(jié)果.這種方法很明顯所需環(huán)節(jié)要少一些，學(xué)生更容易理解.

而整式加減運算主要有兩個步驟，分別是去括號和合并同類項，去括號的實質(zhì)是分配律，合并同類項的實質(zhì)則是分配律的逆運算，兩者的算理都是分配律.明白了算理，對于下列計算：都可以用相同的方法去解決.對于多項式的乘法及乘法公式，其算理實質(zhì)上也可以還原為分配律.算理明白，公式忘記了也可以自己推導(dǎo)，而算理不明，即使運算準確也是知其然而不知其所以然.

4.過好技巧關(guān)：以整式乘除與因式分解起始課為例

數(shù)學(xué)運算應(yīng)用哪些技巧可以使運算簡化？運用運算律、整體思想、逆用公式等思考方法都能達到這一目的.而這些卻是要滲透在每一節(jié)課堂中的.下面以整式乘除與因式分解為例.

《整式乘除與因式分解》一章分為四大部分：冪的運算、整式乘法、乘法公式、因式分解.其中因式分解是整個初中代數(shù)的“拐點”，凡初三代數(shù)學(xué)習有困難的學(xué)生，大部分都是因式分解沒有學(xué)好，高中生運算不過關(guān)，許多也與此有關(guān)系.

那么因式分解應(yīng)該怎樣學(xué)習才比較容易深化為一種技能呢？因式分解實質(zhì)上就是整式乘法的逆運算，公式學(xué)習往往是“正運算”比“逆運算”容易，因此，在學(xué)習前面的冪的運算、整式乘法、乘法公式時，如果時時注意挖掘公式的逆用，是可以降低學(xué)生學(xué)習因式分解的難度的.

例如章起始課“同底數(shù)冪的乘法”，先要從算理上讓學(xué)生理解公式的實質(zhì)是乘方的意義與乘法交換律、結(jié)合律的綜合應(yīng)用，這是本課的重點.接下來的練習中可以設(shè)置如下的拓展題目：

（1）運用整體思想計算（a-1）2·（1-a）3；

（2）已知am=3，an=2，則am+n=_______，a2m+n=_______.

解決第（1）小題的關(guān)鍵是將（a-1）看作一個整體，并將（1-a）轉(zhuǎn)化為-（a-1），后續(xù)知識中許多運算也需要這項技能.

例如：提公因式x（x-y）2-xy（y-x）3=________；化簡

這兩道小題的解決都有賴于“將多項式按降冪排列的習慣”，也得益于整體思想，前面引例中的第VI種錯誤正是明證.

第（2）小題則是公式的逆用，特別是a2m+n=am·am·an這一變化更是將乘法運算都回歸到了加法，這也正是對數(shù)學(xué)“基本思想”的體現(xiàn).

以上兩個小題將“整體思想、逆用公式”等方法都涉及了，如果在本章前三個小節(jié)的學(xué)習中每節(jié)課都有適當涉及，相信對因式分解的學(xué)習會起到正遷移的效果.

如在冪的運算教學(xué)中用好這些題目：比較3100與560的大??；計算根據(jù)10x=mn，10y=m，求103x-2y的值.

這些題目設(shè)計的用意與起始課中一樣，都是為了讓學(xué)生感知和習慣“整體思想、公式逆用”的好處，當真正學(xué)習因式分解時，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)每一內(nèi)容都是前面所學(xué)知識的逆用，就不會覺得很困難.同時，這也是對運算技巧的最好訓(xùn)練！而這一切，卻都要在起始課中就讓學(xué)生能體會到！

5.過好綜合關(guān)：以各章章引言的教學(xué)為例

一道計算題，它所考查的往往是許多知識的綜合應(yīng)用，例如前面引例中，要想正確化簡，需要養(yǎng)成三個習慣：（1）分子分母及時因式分解；（2）多項式按降冪排列，最高次項化為正；（3）將整式部分看作一個整體.除此外，給出的兩個已知條件，也非常容易出錯.解決這樣綜合性很強的題目，需要學(xué)生對這一模塊的知識融會貫通，也就是說正確計算，除了以上的基礎(chǔ)四關(guān)外，還要過好綜合關(guān).

數(shù)學(xué)教材每章節(jié)最前面一頁都是本章章引言，它也是章節(jié)起始課的重要組成部分，章引言一般由三部分內(nèi)容構(gòu)成：本章知識的引例、本章的主要學(xué)習內(nèi)容、本章知識與前后知識的聯(lián)系.數(shù)與式這個模塊共有六個章節(jié)，其中有三章的章引言中提到了“類比……”，有兩章的章引言提到“為后續(xù)……的學(xué)習打下基礎(chǔ)”.可以說，章引言是對前面知識的回顧，對本章知識的脈絡(luò)梳理，和對后續(xù)知識的展望，是知識融會貫通的重要載體.所以，在起始課的教學(xué)中，利用章引言，回顧知識、梳理脈絡(luò)、加強知識的綜合是非常重要的.

數(shù)與式這一模塊的章引言我們可以這樣利用：利用有理數(shù)一節(jié)的章引言中，回顧小學(xué)的負數(shù)的認識，認清有理數(shù)的“符號+絕對值”的結(jié)構(gòu)；利用實數(shù)一節(jié)類比有理數(shù)，強化對“符號+絕對值”的結(jié)構(gòu)的認識，回顧有理數(shù)運算先確實符號，后確定絕對值的習慣；利用整式加減一節(jié)回顧小學(xué)所學(xué)的字母表示數(shù)的知識，認清字母由數(shù)字部分和字母部分的結(jié)構(gòu)，將符號與數(shù)學(xué)部分捆綁認識；在整式乘除與因式分解一節(jié)回顧實數(shù)運算與整式加減運算的算理；在分式一節(jié)中回顧代數(shù)式的概念與分類，回顧分數(shù)分母不為零的認識.

二次根式一節(jié)是數(shù)與式模塊的最后一部分，它的章引言是這樣寫的：“……我們學(xué)過整式的運算、分式的運算.如何進行二次根式的運算呢？……通過本章學(xué)習，可以為后面的勾股定理、一元二次方程等內(nèi)容的學(xué)習打下基礎(chǔ)”.也就是說在這里我們可以通過回顧代數(shù)式的概念及分類，將分式分母不為零、負數(shù)沒有平方根等內(nèi)容進行強化，可以通過對分式運算的復(fù)習對分式運算習慣進行回顧……也就是說，數(shù)學(xué)運算中需要的概念、算理、習慣等都可以在這里作一個簡短的小結(jié)，也就是綜合回顧.

有了這樣的認識作基礎(chǔ)，經(jīng)過五次的強化與回顧，數(shù)學(xué)運算的基礎(chǔ)已經(jīng)打得非常扎實，欠缺的只是技巧的熟練運用，只要在后續(xù)教學(xué)中有意識地安排一些綜合訓(xùn)練，就能強化學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).在分式一節(jié)中，前面的原題就是一道進行綜合演練的好題，二次根式中也可以用下面的例子來綜合訓(xùn)練：

本題既有整式中的因式分解，又有分式的化簡求值，還有二次根式的化簡，也有對實數(shù)運算的考查，同時還對二次根式的概念作了考查，即要注意a-1<0這一隱含條件，所以.很明顯，這是一道綜合訓(xùn)練數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的好題.訓(xùn)練與檢測是不同的，訓(xùn)練是為了加強知識的融通，而考查則是對學(xué)生學(xué)習效果的評判，所以訓(xùn)練時綜合度較高的題目更利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

從前面的例子可以看出，如果各章節(jié)起始課的教學(xué)不能落到實處，則最終綜合反映出來的情況就是負遷移，而且是無法逆轉(zhuǎn)的負遷移，因為沒有哪個老師會有時間把計算重新地進行梳理和訓(xùn)練.

所以，數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要想落實在課堂，應(yīng)當從上好每一節(jié)起始課開始，過五關(guān)、斬六將，強基礎(chǔ)，練綜合，最終讓運算成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習的最牢固基石！

1.彭翕成.例說數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)［J］.教育研究與評論（中學(xué)教育教學(xué)），2015（5）.

2.教育部考試中心.能力考試的研究與實踐［M］.北京：中國人民大學(xué)出版社，1999.

3.林年生.初中數(shù)學(xué)章起始課教學(xué)課例與反思［J］.中小學(xué)教學(xué)研究，2015（5）.Z